Е.Е. Тыртышников - Матричный анализ и линейная алгебра, страница 12

Òåîðåìà î áàçèñíîì ìèíîðå íå èñïîëüçóåò äîêàçàííîé ðàíåå òåîðåìû î ðàâåíñòâå ñòîëáöîâîãî è ñòðî÷íîãî ðàíãîâ. Ïî ñóùåñòâó, îíà äàåò åùå îäíî äîêàçàòåëüñòâîýòîé òåîðåìû.Çàäà÷à.A n × n-ìàòðèöà ðàíãà k , à B ëþáàÿ íåâûðîæäåííàÿ ïîäìàòðèöà ïîðÿäêà k .R ïîäìàòðèöó ðàçìåðîâ k × n, ñîñòîÿùóþ èç ñòðîê ìàòðèöû A, ñîäåðæàùèõ ïîäìàòC ïîäìàòðèöó ðàçìåðîâ n × k , ñîñòîÿùóþ èç ñòîëáöîâ, ñîäåðæàùèõ B . Äîêàçàòü,ÏóòüÎáîçíà÷èì ÷åðåçðèöóB,à ÷åðåç÷òîA = CB −1 R.44Ëåêöèÿ 7Çàäà÷à.èrÄîêàæèòå, ÷òî ïîäìàòðèöà, ðàñïîëîæåííàÿ íà ïåðåñå÷åíèèëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ñòîëáöîâ ìàòðèöû ðàíãàÇàäà÷à.7.6Èçâåñòíî, ÷òîA> = −A.r,r ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ñòðîêÿâëÿåòñÿ íåâûðîæäåííîé.Äîêàæèòå, ÷òî ðàíã ìàòðèöûA ÷èñëî ÷åòíîå.Ðàíãè è ìàòðè÷íûå îïåðàöèèÓòâåðæäåíèå 1.

Ðàíã ñóììû ìàòðèö íå ïðåâîñõîäèò ñóììû èõ ðàíãîâ:rank (A + B) ≤ rank A + rank B.Äîêàçàòåëüñòâî. Î÷åâèäíî, A è B äîëæíû èìåòü îäèíàêîâîå ÷èñëî ñòîëáöîâ:A = [a1 , . . . , an ],B = [b1 , . . . , bn ].ßñíî, ÷òî L(a1 + b1 , . . . , an + bn ) ⊂ L(a1 , . . . , an , b1 , . . . , bn ).  ìåíüøåé ëèíåéíîéîáîëî÷êå âûáåðåì êàêóþ-ëèáî ñèñòåìó âåêòîðîâ, îáðàçóþùóþ áàçèñ. Ñîãëàñíî ëåììåî äîïîëíåíèè äî áàçèñà, áàçèñ â áîëüøåé ëèíåéíîé îáîëî÷êå ìîæíî ïîëó÷èòü ïóòåìäîïîëíåíèÿ äàííîé ñèñòåìû êàêèìè-òî âåêòîðàìè èç áîëüøåé ëèíåéíîé îáîëî÷êè. Ïîýòîìórank (A + B) = dim L(a1 + b1 , .

. . , an + bn ) ≤ dim L(a1 , . . . , an , b1 , . . . , bn ).Ïóñòü p = rank A, q = rank B , è ïðåäïîëîæèì, íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè, ÷òî áàçèñ âL(a1 , . . . , an ) îáðàçóþò ïåðâûå p âåêòîðîâ, à áàçèñ â L(b1 , . . . , bn ) ïåðâûå q âåêòîðîâ.Òîãäà L(a1 , .

. . , an , b1 , . . . , bn ) = L(a1 , . . . , ap , b1 , . . . , bq ) ⇒dim L(a1 , . . . , an , b1 , . . . , bn ) ≤ p + q.2Óòâåðæäåíèå 2. Ðàíã ïðîèçâåäåíèÿ ìàòðèö íå ïðåâîñõîäèò ðàíãà êàæäîãî èç ñîìíîæèòåëåé:rank (AB) ≤ min (rank A, rank B).Äîêàçàòåëüñòâî. Äîñòàòî÷íî çàìåòèòü, ÷òî êàæäûé èç ñòîëáöîâ ìàòðèöû AB ÿâëÿåò-ñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé ñòîëáöîâ ìàòðèöû A. Ïîýòîìó ëèíåéíàÿ îáîëî÷êà ñòîëáöîâìàòðèöû AB ñîäåðæèòñÿ â ëèíåéíîé îáîëî÷êå ñòîëáöîâ ìàòðèöû A. Ñëåäîâàòåëüíî,rank (AB) ≤ rank A. Äàëåå,2rank (AB) = rank (AB)> = rank (B > A> ) ≤ rank B > = rank B.Óòâåðæäåíèå 3. Ðàíã ìàòðèöû íå èçìåíÿåòñÿ ïðè óìíîæåíèè åå ñëåâà èëè ñïðàâàíà îáðàòèìóþ ìàòðèöó.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü B = P AQ, ãäå P è Q îáðàòèìûå ìàòðèöû.3 Êîíå÷íî, ïîðÿäîêPðàâåí ÷èñëó ñòðîê, à ïîðÿäîêQ ÷èñëó ñòîëáöîâ ìàòðèöûA.3 ñèëóÅ.

