В.М. Мануйлов - Курс лекций по линейной алгебре и геометрии, страница 7
Описание файла
PDF-файл из архива "В.М. Мануйлов - Курс лекций по линейной алгебре и геометрии", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 2 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 7 страницы из PDF
¯®«¥ «£¥¡° ¨·¥±ª¨ § ¬ª³²®, ²® ¬®£®·«¥ Pf (t) ¨¬¥¥² ª®°¥¼ , ².¥.Pf (t) = ( t)q (t) ¤«¿ ¥ª®²®°®£® ¬®£®·«¥ q (t). ®£¤ , ª ª ³¦¥ ®²¬¥· «®±¼, ¡³¤¥² ±®¡±²¢¥»¬ § ·¥¨¥¬ ®¯¥° ²®° f . ·¨², ±³¹¥±²¢³¥² ±®¡±²¢¥»© ¢¥ª²®° x 2 W , ®²¢¥· ¾¹¨©±®¡±²¢¥®¬³ § ·¥¨¾ . ±±¬®²°¨¬ ®¤®¬¥°®¥ ¨¢ °¨ ²®¥ «¨¥©®¥ ¯®¤¯°®±²° ±²¢® V ,¯®°®¦¤¥®¥x. ®£¤ ¬ ²°¨¶ ®¯¥° ²®° f ¢ ¯®¤µ®¤¿¹¥¬ ¡ §¨±¥ ¡³¤¥² ¨¬¥²¼ ¢¨¤ ?¢¥ª²®°®¬Af = 0 Af 0 .
³±²¼ Pf 0 (t) | µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª¨© ¬®£®·«¥ ´ ª²®°-®¯¥° ²®° f 0, ²®£¤ Pf (t) = ( t)Pf 0 (t) ¨, ¡®«¥¥ ²®£®, ².ª. dim(W=V ) = n 1, ²®, ¯® ¯°¥¤¯®«®¦¥¨¾ ¨¤³ª¶¨¨,Pf 0 (f 0) = 0 (§¤¥±¼ 0 | ½²® ³«¥¢®© ¢¥ª²®° ´ ª²®°-¯°®±²° ±²¢ ). ²® § ·¨², ·²® ¤«¿ «¾¡®£®a2WPf 0 (f 0)(a + V ) = V:(3)±¯®¬¨¬ ²¥¯¥°¼ ®¯°¥¤¥«¥¨¥ ´ ª²®°-®¯¥° ²®° ¢ ´ ª²®°-¯°®±²° ±²¢¥: f 0(a + V ) = f (a) + V .¥£ª® ¯®ª § ²¼, ·²®, ¯°¨¬¥¿¿ ®¯¥° ²®° ¥±ª®«¼ª® ° § ¯®¤°¿¤, ¯®«³·¨¬ (f 0 )k (a + V ) = f k (a)+ V¤«¿ «¾¡®© ±²¥¯¥¨ k. ® ²®£¤ Pf 0 (f 0)(a + V ) = Pf 0 (f )a + V .
° ¢¨¢ ¿ ½²® ° ¢¥±²¢® ± (3),¯®«³· ¥¬ Pf 0 (f )a + V = V , ±«¥¤®¢ ²¥«¼®, Pf 0 (f )a 2 V ¤«¿ ¯°®¨§¢®«¼®£® ¢¥ª²®° a 2 W .®±ª®«¼ª³ dim V = 1, Pf 0 (f )a = x ¤«¿ ¥ª®²®°®£® ±ª «¿° . ®½²®¬³Pf (f )a = ( id f )Pf 0 (f )a = ( id f )x = (x fx) = 0;².ª. x | ±®¡±²¢¥»© ¢¥ª²®°, ®²¢¥· ¾¹¨© ±®¡±²¢¥®¬³ § ·¥¨¾ . ² ª, ¬» ¯®«³·¨«¨, ·²®Pf (f )a = 0 ¤«¿ «¾¡®£® ¢¥ª²®° a, ².¥.
