В.М. Мануйлов - Курс лекций по линейной алгебре и геометрии (1113130), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

³±²¼ fi = ai1 e1 + : : : + ain en , aij 2 K, i = 1; : : : ; m. ’.ª. f1 ; : : : ; fm |«¨­¥©­® ­¥§ ¢¨±¨¬ ¿ ±¨±²¥¬ ¢¥ª²®°®¢, ²®x1f1 + : : : + xmfm = 0 () x1 = : : : = xm = 0:(1)®¤±² ¢«¿¿ ¢ «¨­¥©­³¾ ª®¬¡¨­ ¶¨¾ ¨§ (1) ¢»° ¦¥­¨¥ fi ·¥°¥§ e1 ; : : : ; en , ¯®«³· ¥¬:0 = x1(a11e1 + : : :a1n en ) + : : : + xm (am1 e1 + : : : + amn en ) == (x1a11 + : : : + xm am1 )e1 + : : : + (x1a1n + : : : + xm amn )en ;·²® ° ¢­®±¨«¼­® (².ª.

e1; : : : ; en | «¨­¥©­® ­¥§ ¢¨±¨¬ ¿ ±¨±²¥¬ ¢¥ª²®°®¢) ±¨±²¥¬¥ ³° ¢­¥­¨©:( x1a11 + : : : + xm am1 = 0:::x1a1n + : : : + xm amn = 0:…±«¨ m > n, ²® ½² ±¨±²¥¬ ¨¬¥¥² ­¥­³«¥¢®¥ °¥¸¥­¨¥, ·²® ¯°®²¨¢®°¥·¨² (1).1.5 §¬¥°­®±²¼Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 1.5.1 Ž¯°¥¤¥«¨¬ ° ­£ ±¨±²¥¬» ¢¥ª²®°®¢: ¯³±²¼ S - ­¥¯³±² ¿ ±¨±²¥¬ ¢¥ª²®°®¢ ¢ ­¥ª®²®°®¬ «¨­¥©­®¬ ¯°®±²° ­±²¢¥ V , ²®£¤ :1) ¥±«¨ S ±®±²®¨² ²®«¼ª® ¨§ 0 2 V , ²® ° ­£ r(S ) := 0;2) ¯³±²¼ e1 | ¯°®¨§¢®«¼­»© ­¥­³«¥¢®© ¢¥ª²®° ¨§ ±¨±²¥¬» S ; ¥±«¨ ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®© ¢¥ª²®°e2, ·²® ±¨±²¥¬ fe1 ; e2g ¡³¤¥² «¨­¥©­® ­¥§ ¢¨±¨¬®©, ²® ° ±±¬®²°¨¬ ½²³ ±¨±²¥¬³ ¢¥ª²®°®¢; ¥±«¨,¤ «¥¥, ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®© ¢¥ª²®° e3 , ·²® ±¨±²¥¬ fe1; e2; e3g ¡³¤¥² «¨­¥©­® ­¥§ ¢¨±¨¬®©, ²® ¡³¤¥¬° ±±¬ ²°¨¢ ²¼ ½²³ ±¨±²¥¬³ ¢¥ª²®°®¢, ¨ ².¤.;3 ) ¥±«¨ ¯°®¶¥¤³° ¢ ¯.2) § ª®­·¨²±¿ ­ ª®­¥·­®¬ ¸ £¥, ².¥. ¬» ¤®©¤¥¬ ¤® «¨­¥©­® ­¥§ ¢¨±¨¬®©±¨±²¥¬» ¢¥ª²®°®¢ fe1 ; : : : ; en g ¨ ¤ «¥¥ ³¦¥ ­¥«¼§¿ ¡³¤¥² ­ ©²¨ ¢¥ª²®° en+1 , ·²®¡» ° ±¸¨°¨²¼½²³ ±¨±²¥¬³, ²® ®¯°¥¤¥«¨¬ ° ­£ ª ª r(S ) := n;3¡) ¥±«¨ ¯°®¶¥¤³° ¢ ¯.2) ­¥ § ª®­·¨²±¿ ­ ª®­¥·­®¬ ¸ £¥, ²® ° ­£ r(S ) := 1.„®ª ¦¥¬, ·²® ­ ¸¥ ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ª®°°¥ª²­®.

