Calculus - Colloc03 - V.N. Chubarikov (Вопросы и задачи к трём коллоквиумам), страница 2
Описание файла
Файл "Calculus - Colloc03 - V.N. Chubarikov" внутри архива находится в папке "Вопросы и задачи к трём коллоквиумам". PDF-файл из архива "Вопросы и задачи к трём коллоквиумам", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 2 страницы из PDF
Доказать, что при s > 1 верно ζ(s) =∞Pn−s = sn=1R∞ ρ(x)1xs+1dx +1s−1+ 21 , ρ(x) =12Доказательство. Воспользуемся формулой суммирования ЭйлераXZxÃx→+∞aaВ данном случае f (x) = x−s ,Xρ(u)f 0 (u)du − ρ(a)f (a).f (u)du −f (m) − ρ(x)f (x) =a<m6xlimZxsf 0 (x) = − xs+1. Тогда можем записать!m−s−s− ρ(x)x1<m<xZ∞=x1—5 —Z∞−sdx + s11ρ(x)dx −s+1x2− {x}.∞XZ∞m−s=sm=121. Доказать, что lims→1+³ζ(s) −1s−11ρ(x)11+dx +s+1xs−1 2´=γ22.
Пусть f (x) > 0 и не убывает на [1; +∞), и пусть при x → +∞ справедливо соотношениеRx f (u)u du ∼ x. Доказать, что f (x) ∼ x при x → +∞123. Пусть f (x) > 0 на [0; +∞), и пусть при δ → 0+ справедливо равенствоR∞0f (t)e−δt dt ∼ 1δ .24. Пусть f (x) > 0 на [a; b] и f ∈ C[a; b]. Доказать, что1/nZblim f n (x)dxn→∞= sup f (x).x∈[a;b]aДоказательство.
Очевидно, что исходный предел меньше либо равен sup f (x). Докажем,что для ∀ε > 0 ∃n³Rbax∈[a;b]´1/n> sup f (x) − ε. Так как функция непрерывна на [a; b],f n (x)dxx∈[a;b]то по теореме Вейерштрасса она достигает своего максимума в какой-то точке x0 . В такомслучае, существует δ-окрестность, что ∀x ∈ (x0 − δ; x0 + δ) f (x) > M − 2ε .M −ε<M −ε= lim2 n→∞pnZb1/nf n (x)dxδ(M − ε/2)n 6 lim n→∞aБорис Агафонцев, 102 группаКонтакты: ICQ #216-059-136или e-mail: agava@zelnet.ruВерстка в LATEX 2ε .—6 —.