Pf (t) ³«¨°³¥² f .2.8 ¹¥ ¥±ª®«¼ª® ³²¢¥°¦¤¥¨© ®¡ ®¯¥° ²®° µ¯°¥¤¥«¥¨¥ 2.8.1 ¯¥° ²®° f §»¢ ¥²±¿ ¤¨ £® «¨§¨°³¥¬»¬, ¥±«¨ ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®© ¡ §¨±, ·²® ¬ ²°¨¶ ½²®£® ®¯¥° ²®° ¢ ½²®¬ ¡ §¨±¥ ¤¨ £® «¼ .°¨¬¥°»:1) ®¯¥° ²®°» ¯°®¥ª²¨°®¢ ¨¿ ¤¨ £® «¨§¨°³¥¬»,2) ¨«¼¯®²¥²»¥ ®¯¥° ²®°» ¥ ¤¨ £® «¨§¨°³¥¬» (¥±«¨ ®¨ ¥ ³«¥¢»¥), ² ª ª ª «¾¡ ¿¤¨ £® «¼ ¿ ¨«¼¯®²¥² ¿ ¬ ²°¨¶ ° ¢ ³«¾.¥¬¬ 2.8.2 ³±²¼ µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª¨© ¬®£®·«¥ª®°¥©, ²®£¤ ®¯¥° ²®°¤¨ £® «¨§¨°³¥¬»©.fPf (t)¨¬¥¥²n = dim W° §«¨·»µ®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ 1; : : : ; n | ª®°¨ Pf (t), ².¥. ±®¡±²¢¥»¥ § ·¥¨¿ ®¯¥° ²®° f , a1 ; : : : ; an | ®²¢¥· ¾¹¨¥ ¨¬ ±®¡±²¢¥»¥ ¢¥ª²®° , ².¥. fai = iai, i = 1; : : : ; n.
±«¨ ¡»¬»·²® 1a1; : : : ; an | ¡ §¨±, ²® ¬ ²°¨¶ ®¯¥° ²®° ¢ ½²®¬ ¡ §¨±¥ ¨¬¥« ¡» ¢¨¤: Af =0 § «¨,01@0...nA.®ª ¦¥¬, ·²® a1 ; : : : ; an ¿¢«¿¥²±¿ ¡ §¨±®¬. «¿ ½²®£® ¬ ¤®±² ²®·® ¤®ª § ²¼ «¨¥©³¾ ¥§ ¢¨±¨¬®±²¼ ½²¨µ ¢¥ª²®°®¢ (² ª ª ª ¨µ ª®«¨·¥±²¢® ±®¢¯ ¤ ¥² ± ° §¬¥°®±²¼¾ ¯°®±²° ±²¢ ).°®¢¥¤¥¬ ¨¤³ª¶¨¾ ¯® ° §¬¥°®±²¨ ¯°®±²° ±²¢ .1) § ¨¤³ª¶¨¨. ±«¨ dim W = 1, ²® ¢¥ª²®° a1 ¡³¤¥² ¡ §¨±®¬. § ¨¤³ª¶¨¨ ¢¥° .232) ¤³ª²¨¢»© ¯¥°¥µ®¤.
³±²¼ ¤«¿ dim W < n ³²¢¥°¦¤¥¨¥ ¢¥°®, ¤®ª ¦¥¬ ¥£® ¤«¿ dim W =n. ®¯³±²¨¬, ·²® ½²® ¥ ² ª, ².¥. ±³¹¥±²¢³¾² ±ª «¿°» 1; : : : ; n, ¥ ¢±¥ ° ¢»¥ ³«¾, ².·.1 a1 + : : : + nan = 0. ¥§ ®£° ¨·¥¨¿ ®¡¹®±²¨ ¬®¦® ±·¨² ²¼,·²® an 6= 0, ²®£¤ ¢¥ª²®°an ¥±²¼ «¨¥© ¿ ª®¬¡¨ ¶¨¿ ®±² «¼»µ ¢¥ª²®°®¢, an = n a1 : : : nn an 1. °¨¬¥¨¢®¯¥° ²®° f ª ®¡¥¨¬ · ±²¿¬ ½²®£® ° ¢¥±²¢ , ¯®«³·¨¬, ·²® fan = f ( n a1 : : : nn an 1 ), ².¥.nan = n 1 a1 : : : nn n 1an 1 , ®, ± ¤°³£®© ±²®°®», nan = n( n a1 : : : nn an 1 ).°¨° ¢¿¢ ¢»° ¦¥¨¿ ¢ ¯° ¢»µ · ±²¿µ ° ¢¥±²¢, ¯®«³·¨¬, ·²® (n 1) n a1 + : : : + (nn 1 ) nn an 1 = 0. ±±¬®²°¨¬ ¯®¤¯°®±²° ±²¢® V = ha1; : : : ; an 1 i, ®® ¡³¤¥² ¨¢ °¨ ²®®²®±¨²¥«¼® ®¯¥° ²®° f ¨ dim V = n 1.