‘­ · « ¯°¥¤¯®«®¦¨¬, ·²®, ¤¥©±²¢³¿, ª ª ¢ ¯.2),¤¢³¬¿ ±¯®±®¡ ¬¨, ¬» ¯®«³·¨«¨ ¤¢¥ ª®­¥·­»¥ ±¨±²¥¬» ¢¥ª²®°®¢ e1 ; : : : ; en ¨ f1 ; : : : ; fm, ¨ ¯³±²¼m 6= n. ’®£¤ ¡¥§ ®£° ­¨·¥­¨¿ ®¡¹­®±²¨ ¬®¦­® ±·¨² ²¼, ·²® m > n. ®, ².ª. ¯® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ª±¨±²¥¬¥ ¢¥ª²®°®¢ e1 ; : : : ; en ¡®«¼¸¥ ­¥«¼§¿ ¤®¡ ¢¨²¼ ­¨ ®¤­®£® ¢¥ª²®° , ²® ¢±¥ fi 2 he1 ; : : : ; en i,i = 1; : : : ; m, ¨ ¯® «¥¬¬¥ 1.4.6 ¨¬¥¥¬ m 6 n. ®«³·¨«¨ ¯°®²¨¢®°¥·¨¥.’¥¯¥°¼ ¯°¥¤¯®«®¦¨¬, ·²® ®¤¨­ ±¯®±®¡ ­ ¬ ¤ « ª®­¥·­³¾ ±¨±²¥¬³ ¢¥ª²®°®¢ e1 ; : : : ; en , ¢²®°®© ±¯®±®¡ ¢»¡®° ¢¥ª²®°®¢ f1 ; f2; : : : ­¥ § ª ­·¨¢ ¥²±¿ ­¨ ­ ª ª®¬ ª®­¥·­®¬ ¸ £¥. ® ²®£¤ ±¨±²¥¬ ¢¥ª²®°®¢ f1 ; : : : ; fn+1 «¨­¥©­® ­¥§ ¢¨±¨¬ , ¨ ¥¹¥ ®¤­® ¯°¨¬¥­¥­¨¥ «¥¬¬» 1.4.6 ¤ ¥²¯°®²¨¢®°¥·¨¥.Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 1.5.2  §¬¥°­®±²¼ «¨­¥©­®£® ¯°®±²° ­±²¢ V ° ¢­ dim V := r(V ). °®±²° ­±²¢® V ­ §»¢ ¥²±¿ ª®­¥·­®¬¥°­»¬, ¥±«¨ dim V < 1.

‚ ¯°®²¨¢­®¬ ±«³· ¥ ¯°®±²° ­±²¢®­ §»¢ ¥²±¿ ¡¥±ª®­¥·­®¬¥°­»¬.°¨¬¥°» ¡¥±ª®­¥·­®¬¥°­»µ ¢¥ª²®°­»µ ¯°®±²° ­±²¢: ¬­®¦¥±²¢® R ­ ¤ ¯®«¥¬ Q, ¯°®±²° ­±²¢®­¥¯°¥°»¢­»µ ´³­ª¶¨© ­ ®²°¥§ª¥ (¤®ª ¦¨²¥).1.5.3 ‘¨±²¥¬ «¨­¥©­® ­¥§ ¢¨±¨¬»µ ¢¥ª²®°®¢ ¢ ¯°®±²° ­±²¢¥ V ­ §»¢ ¥²±¿, ¥±«¨ ¯°¨ ¤®¡ ¢«¥­¨¨ «¾¡®£® ¤°³£®£® ¢¥ª²®° ±¨±²¥¬ ¢¥ª²®°®¢ ±² ­®¢¨²±¿ «¨­¥©­® § ¢¨±¨¬®©.Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥¬ ª±¨¬ «¼­®©‘«¥¤±²¢¨¥1.5.4 ‚ «¾¡®¬ ª®­¥·­®¬¥°­®¬ ¯°®±²° ­±²¢¥ ±³¹¥±²¢³¥² ¬ ª±¨¬ «¼­ ¿ ±¨-±²¥¬ ¢¥ª²®°®¢.6Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥1.5.5Œ ª±¨¬ «¼­ ¿ ±¨±²¥¬ ¢¥ª²®°®¢ ­ §»¢ ¥²±¿ ¡ §¨±®¬ ¯°®±²° ­±²¢ .¥±ª®­¥·­®¬¥°­»¥ ¯°®±²° ­±²¢ ¬» ¯®·²¨ ­¥ ¡³¤¥¬ ° ±±¬ ²°¨¢ ²¼ ¢ ­ ¸¥¬ ª³°±¥ ¨ ¢±¥ ±«¥¤³¾¹¨¥ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿, «¥¬¬» ¨ ²¥®°¥¬» ®²­®±¿²±¿ ª ±«³· ¾ ª®­¥·­®¬¥°­»µ ¯°®±²° ­±²¢.