Å. Òûðòûøíèêîâ45ïðåäûäóùåãî óòâåðæäåíèÿ, rank B ≤ rank A.  òî æå âðåìÿ, A = P −1 BQ−1rank A ≤ rank B . 2⇒Ýòî óòâåðæäåíèå ïîëåçíî ïðè âû÷èñëåíèè ðàíãà. Îáû÷íî ýòî äåëàåòñÿ ñ ïîìîùüþýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ñòðîê è ñòîëáöîâ, óïðîùàþùèõ âèä ìàòðèöû ïóòåì èñêëþ÷åíèÿ åå ýëåìåíòîâ; ýòè ïðåîáðàçîâàíèÿ ñâîäÿòñÿ ê óìíîæåíèþ ìàòðèöû ñëåâà èñïðàâà íà íåêîòîðûå îáðàòèìûå ìàòðèöû (ñïåöèàëüíîãî âèäà) è ïîýòîìó ñîõðàíÿþòðàíã.Óòâåðæäåíèå 4. Ïðè èçìåíåíèè k ñòðîê (ñòîëáöîâ) ìàòðèöû åå ðàíã íå ìîæåòèçìåíèòüñÿ áîëüøå ÷åì íà k .Äîêàçàòåëüñòâî.

Äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü ñëó÷àé k = 1. Ïóñòü ðàíã ðàâåí r, à ñòîëá-öû aj1 , . . . , ajr ÿâëÿþòñÿ áàçèñíûìè. Åñëè ñòîëáåö aj ñîâïàäàåò ñ îäíèì èç ýòèõ ñòîëáöîâ, òî ïðè ëþáîì åãî èçìåíåíèè äàííàÿ ñèñòåìà ñòîëáöîâ áóäåò èìåòü ëèíåéíî íåçàâèñèìóþ ïîäñèñòåìó ñ ÷èñëîì ñòîëáöîâ r − 1. Ïîýòîìó ðàíã íîâîé ìàòðèöû íå ìåíüøå÷åì r − 1 è, êîíå÷íî, íå áîëüøå r. Åñëè ñòîëáåö aj íå ñîïàäàåò íè ñ îäíèì èç âûáðàííûõ áàçèñíûõ ñòîëáöîâ, òî ëþáîé ñòîëáåö íîâîé ìàòðèöû ëèíåéíî âûðàæàåòñÿ ÷åðåçñòîëáöû aj1 , . . . , ajr , aj , ïîýòîìó åå ðàíã íå ïðåâûøàåò r + 1 è íå ìåíüøå ÷åì r, òàê êàêèìååòñÿ ñèñòåìà èç r ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ñòîëáöîâ aj1 , .

. . , ajr . 2Ñëåäñòâèå. Ïðè äîáàâëåíèè (èçúÿòèè) k ñòîëáöîâ ðàíã ìàòðèöû íå ìîæåò èçìåíèòüñÿ áîëåå ÷åì íà k .Çàäà÷à.A+BÏóñòüAèB ìàòðèöû ðàíãà 1. Äîêàæèòå, ÷òî åñëèAB = BA 6= 0,òî ðàíã ìàòðèöûíå áîëüøå 1.Çàäà÷à.ìàòðèöàA∈RÇàäà÷à.x, y ∈ Rn , ïðè÷åì x 6= 0.rankA ≤ 2 è Ax = y .Çàäàíû ñòîëáöûn×nòàêàÿ, ÷òîÌàòðèöàAèìååòrñòîëáöîâ, à ìàòðèöàBÄîêàæèòå, ÷òî ñóùåñòâóåò ñèììåòðè÷íàÿèìååòrñòðîê. Äîêàæèòå, ÷òîr ≥ rank(A) + rank(B) − rank(AB).7.7Îäíîðîäíàÿ ñèñòåìà ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèéÑèñòåìà ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé ñ íóëåâîé ïðàâîé ÷àñòüþAx = 0(∗)íàçûâàåòñÿ îäíîðîäíîé. Ïóñòü â äàííîé ñèñòåìå èìååòñÿ m óðàâíåíèé è n íåèçâåñòíûõ.Òîãäà ìàòðèöà êîýôôèöèåíòîâ A èìååò ðàçìåðû m × n. Ðàññìîòðèì A êàê ñèñòåìóñòîëáöîâ A = [a1 , . .