±«¨ f1 | ®£° ¨·¥¨¥ f V , ²® a1 ; : : : ; an 1 |±®¡±²¢¥»¥ ¢¥ª²®° ®¯¥° ²®° f1 , ±«¥¤®¢ ²¥«¼®, ¯® ¯°¥¤¯®«®¦¥¨¾ ¨¤³ª¶¨¨, ®¨ «¨¥©®¥§ ¢¨±¨¬». .ª. ¢±¥ i ° §«¨·», ²® 1 = : : : = n 1 = 0, ® ²®£¤ an = 0, ·²® ¥¢®§¬®¦®,².ª. ½²® ±®¡±²¢¥»© ¢¥ª²®°. ®«³·¥®¥ ¯°®²¨¢®°¥·¨¥ ¤®ª §»¢ ¥² «¨¥©³¾ ¥§ ¢¨±¨¬®±²¼¢¥ª²®°®¢ a1 ; : : : ; an .11111111110 1¢¥±²¨ ª ¢¥°µ¥²°¥³£®«¼®¬³ ¢¨¤³ @¥¬¬ ? 12.8.3 ¤ «£¥¡° ¨·¥±ª¨ § ¬ª³²»¬ ¯®«¥¬ ¬ ²°¨¶³ «¾¡®£® ®¯¥° ²®° ¬®¦® ¯°¨...0nA § ¬¥®© ¡ §¨± .¤³ª¶¨¿ ¯® ° §¬¥°®±²¨ ¯°®±²° ±²¢ .1) ±«¨ dim W = 1, ²® ³²¢¥°¦¤¥¨¥ ®·¥¢¨¤®, ².ª.
«¾¡ ¿ ¬ ²°¨¶ ° §¬¥° 1 ¿¢«¿¥²±¿ ¢¥°µ¥²°¥³£®«¼®©.2) ³±²¼ ³²¢¥°¦¤¥¨¥ ¢¥°® ¤«¿ dim W < n, ¤®ª ¦¥¬ ¥£® ¤«¿ dim W = n. .ª. ¯®«¥ «£¥¡° ¨·¥±ª¨ § ¬ª³²®, µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª¨© ¬®£®·«¥ ¨¬¥¥² ª®°¥¼ , ® ¡³¤¥² ±®¡±²¢¥»¬ § ·¥¨¥¬. ¬³ ±®®²¢¥²±²¢³¥² ±®¡±²¢¥»© ¢¥ª²®°, ª®²®°»© ¯®°®¦¤ ¥²¨¢ °¨ ²®¥ ®¤®¬¥°®¥¯®¤¯°®±²° ±²¢® V , ²®£¤ ¬ ²°¨¶ ®¯¥° ²®° f ¨¬¥¥² ¢¨¤ Af = 0 A? 0 . ® ¯°¥¤¯®«®¦¥¨¾®ª § ²¥«¼±²¢®.0 1¨¤³ª¶¨¨ ¬ ²°¨¶³ Af 0 ¬®¦® ¯°¨¢¥±²¨ ª ¢¥°µ¥²°¥³£®«¼®¬³ ¢¨¤³ Af 0 = @010?? CB 1CA ² ª¦¥ ¡³¤¥² ¢¥°µ¥²°¥³£®«¼®©.²®£¤ ¬ ²°¨¶ Af = B.@.? 1f00.n...n1A,1¥¬¬ 2.8.4 ±«¨ ¬ ²°¨¶ ®¯¥° ²®° ¢¥°µ¥²°¥³£®«¼ ¿, ²® £« ¢®© ¤¨ £® «¨±²®¿² ±®¡±²¢¥»¥ § ·¥¨¿ ½²®£® ®¯¥° ²®° .®ª § ²¥«¼±²¢®.0 1³±²¼ Af = @0...? 1n0 1 tA, ²®£¤ Af tid = @0...?n t1A, ¨det(f t id) = (1 t) : : : (n t), ².¥.