®«¥§­»¬ ³¯° ¦­¥­¨¥¬ ¿¢«¿¥²±¿ ¯°®¢¥°ª ¨±²¨­­®±²¨ ² ª¨µ ³²¢¥°¦¤¥­¨© ¢ ¡¥±ª®­¥·­®¬¥°­®¬±«³· ¥ (¨­®£¤ ±«®¦­® ¤ ¦¥ ¯¥°¥´®°¬³«¨°®¢ ²¼ ª®­¥·­®¬¥°­»¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¿)1.5.6 ³±²¼ ¤ ­® ¯®¤¯°®±²° ­±²¢® V ­¥ª®²®°®£® ¢¥ª²®°­®£® ¯°®±²° ­±²¢ W ,e1 ; : : : ; er | ¡ §¨± ¢ V .

’®£¤ ¥£® ¬®¦­® ¤®¯®«­¨²¼ ¤® ¡ §¨± ¢±¥£® ¯°®±²° ­±²¢ .„®ª § ²¥«¼±²¢®. ’.ª. e1 ; : : : ; er | ¡ §¨±, ²® ½²¨ ¢¥ª²®°» «¨­¥©­® ­¥§ ¢¨±¨¬»; ²®£¤ , ¯°®‹¥¬¬ ¨ ¯³±²¼±²® ¯°®¤¥« ¢ ¯°®¶¥¤³°³ ¯.2) ¢ ®¯°¥¤¥«¥­¨¨ ° ­£ ±¨±²¥¬» ¢¥ª²®°®¢, ¬» ¯®«³·¨¬ ¡ §¨± ¢±¥£®¯°®±²° ­±²¢ .‹¥¬¬ 1.5.7 …±«¨V| ¯®¤¯°®±²° ­±²¢® ¢¥ª²®°­®£® ¯°®±²° ­±²¢ dim W . …±«¨ ¦¥ dim V = dim W , ²® V = W .W,²®dim V 6„®ª § ²¥«¼±²¢®. ˆ§ ¯°¥¤»¤³¹¥© «¥¬¬» ±«¥¤³¥², ·²® ª®«¨·¥±²¢® ¢¥ª²®°®¢ ¢ ¡ §¨±¥ ¯®¤¯°®±²° ­±²¢ ­¥ ¯°¥¢»¸ ¥² ª®«¨·¥±²¢ ¢¥ª²®°®¢ ¢ ¡ §¨±¥ ¢±¥£® ¯°®±²° ­±²¢ , ®²±¾¤ ¢»²¥ª ¥²¯¥°¢®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ «¥¬¬».