. , an ] è ïðåäïîëîæèì, ÷òî åå ðàíã ðàâåí r. Íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè, áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî áàçèñíàÿ ïîäìàòðèöà â A ðàñïîëîæåíà íà ïåðâûõ r ñòîëáöàõ áóäåì íàçûâàòü èõ áàçèñíûìè. Îòâå÷àþùèå áàçèñíûì ñòîëáöàì êîìïîíåíòû ðåøåíèÿx1 , . . . , xr áóäåì òàêæå íàçûâàòü áàçèñíûìè, à îñòàâøèåñÿ êîìïîíåíòû xr+1 , . . . , xn ñâîáîäíûìè. Òàêèì îáðàçîì, âåêòîð-ðåøåíèå èìååò âèäx = x1...xrxr+1...xn.46Ëåêöèÿ 7Ñèñòåìà (∗) ðàâíîñèëüíà ðàâåíñòâóx1 a1 + . . . + xr ar = −xr+1 ar+1 − .

. . − xn an .(∗∗)Ïî òåîðåìå î áàçèñíîé ïîäìàòðèöå, ñòîëáöû ar+1 , . . . , an ïðèíàäëåæàò ëèíåéíîé îáîëî÷êå ñòîëáöîâ a1 , . . . , ar . Ïîýòîìó ïðè ëþáîì âûáîðå çíà÷åíèé ñâîáîäíûõ íåèçâåñòíûõçíà÷åíèÿ áàçèñíûõ íåèçâåñòíûõ, óäîâëåòâîðÿþùèõ ðàâåíñòâó (∗∗), ñóùåñòâóþò è îïðåäåëÿþòñÿ îäíîçíà÷íî. Òàêèì îáðàçîì, ñóùåñòâóþò n − r âåêòîðîâ âèäàv1 = x11...xr110...0x12...xr2 , v2 = 01...0 , . . . vn−r = x1 n−r...xr n−r00...1,êàæäûé èç êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñèñòåìû (∗):Av1 = 0, . . .

, Avn−r = 0.Âåêòîðû v1 , . . . , vn−r ëèíåéíî íåçàâèñèìû:α1 v1 + . . . + αn−r vn−r= ∗...∗α1α2...αn−r=0⇒α1 = . . . = αn−r = 0.Êðîìå òîãî, ëþáàÿ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ýòèõ âåêòîðîâ ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñèñòåìû(∗) è, áîëåå òîãî, åñëè x åñòü ïðîèçâîëüíîå ðåøåíèå ñèñòåìû (∗), òîx = xr+1 v1 + . . . + xn vn−r .Òàêèì îáðàçîì, ìû äîêàçàëè ñëåäóþùåå âàæíîå óòâåðæäåíèå.Òåîðåìà. Ìíîæåñòâî ðåøåíèé îäíîðîäíîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíå-íèé (∗) ñîâïàäàåò ñ ëèíåéíîé îáîëî÷êîé L(v1 , . . . , vn−r ) ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ âåêòîðîâv1 , . .

. , vn−r .Ñëåäñòâèå. dim L(v1 , . . . , vn−r ) = n − r.Ëèíåéíî íåçàâèñèìóþ ñèñòåìó ðåøåíèé w1 , . . . , wk ñèñòåìû Ax = 0 íàçûâàþò ôóíäàìåíòàëüíîé ñèñòåìîé, åñëè åå ëèíåéíàÿ îáîëî÷êà L(w1 , . . . , wk ) ñîâïàäàåò ñ ìíîæåñòâîì âñåõ ðåøåíèé îäíîðîäíîé ñèñòåìû Ax = 0.Ñëåäñòâèå. ×èñëî âåêòîðîâ â ëþáîé ôóíäàìåíòàëüíîé ñèñòåìå ðåøåíèé äëÿ Ax = 0ðàâíî n − r, ãäå r = rank A.Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà äîñòàòî÷íî çàìåòèòü, ÷òî ëèíåéíàÿ îáîëî÷êà âåêòîðîâ ôóíäàìåíòàëüíîé ñèñòåìû ðåøåíèé èìååò áàçèñ èç ïîñòðîåííûõ âûøå âåêòîðîâ v1 , . . .