1; : : : ; n | ½²® ª®°¨ µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª®£® ¬®£®·«¥ , § ·¨² ±®¡±²¢¥»¥ § ·¥¨¿.f¥¬¬ 2.8.5 ³±²¼ ®¯¥° ²®°² ª®©, ·²® ¢ «£¥¡° ¨·¥±ª¨ § ¬ª³²®¬ ¯®«¥ µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª¨© ¬®£®·«¥ f¨¬¥¥² ¥¤¨±²¢¥»© ª®°¥¼ , ²®£¤ ®¯¥° ²®°¿¢«¿¥²±¿ ¨«¼¯®²¥²»¬.P (t)24g=f id®ª § ²¥«¼±²¢®..ª. ³ ®¯¥° ²®° f ²®«¼ª®§ ·¥¨¥ , ²® ¢ ¥ª®²®°®¬0 ®¤® ±®¡±²¢¥®¥1¡ §¨±¥ ¥£® ¬ ²°¨¶ ¡³¤¥² ¨¬¥²¼ ¢¨¤ Af = @00¨¬¥¥² ¢¨¤ Ag = @...?10...?A.
²°¨¶ ®¯¥° ²®° g ¢ ½²®¬ ¡ §¨±¥A. ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª¨© ¬®£®·«¥ ®¯¥° ²®° g ¨¬¥¥² ¢¨¤ Pg (t) =00( 1)n tn , ¨, ¯®±ª®«¼ª³ ® ¿¢«¿¥²±¿ ³«¨°³¾¹¨¬, ²® Pg (g ) = ( 1)n g n = 0, § ·¨², g n = 0 ¨,±«¥¤®¢ ²¥«¼®, ®¯¥° ²®° g ¿¢«¿¥²±¿ ¨«¼¯®²¥²»¬.2.9®°¥¢®¥ ¯®¤¯°®±²° ±²¢®³±²¼ ¤ ®¯¥° ²®° f : W ! W ¨ | ¯°®¨§¢®«¼»© ±ª «¿°. ®°¥¢»¬, ®²¢¥· ¾¹¨¬ ·¨±«³ §»¢ ¥²±¿ ¬®¦¥±²¢® V, ±®±²®¿¹¥¥ ¨§ ¢±¥µ ¢¥ª²®°®¢x 2 W , ¤«¿ ª®²®°»µ ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®¥ ²³° «¼®¥ ·¨±«® n, ·²® (f id)nx = 0.¯°¥¤¥«¥¨¥2.9.1¯®¤¯°®±²° ±²¢®¬²¢¥°¦¤¥¨¥V ¤¥©±²¢¨²¥«¼® ¿¢«¿¥²±¿ ¯®¤¯°®±²° ±²¢®¬. ±«¨ x 2 V, ²® (f id)(x) = 0, ±«¥¤®¢ ²¥«¼®, x 2 V ¤«¿ «¾¡®£®2.9.2 ®¦¥±²¢®®ª § ²¥«¼±²¢®.
2 K. ±«¨ x; y 2 V, ²® ±³¹¥±²¢³¾² ·¨±« nx ; ny 2 N, ¤«¿ ª®²®°»µ (f id)nx x = 0, (f id)ny y = 0.³±²¼ n = max(nx ; ny ). ®£¤ (f id)n (x + y ) = (f id)n x + (f id)ny = 0, § ·¨², V¿¢«¿¥²±¿ ¯®¤¯°®±²° ±²¢®¬.²¢¥°¦¤¥¨¥2.9.3 ®¤¯°®±²° ±²¢®V W¨¢ °¨ ²® ®²®±¨²¥«¼® ®¯¥° ²®° ®§¼¬¥¬ ¯°®¨§¢®«¼»© ¢¥ª²®° x 2 V, ².¥. (f id)nx = 0, ²®£¤ (f id)nx = f (0) = 0, § ·¨², fx 2 V.f.®ª § ²¥«¼±²¢®. id)n fx = f (fV²¢¥°¦¤¥¨¥ 2.9.4 ®¤¯°®±²° ±²¢® ¥²°¨¢¨ «¼® (².¥. ®²«¨·® ®² ³«¥¢®£® ¢¥ª²®° ) ²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ | ±®¡±²¢¥®¥ § ·¥¨¥ ®¯¥° ²®° .f®ª § ²¥«¼±²¢®.