„®ª ¦¥¬ ¢²®°®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥. ³±²¼ V 6= W , ².¥. ±³¹¥±²¢³¥² ¢¥ª²®°w 2 W , w 2= V . ‚»¡¥°¥¬ ¡ §¨± e1 ; : : : ; er ¢ V . ’®£¤ ±¨±²¥¬ ¢¥ª²®°®¢ e1; : : : ; er; w ¡³¤¥² «¨­¥©­®­¥§ ¢¨±¨¬®© ¢ W , ·²® ­¥¢®§¬®¦­®, ².ª. dim W = r. „¥©±²¢¨²¥«¼­®, ¥±«¨ 1e1 + : : : + r er + v = 0¨ µ®²¿ ¡» ®¤¨­ ¨§ ª®½´´¨¶¨¥­²®¢ ­¥ ° ¢¥­ ­³«¾, ²® 6= 0 (¯°®²¨¢®°¥·¨¥ ± ²¥¬, ·²® e1 ; : : : ; er |¡ §¨± ¢ V ), ­® ²®£¤ ¢¥ª²®° w ¥±²¼ «¨­¥©­ ¿ ª®¬¡¨­ ¶¨¿ ¢¥ª²®°®¢ e1 ; : : : ; er , ·²® ¯°®²¨¢®°¥·¨²¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¾.‡ ¬¥· ­¨¥: ¢²®°®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ «¥¬¬» ­¥¢¥°­® ¢ ¡¥±ª®­¥·­®¬¥°­®¬ ±«³· ¥.’¥®°¥¬ 1.5.8 ³±²¼V| ¯®¤¯°®±²° ­±²¢® ¢¥ª²®°­®£® ¯°®±²° ­±²¢ W , ²®£¤ dim V + dim W=V = dim W:„®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ dim V = r, dim W = n. ‚»¡¥°¥¬ ¯°®¨§¢®«¼­»© ¡ §¨± e1 ; : : : ; er ¢ V¨ ¤®¯®«­¨¬ ¥£® ¤® ¡ §¨± e1 ; : : : ; er ; er+1 ; : : : ; en ¢ W .

„®ª ¦¥¬, ·²® er+1 + V; : : : ; en + V ¡³¤¥²¡ §¨±®¬ ¢ W=V .1) ¤®ª ¦¥¬ «¨­¥©­³¾ ­¥§ ¢¨±¨¬®±²¼ ½²®© ±¨±²¥¬» ¢¥ª²®°®¢ ¢ W=V . ³±²¼ ®­¨ «¨­¥©­® § ¢¨±¨¬», ²®£¤ ±³¹¥±²¢³¾² ­¥ ¢±¥ ° ¢­»¥ ­³«¾ r+1 ; : : : ; n 2 K, ².·.r+1(er+1 + V ) + : : : + n(en + V ) = 0 + V: ±ª°»¢ ±ª®¡ª¨, ¯®«³·¨¬ (r+1 er+1 + : : : + n en ) + V = 0 + V , ¯®½²®¬³ ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®© ¢¥ª²®°v 2 V , ·²® v = r+1er+1 + : : : + n en . ®, ¯®±ª®«¼ª³ v 2 V , ¥£® ¬®¦­® ¯°¥¤±² ¢¨²¼ ¢ ¢¨¤¥v = 1 e1 + : : : + rer .

’®£¤ ¯®«³· ¥¬, ·²® 1e1 + : : : + rer r+1er+1 : : : nen = 0, ²® ¥±²¼,±¨±²¥¬ ¢¥ª²®°®¢ e1 ; : : : ; en «¨­¥©­® § ¢¨±¨¬ , ·²® ­¥¢¥°­®, ² ª ª ª ½²® ¡ §¨± ¢ W .2) „®ª ¦¥¬ ²¥¯¥°¼, ·²® «¾¡®© ¢¥ª²®° ¨§ W=V ¿¢«¿¥²±¿ «¨­¥©­®© ª®¬¡¨­ ¶¨¥© ¢¥ª²®°®¢ er+1 +V; : : : ; en + V . ‚®§¼¬¥¬ ¯°®¨§¢®«¼­»© ¢¥ª²®° a + V ¨§ ´ ª²®°-¯°®±²° ­±²¢ W=V . ’.ª. a 2 W ,²® a = 1 e1 + : : : + r er + r+1er+1 + : : : + n en . ’®£¤ a + V = | 1 e1 + :{z: : + re}r +r+1er+1 + : : : + nen + V =2V= r+1 er+1 + : : : + n en + V = r+1(er+1 + V ) + : : : + n (en + V );’ ª¨¬ ®¡° §®¬, er+1 + V; : : : ; en + V ¿¢«¿¥²±¿ ¡ §¨±®¬ ¢ W=V ¨, ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, dim W=V = n r.Ž²±¾¤ ¢»²¥ª ¥² ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ²¥®°¥¬».71.6¥°¥±¥·¥­¨¥ ¨ ±³¬¬ ¯®¤¯°®±²° ­±²¢‹¥¬¬ 1.6.1 ³±²¼ ¤ ­» ¤¢ «¨­¥©­»µ ¯®¤¯°®±²° ­±²¢ V1 \ V2 ² ª¦¥ ¿¢«¿¥²±¿ «¨­¥©­»¬ ¯®¤¯°®±²° ­±²¢®¬.V1 ¨ V2 ¯°®±²° ­±²¢ W , ²®£¤ „®ª § ²¥«¼±²¢®. „«¿ ¤®ª § ²¥«¼±²¢® ­¥®¡µ®¤¨¬® ¯°®¢¥°¨²¼, ·²® ¬­®¦¥±²¢® V1 \ V2 § ¬ª­³²® ®²­®±¨²¥«¼­® ®¯¥° ¶¨© ±«®¦¥­¨¿ ¨ ³¬­®¦¥­¨¿ ­ ±ª «¿°». ’.ª.