, vn−r .Çàäà÷à.A è B ïîðÿäêà nrankA + rankB = n.Äàíû ìàòðèöûäåííàÿ. Äîêàçàòü, ÷òîòàêèå, ÷òîAB = 0è ïðè ýòîì ìàòðèöàA+Bíåâûðîæ-Å. Å. Òûðòûøíèêîâ7.847Òåîðåìà ÊðîíåêåðàÊàïåëëèÐàññìîòðèì ñèñòåìó ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé Ax = b ñ m × n-ìàòðèöåéA = [a1 , . . . , an ]. Ìàòðèöà [A, b] = [a1 , . . . , an , b] íàçûâàåòñÿ ðàñøèðåííîé ìàòðèöåéäàííîé ñèñòåìû.Òåîðåìà. Ñèñòåìà Ax = b ñîâìåñòíà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ðàíã ìàòðèöûêîýôôèöèåíòîâ ñîâïàäàåò ñ ðàíãîì ðàñøèðåííîé ìàòðèöû:rankA = rank[A, b].Äîêàçàòåëüñòâî. Ìû óæå çíàåì (ñì.

Ëåêöèþ 3), ÷òî ñîâìåñòíîñòü ñèñòåìû Ax = bðàâíîñèëüíà ðàâåíñòâó ëèíåéíûõ îáîëî÷åê L(a1 , . . . , an ) = L(a1 , . . . , an , b). Îñòàåòñÿçàìåòèòü, ÷òî rank A = dim L(a1 , . . . , an ) è rank [A, b] = dim L(a1 , . . . , an , b). 27.9Îáùåå ðåøåíèå ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõóðàâíåíèéÅñëè U è V äâà ìíîæåñòâà âåêòîðîâ èç Rn , òî ñóììîé U + V íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî,ñîñòàâëåííîå èç âñåâîçìîæíûõ ñóìì âåêòîðîâ âèäà u + v , ãäå u ∈ U , v ∈ V .Òåîðåìà. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñèñòåìà Ax = b ñîâìåñòíà, è çàôèêñèðóåì ïðîèçâîëü-íîå ÷àñòíîå ðåøåíèå u (Au = b).

Òîãäà ìíîæåñòâî âñåõ ðåøåíèé ñèñòåìû Ax = bèìååò âèä u + V , ãäå V ìíîæåñòâî âñåõ ðåøåíèé ñîîòâåòñòâóþùåé îäíîðîäíîéñèñòåìû Ax = 0.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü x ïðîèçâîëüíîå ðåøåíèå ñèñòåìû Ax = b. Òîãäà, î÷åâèäíî,A(x − u) = 0 ⇒ x − u ∈ V ⇒ x ∈ u + V . Äàëåå, âîçüìåì ïðîèçâîëüíûé âåêòîðx ∈ u + V ⇒ x = u + v, v ∈ V ⇒ A(u + v) = Au + Av = b + 0 = b. 2Ñëåäñòâèå. Îáùåå ðåøåíèå ñîâìåñòíîé ñèñòåìû Ax = b èìååò âèäx = u + c1 v1 + .

. . + cn−r vn−r ,ãäå u ïðîèçâîëüíîå ÷àñòíîå ðåøåíèå äàííîé ñèñòåìû, v1 , . . . , vn−r ëèíåéíî íåçàâèñèìûå ðåøåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùåé îäíîðîäíîé ñèñòåìû, r = rank A, à êîýôôèöèåíòûc1 , . . . , cn−r ïðîèçâîëüíûå ÷èñëà.Çàäà÷à.x ∈ Rn ,×òî ìîæíî ñêàçàòü î ìàòðèöå è ïðàâîé ÷àñòè ñèñòåìûåñëè åå ðåøåíèåì ÿâëÿåòñÿ ëþáîé âåêòîð èçAx = bîòíîñèòåëüíî âåêòîðàRn ?ÄÎÏÎËÍÈÒÅËÜÍÀß ×ÀÑÒÜ7.10Íåóñòîé÷èâîñòü ðàíãàÌàòðèöà íàçûâàåòñÿ ìàòðèöåé ïîëíîãî ðàíãà, åñëè åå ðàíã ñîâïàäàåò ñ îäíèì èç åå ðàçìåðîâ (òî åñòü, èìååò ìàêñèìàëüíî âîçìîæíîå çíà÷åíèå).