±«¨ | ±®¡±²¢¥®¥ § ·¥¨¥, ²® ±³¹¥±²¢³¥² ±®¡±²¢¥»© ¢¥ª²®° x 6= 0,².·. (f id)x = 0, ².¥. x 2 V.¡° ²®, ¥±«¨ ¯®¤¯°®±²° ±²¢® V ±®¤¥°¦¨² ¥³«¥¢®© ¢¥ª²®° x, ²® ¯³±²¼ n | ¨¬¥¼¸¥¥ ²³° «¼®¥ ·¨±«®, ¯°¨ ª®²®°®¬ (f id)nx = 0. ®£¤ y = (f id)n 1x 6= 0. ® ²®£¤ (f id)y = (f id)n x = 0, ±«¥¤®¢ ²¥«¼® y | ±®¡±²¢¥»© ¢¥ª²®° ®¯¥° ²®° f , |±®¡±²¢¥®¥ § ·¥¨¥.¡®§ ·¨¬ g = f id. ·¥¢¨¤®, ·²® ¥±«¨ g n x = 0 ¤«¿ ª ª®£®-²® n 2 N ¨ ¤«¿ ª ª®£®-²®¢¥ª²®° x, ²® ¨ g mx = 0 ¯°¨ ¢±¥µ m > n. .¥.
¯®«³· ¥¬ ¶¥¯®·ª³ ¢«®¦¥¨©: Ker g Ker g 2 : : : Ker g n : : : V.²¢¥°¦¤¥¨¥ 2.9.5 ±«¨ ª ª®¬-²® ¸ £¥ ½²®© ¶¥¯®·ª¨ ¿¤° Ker g k 1 ¨ Ker g k ±®¢¯ «¨,²® ®¨ ¡³¤³² ±®¢¯ ¤ ²¼ ¨ ¤ «¼¸¥, ².¥. ¥±«¨ Ker g k 1 = Ker g k , ²® Ker g i = Ker g k 1 ¯°¨ i > k.®ª § ²¥«¼±²¢®. ® ³±«®¢¨¾ ¬» ¨¬¥¥¬ g k x = 0 () x 2 Ker g k () x 2 Ker g k 1 ()kg 1 x = 0.
®ª ¦¥¬, ·²® gk+1x = 0 () gk x = 0, ².¥. ·²® Ker g k+1 = Ker gk . ±«¨ g k x = 0, ²®, ®·¥¢¨¤®, g k+1 x = g (g k x) = 0. ¡° ²®, ¥±«¨ g k+1x = 0, ²® g k (gx) = 0 ()kg 1 (gx) = 0 (¯® ³±«®¢¨¾), ±«¥¤®¢ ²¥«¼®, gk x = 0. » ¤®ª § «¨, ·²® Ker g k+1 = Ker gk. °®¤¥« ¢½²³ ®¯¥° ¶¨¾ ³¦®¥ ·¨±«® ° §, ¯®«³·¨¬ ·²® Ker g k+2 = Ker g k+1 ¨ ².¤.25§ ½²®£® ³²¢¥°¦¤¥¨¿ ±«¥¤³¥², ·²® ¯°¨ ¢®§¢¥¤¥¨¨ ®¯¥° ²®° g ¢ ±²¥¯¥¨, ¥£® ¿¤°® ¥ ¬®¦¥²¡¥±ª®¥·® ³¢¥«¨·¨¢ ²¼±¿ ¯®²®¬³, ·²® ¥±«¨ ¢ ½²®© ¶¥¯®·ª¥ ¢±²°¥²¨«®±¼ µ®²¿ ¡» ®¤® ° ¢¥±²¢®,²® ¨ ¤ «¼¸¥ ¡³¤³² ¨¤²¨ ° ¢¥±²¢ . ° ¢¥±²¢® § ¢¥¤®¬® ¢±²°¥²¨²±¿ ¥ ¯®§¦¥ ±²¥¯¥¨ n =dim W , ².ª.