¬­®¦¥±²¢ V1 ¨ V2 § ¬ª­³²» ®²­®±¨²¥«¼­® ½²¨µ ®¯¥° ¶¨©, ²® 8x; y 2 V1 \ V2; 8 2 K ¯®«³· ¥¬, ·²® x + y; x 2 V1 ¨x + y; x 2 V1, ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, x + y; x 2 V1 \ V2.‡ ¬¥· ­¨¥. ‚ ®²«¨·¨¥ ®² ¯¥°¥±¥·¥­¨¿, ®¡º¥¤¨­¥­¨¥ ¯®¤¯°®±²° ­±²¢V1p[ V2 ¢ ®¡¹¥¬ ±«³· ¥p2i, V=h 3i ­ ¤ ¯®«¥¬ Q, ²®­¥ ¡³¤¥²p«¨­¥©­»¬¯®¤¯°®±²° ­±²¢®¬. ¯°¨¬¥°,¥±«¨V=h21p¢¥ª²®° 2 + 3 ­¥ ¡³¤¥² ¯°¨­ ¤«¥¦ ²¼ V1 [ V2.Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 1.6.2 ‘³¬¬®© V1 + V2 ¯®¤¯°®±²° ­±²¢ V1 ¨ V2 ­ §»¢ ¥²±¿ ¬­®¦¥±²¢® ¢±¥µ¢¥ª²®°®¢ v 2 W , ª®²®°»¥ ¬®¦­® ¯°¥¤±² ¢¨²¼ ¢ ¢¨¤¥ ±³¬¬» v = v1 + v2 , £¤¥ v1 2 V1 ¨ v2 2 V2,².¥. V1 + V2 = hV1 [ V2i.‹¥¬¬ 1.6.3 „«¿ «¾¡»µ ¤¢³µ ¯®¤¯°®±²° ­±²¢­¥©­»¬ ¯°®±²° ­±²¢®¬.V1 ¨ V2 ¨µ ±³¬¬ V1 + V2 ² ª¦¥ ¡³¤¥² «¨-„®ª § ²¥«¼±²¢®. ‚®§¼¬¥¬ ¯°®¨§¢®«¼­»¥ ¢¥ª²®°» a; b 2 V1 + V2, a = a1 + a2, b = b1 + b2,a1 ; b1 2 V1, a2 ; b2 2 V2.

’®£¤ a+b = (a1 +b1)+(a2 +b2 ) 2 V1+V2. €­ «®£¨·­® ¤®ª §»¢ ¥²±¿, ·²® ¤«¿ 2 K, a 2 V1 +V2, ¨µ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥ a 2 V1 +V2. Ž·¥¢¨¤­®, ·²® ¢±¥ ³±«®¢¨¿ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ «¨­¥©­®£®¯°®±²° ­±²¢ ¡³¤³² ¢»¯®«­¥­», ±«¥¤®¢ ²¥«¼­® V1 + V2 ¿¢«¿¥²±¿ «¨­¥©­»¬ ¯°®±²° ­±²¢®¬.’¥®°¥¬ 1.6.4dim V1 + dim V2 = dim(V1 + V2) + dim(V1 \ V2 ).„®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ e1 ; : : : ; er | ¡ §¨± ¢ V1 \ V2 , dim(V1 \ V2) = r. ’.ª. V1 \ V2 V1 ¨V1 \ V2 V2, ²® ½²®² ¡ §¨± ¬®¦­® ¤®¯®«­¨²¼ ¤® ¡ §¨±®¢ ¢ V1 ¨ V2.³±²¼ e1 ; : : : ; er ; er+1; : : : ; er+p | ¡ §¨± ¢ V1 , dim V1 = r + p; e1 ; : : : ; er ; er+p+1 ; : : : ; er+p+q |¡ §¨± ¢ V2 , dim V1 = r + q .

