Список вопросов и задач к экзамену по аналитической геометрии (В.В. Колыбасова), страница 10

Пусть и — столбцы одинакового размера и = 1 + ≠ 0. Пусть = + , где — единичная матрица соответствующего порядка. Докажите, что −1 =1 − .6.96. Пусть — квадратная матрица, для которой = , где — нулевая матрица, ∈ ℕ. Докажите, что ( − )−1 = + + 2 + ⋯ + −1 , где — единичная матрицасоответствующего порядка. (Возведение матрицы в натуральную степень означает произведение матрицы самой на себя раз.)0 1 0 00 0 1 06.97.

Вычислите () для всех натуральных . (Возведение матрицы в0 0 0 10 0 0 0натуральную степень означает произведение матрицы самой на себя раз.)6.98. Докажите, что произведение двух верхних треугольных матриц одного порядкаявляется верхней треугольной матрицей.6.99. Докажите, что произведение двух нижних треугольных матриц одного порядкаявляется нижней треугольной матрицей.6.100. Докажите, что произведение двух диагональных матриц одного порядкаявляется диагональной матрицей.6.101. Пусть — квадратная матрица порядка .

Выразите определительприсоединённой матрицы через det .6.102. Пусть — кососимметричная квадратная матрица нечётного порядка.Докажите, что det = 0.6.103. Как изменится определитель -го порядка, если все его столбцы записать вобратном порядке?cos − sin 6.104. Пусть () = ().

Докажите, что () = () при ∈ ℕ.sin cos (Возведение матрицы в натуральную степень означает произведение матрицысамой на себя раз.)6.105. Коммутатором квадратных матриц и одинакового порядка называетсяматрица [, ] ≝ − . Докажите тождество Якоби: [[, ], ] + [[, ], ] +[[, ], ] = , где — нулевая матрица.6.106. Докажите, что любая квадратная матрица может быть единственнымобразом представлена в виде суммы симметричной и кососимметричной матрицы.11(Подсказка: требуемое разложение имеет вид = ( + ) + ( − ).)226.107. На плоскости даны две прямые: 1 + 1 + 1 = 0 и 2 + 2 + 2 = 0. 1 1 1Обозначим через ранг матрицы ( 1), через — ранг матрицы ( 1).2 22 2 240При каких значениях и прямые совпадают; параллельны, но не совпадают;пересекаются в единственной точке?6.108.

Даны две плоскости: 1 + 1 + 1 + 1 = 0 и 2 + 2 + 2 + 2 = 0. 1 1Обозначим через ранг матрицы ( 1), через — ранг матрицы2 2 2 1 1 1( 1). При каких значениях и плоскости совпадают; параллельны,2 2 2 2но не совпадают; имеют единственную общую прямую?−1−1−1−2−2−26.109. Даны две прямые в пространстве:==и==.Обозначим через ранг матрицы (12112112221), через — ранг матрицы2111222 ). При каких значениях и прямые совпадают;(2 − 1 2 − 1 2 − 1параллельны, но не совпадают; пересекаются в единственной точке;скрещиваются?6.110.

Докажите, что если три прямые на плоскости 1 + 1 + 1 = 0, 2 + 2 +1 1 12 = 0 и 3 + 3 + 3 = 0 пересекаются в одной точке, то |2 2 2 | = 0.3 3 31 1 16.111. Докажите, что если |2 2 2 | = 0, то три прямые на плоскости 1 + 1 +3 3 31 = 0, 2 + 2 + 2 = 0 и 3 + 3 + 3 = 0 либо пересекаются в одной точке,либо параллельны.6.112. Пусть , , — столбцы, составленные из координат векторов ⃗, ⃗⃗, ⃗относительно некоторого базиса в пространстве. Докажите, что есливекторы ⃗, ⃗⃗, ⃗ линейно зависимы, то и столбцы , , линейно зависимы.6.113. Пусть , , — столбцы, составленные из координат векторов ⃗, ⃗⃗, ⃗относительно некоторого базиса в пространстве. Докажите, что еслистолбцы , , линейно зависимы, то и векторы ⃗, ⃗⃗, ⃗ линейно зависимы.2 1 06.114.

При каждом значении параметра найдите ранг матрицы (2 1). 2 26.115. Прикаждомзначениипараметранайдитерангматрицы262 +1112).(2 − −6 −2−56.116. Матрица размера 4 × 3 такова, что присоединение к ней строки (1 1 1)меняет её ранг, а присоединение к ней строки (1 2 1) или (−1 1 1) не меняетеё ранга. Чему в таком случае равен ранг матрицы ? Ответ обоснуйте.6.117.

Докажите, что матрица ранга представима в виде суммы матриц ранга 1.6.118. Решите систему уравнений при каждом значении параметра :411 − 22 + 3 + 4 = ,{1 − 22 + 3 − 4 = −1,1 − 22 + 3 + 54 = 5.ОБРАЗЕЦ БИЛЕТА К ПЕРВОЙ ЧАСТИ ЭКЗАМЕНА1. Сформулируйте определение векторного произведения векторов. Чему равновекторное произведение векторов, один из которых нулевой? Чему равновекторное произведение вектора самого на себя?2. Сформулируйте оптическое свойство гиперболы.3.

Запишите формулу, связывающую алгебраические дополнения и минорыопределителя третьего порядка. Докажите её для случая первой строки и первогостолбца определителя.4. Докажите, что любое комплексное число, кроме нуля, можно представить втригонометрической форме.5. Получите необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух прямыхна плоскости 1 + 1 + 1 = 0 и 2 + 2 + 2 = 0.6. Докажите, что если квадратные матрицы и коммутируют, то выполняетсяравенство ( + )( − ) = ( − )( + ).ОБРАЗЕЦ БИЛЕТА КО ВТОРОЙ ЧАСТИ ЭКЗАМЕНА1.

Сформулируйте и докажите теорему о расположении точек относительно прямойна плоскости.(⃗, ⃗) (⃗, ⃗)⃗⃗⃗2. Докажите тождество: ([⃗, ], [⃗, ]) = ||.(⃗⃗, ⃗) (⃗⃗, ⃗)ЛИТЕРАТУРА1. В.В. Колыбасова. Лекции и семинары по аналитической геометрии:http://sites.google.com/site/vkolybasova2. В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. Аналитическая геометрия.3.

В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. Линейная алгебра.4. С.Б. Кадомцев. Аналитическая геометрия и линейная алгебра.5. А.В. Овчинников. Лекции и семинары по аналитической геометрии:http://matematika.phys.msu.ru/stud_gen/2142.