dim Ker g n 6 dim W , ± ª ¦¤»¬ ¸ £®¬ ® ³¢¥«¨·¨¢ ¥²±¿ (¥±«¨ ³¢¥«¨·¨¢ ¥²±¿) ¥¬¥¥¥, ·¥¬ ¥¤¨¨¶³. °¨ ¢®§¢¥¤¥¨¨ ®¯¥° ²®° g ¢ ®·¥°¥¤³¾ ±²¥¯¥¼ °®±² ¥£® ¿¤° § ¢¥¤®¬®¯°¥ª° ²¨²±¿ ¯°¨ n = dim W , ¯®½²®¬³ ¬ ¤®±² ²®·® ®£° ¨·¨²¼±¿ ½²®© ±²¥¯¥¼¾: ¤«¿ «¾¡®£®x 2 V gdim W x = 0. ¯®±«¥¤³¾¹¨µ ¸¨µ ° ±±³¦¤¥¨¿µ ® ª®°¥¢»µ ¯®¤¯°®±²° ±²¢ µ ¬» ®£° ¨·¨¬±¿ ¯®¤¯°®±²° ±²¢ ¬¨, ®²¢¥· ¾¹¨¬¨ ±®¡±²¢¥»¬ § ·¥¨¿¬, ².ª. ¢±¥ ®±² «¼»¥ ¯®¤¯°®±²° ±²¢ ¡³¤³²±®±²®¿²¼ ²®«¼ª® ¨§ ³«¥¢®£® ¢¥ª²®° .2.10¥®°¥¬ ® ° §«®¦¥¨¨ ¯°®±²° ±²¢ ¢ ¯°¿¬³¾ ±³¬¬³ ª®°¥¢»µ ¯®¤¯°®±²° ±²¢f :W !W¥®°¥¬ 2.10.1 ³±²¼ ¤ ®¯¥° ²®°( ¤ «£¥¡° ¨·¥±ª¨ § ¬ª³²»¬ ¯®«¥¬).®£¤ ¯°®±²° ±²¢®¿¢«¿¥²±¿ ¯°¿¬®© ±³¬¬®© ¢±¥µ ª®°¥¢»µ ¯®¤¯°®±²° ±²¢, ².¥.1k , £¤¥ 1k | ±®¡±²¢¥»¥ § ·¥¨¿ ®¯¥° ²®° .V ::: VW ;::: ;W=f°®¢¥¤¥¬ ¤®ª § ²¥«¼±²¢® ½²®© ²¥®°¥¬» ¯® ±«¥¤³¾¹¥¬³ ¯« ³:I) ¢¢¥¤¥¬ ¢ ° ±±¬®²°¥¨¥ ®¢»¥ ¯®¤¯°®±²° ±²¢ V1; : : : ; Vk ¨ ¤®ª ¦¥¬, ·²® Vi Vi , i =1; : : : ; k;II) ¤®ª ¦¥¬, ·²® ¢±¥ ¯°®±²° ±²¢® ¿¢«¿¥²±¿ ¨µ ±³¬¬®©, ².¥.
W = V1 + : : : + Vk ;III) ¤®ª ¦¥¬, ·²® ½² ±³¬¬ ¯°¿¬ ¿, ².¥. W = V1 : : : Vk ;IV) ¤®ª ¦¥¬, ·²® Vi = Vi , ®²ª³¤ ³¦¥ ¯®«³·¨¬ ³²¢¥°¦¤¥¨¥ ²¥®°¥¬».I. .ª. ¯®«¥ «£¥¡° ¨·¥±ª¨ § ¬ª³²®, ²® µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª¨© ¬®£®·«¥ ¬®¦® ° §«®¦¨²¼ «¨¥©»¥ ¬®¦¨²¥«¨: Pf (t) = (t 1)r : : : (t k )rk , ¯°¨·¥¬ r1 + : : : + rk = deg Pf (t) = dim W . ±±¬®²°¨¬ ¬®£®·«¥»®ª § ²¥«¼±²¢®.1pi (t) = (t 1)r : : : (t i 1)ri (t i+1)ri : : : (t k )rk ;².¥.