„®ª ¦¥¬, ·²® e1 ; : : : ; er ; er+1 ; : : : ; er+p ; er+p+1; : : : ; er+p+q | ¡ §¨± ¢V1 + V2:1) («¨­¥©­ ¿ ­¥§ ¢¨±¨¬®±²¼). ³±²¼ 1 e1 + : : : + r+p+q er+p+q = 0, ²®£¤ | 1e1 + : : : + r er + r{z+1 er+1 + : : : + r+p er+p} =2V1= | (r+p+1 er+p+1 +{z: : : + r+p+q er+p+q }) = v;2V2±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, v 2 V1 \ V2, ¨ ¥£® ¬®¦­® ° §«®¦¨²¼ ¯® ¡ §¨±³, v = 1 + : : : + r er , ²®£¤ 0 = v v = 1 + : : : + r er + r+p+1 er+p+1 + : : : + r+p+q er+p+q ;±«¥¤®¢ ²¥«¼­® r+p+1 = : : : = r+p+q = 0 ¨ 1 = : : : = r = 0, ².ª.

e1; : : : ; er ; erp +1 ; : : : ; er+p+q «¨­¥©­® ­¥§ ¢¨±¨¬». ®½²®¬³ v = 0. ® ²®£¤ v = 1e1 + : : : + r er + r+1er+1 + : : : + r+p er+p = 0,¨ ¨§ «¨­¥©­®© ­¥§ ¢¨±¨¬®±²¨ ±¨±²¥¬» ¢¥ª²®°®¢ e1 ; : : : ; er ; er+1; : : : ; er+p § ª«¾· ¥¬, ·²® 1 =: : : = r = r+1 = : : : = r+p = 0. ˆ² ª, ¢±¥ i = 0, i = 1; : : : ; r + p + q, ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®e1 ; : : : ; er ; er+1; : : : ; er+p ; er+p+1; : : : ; er+p+q «¨­¥©­® ­¥§ ¢¨±¨¬».2) (¬ ª±¨¬ «¼­®±²¼). ‚®§¼¬¥¬ ¯°®¨§¢®«¼­»© ¢¥ª²®° a 2 V1 + V2, a = a1 + a2 , £¤¥ a1 2 V1,a2 2 V2.  §«®¦¨¬ ¢¥ª²®°» a1 ¨ a2 ¯® ¡ §¨± ¬,a1 = 1e1 + : : : + r er + r+1er+1 + : : : + r+p er+p ;a2 = 1 e1 + : : : + r er + r+p+1 er+p+1 + : : : + r+p+q er+p+q ;8²®£¤ a = (1 + 1 )e1 + : : : + (r + r )er + r+1er+1 + : : : + r+per+p ++ r+p+1 er+p+1 + : : : + r+p+q er+p+q ;±«¥¤®¢ ²¥«¼­® ±¨±²¥¬ ¢¥ª²®°®¢ e1 ; : : : ; er ; er+1 ; : : : ; er+p ; er+p+1; : : : ; er+p+q ¿¢«¿¥²±¿ ¡ §¨±®¬ ¢Œ1 + Œ2 , §­ ·¨², dim(V1 + V2) = r + p + q , ®²ª³¤ ±«¥¤³¥² ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ²¥®°¥¬».1.7°¿¬ ¿ ±³¬¬ ¯®¤¯°®±²° ­±²¢.

‚­¥¸­¿¿ ¯°¿¬ ¿ ±³¬¬ Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 1.7.1 ‘³¬¬ ¯®¤¯°®±²° ­±²¢ V1 + V2 ­ §»¢ ¥²±¿ ¯°¿¬®© ±³¬¬®© (®¡®§­ ·¥­¨¥V1 V2), ¥±«¨ V1 \ V2 = f0g.‘«¥¤±²¢¨¥ 1.7.2 dim(V1 V2) = dim V1 + dim V2.„®ª § ²¥«¼±²¢®.‹¥¬¬ “²¢¥°¦¤¥­¨¥ ±«¥¤±²¢¨¿ ®·¥¢¨¤­® ¢»²¥ª ¥² ¨§ ¯°¥¤»¤³¹¥© ²¥®°¥¬».1.7.3 ‘«¥¤³¾¹¨¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¿ ½ª¢¨¢ «¥­²»:(i) ±³¬¬ V1 + V2 ¯°¿¬ ¿;(ii) dim V1 + dim V2 = dim(V1 + V2);(iii) ° §«®¦¥­¨¥ «¾¡®£® ¢¥ª²®° a ¢¨¤ a = v1 + v2 , £¤¥ v1 2 V1, v2 2 V2 , ¥¤¨­±²¢¥­­®;(iv) ¥±«¨ 0 = v1 + v2 , £¤¥ v1 2 V1 , v2 2 V2, ²® v1 = v2 = 0.„®ª § ²¥«¼±²¢®. ’®, ·²® 1) () 2), ¢»²¥ª ¥² ¨§ ¯®±«¥¤­¥£® ±«¥¤±²¢¨¿ ¯°¥¤»¤³¹¥© «¥ª¶¨¨.„®ª ¦¥¬, ·²® 1) ) 4).

³±²¼ 0 = v1 + v2 , v1 2 V1, v2 2 V2, ­® v1 6= 0, ±«¥¤®¢ ²¥«¼­® ¨ v2 6= 0,²®£¤ ¯®«³· ¥¬, ·²® v2 = v1 , ².¥. v2 2 V1 ¨ , ±«¥¤®¢ ²¥«¼­® V1 \ V2 3 v2 6= 0, ².¥. ±³¬¬ ­¥¯°¿¬ ¿.1) ( 4) ¤®ª §»¢ ¥²±¿ ­ «®£¨·­®. …±«¨ ±³¬¬ ­¥ ¯°¿¬ ¿, ²® 9v 2 V1 \ V2 , v 6= 0, ²®£¤ v 2 V1,v 2 V2 ¨ 0 = v + ( v).„®ª ¦¥¬ 4) ) 3). ³±²¼ ³ ­¥ª®²®°®£® ¢¥ª²®° a ¥±²¼ ¤¢ ° §«®¦¥­¨¿, a = v1 + v2 = v10 + v20 ,v1; v10 2 V1, v2; v20 2 V2, ²®£¤ 0 = |(v1 {z= v10 }) + (|v2 {z v20 }). ® ²®£¤ v1 v10 = v2 v20 = 0.2V12V2’®, ·²® 4) ( 3) ®·¥¢¨¤­®, ².ª.

° §«®¦¥­¨¥ «¾¡®£® ¢¥ª²®° ¥¤¨­±²¢¥­­®, ²® ¨ ° §«®¦¥­¨¥­³«¥¢®£® ¢¥ª²®° ¥¤¨­±²¢¥­­®.®­¿²¨¥ ¯°¿¬®© ±³¬¬» ¬®¦­® ®¡®¡¹¨²¼ ­ «¾¡®¥ ª®­¥·­®¥ ·¨±«® ¯®¤¯°®±²° ­±²¢: ±³¬¬ V1 + : : : + Vn ¡³¤¥² ¯°¿¬®©, ¥±«¨8i = 1; : : : ; n Vi \ (V1 + : : : + Vi 1 + Vi+1 + : : : + Vn) = f0g:(2)…±«¨ ±³¬¬ V1 + : : : + Vn ¯°¿¬ ¿, ²® ¤«¿ «¾¡®£® ¢¥ª²®° a ¨§ ½²®© ±³¬¬» ° §«®¦¥­¨¥ ¢¨¤ a = v1 + : : : + vn , £¤¥ vi 2 Vi, i = 1; : : : ; n, ¥¤¨­±²¢¥­­®.‡ ¬¥· ­¨¥.

Характеристики

Список файлов лекций