Calculus - Colloc01 - V.N. Chubarikov (Вопросы и задачи к трём коллоквиумам)

Вопросы к коллоквиуму №1I семестр, I поток, осень 2006 г.1 Множества. Операции над множествами. Декартово произведение. Отображения, функции.Взаимно-однозначное соответствие. Обратная функция.2 Эквивалентность множеств. Счётные множества. Счётность множества рациональных чисел.3 Теорема Г. Кантора о неэквивалентности множества и множества всех его подмножеств.4 Множество мощности континуум. Несчётность континуума.√5 Иррациональность 2.

Десятичная запись вещественного числа. Свойства вещественных чисел.Аксиома Архимеда.6 Теорема о существовании точной верхней грани у ограниченного сверху числового множества.7 Лемма об отделимости множеств. Лемма о системе вложенных отрезков. Лемма о последовательности стягивающихся отрезков.8 Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности и их свойства.9 Неравенство Бернулли и бином Ньютона.10 Сходящиеся последовательности и их арифметические свойства.11 Предельный переход в неравенствах.12 Монотонные последовательности.

Теорема Вейерштрасса.13 Число e и его иррациональность. Постоянная Эйлера.14 Теорема Больцано–Вейерштрасса о существовании частичного предела ограниченной числовойпоследовательности. Верхний и нижний пределы последовательности.15 Критерий Коши сходимости последовательности.16 Теорема Штольца. Предел последовательности средних арифметических членов сходящейсяпоследовательности.

Существования решения уравнения И. Кеплера.17 Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии. Итерационная формула Герона. Предельные соотношения:lim a1/n = 1, a > 0; lim n1/n = 1.n→∞n→∞Лектор, профессор—1 —В.Н. ЧубариковЗадачи для подготовки к коллоквиуму №1I семестр, I поток, осень 2006 г.1 Пусть x, y ∈ [a, b]. Доказать, что |x − y| 6 b − a.2 Доказать равенствоx + y + |x − y|= max(x, y).23 Пусть f (1) = 2 и f (n) = f (n − 1) + 12 .

Доказать, что f (n) = 2 +n−12 .4 Построить такие множества B ⊂ A ⊂ X и отображение f : X → X, что f (A \ B) 6= f (A) \ f (B).5 Пусть f : X → Y . Доказать, что следующие утверждения эквивалентны:(a) f – вложение (инъективное отображение)(b) f −1 (f (A)) = A для любого подмножества A ⊂ X.(c) f (A ∩ B) = f (A) ∩ f (B) для любых подмножеств ∀A, B ⊂ X.(d) A ∩ B = ∅⇒f (A) ∩ f (B) = ∅ (A, B ⊂ X).(e) f (A \ B) = f (A) \ f (B) для любой пары подмножеств B ⊂ A ⊂ X.6 Пусть f : A → B, g : B → C, h : C → D и отображения f ◦ g и g ◦ h биективны. Доказать, чтовсе отображения f, g, h являются биективными.7 Доказать, что множество всех конечных подмножеств множества натуральных чисел счётно.8 Доказать, что для того, чтобы множество X было бесконечно, необходимо и достаточно, чтобыдля каждого отображения f : X → X существовало такое непустое множество A ⊂ X, что A 6= Xи f (A) ⊂ A.(Указание.

Если бы f не обладала бы этим свойством и X было бесконечным, то X было бысчётным. Тогда можно считать, что X = N и f (n) > n при n > 0; это приводит к противоречию).9 Пусть E – бесконечное множество, D ⊂ E, D – не более, чем счётное множество и E \ Dбесконечно. Доказать, что E \ D и E равномощны.10 Показать, что множество всех иррациональных чисел равномощно множеству всех вещественных чисел R.11 Доказать, что [a, b] ∼ (a, b),[a, b] ∼ [a, b).12 Доказать, что sup A = − inf(−A),sup(A ∪ B) = max(sup A, sup B).13 Пусть определены выражения в правых частях соотношений.

Доказать, что справедливы следующие утверждения:(a) inf (−f (x)) = − sup f (x)x∈Ax∈A(b) sup(f (x) + g(x)) 6 sup f (x) + sup g(x)x∈Ax∈Ax∈A(c) sup(f (x) + g(x)) > sup f (x) + inf g(x), если sup g(x) существуетx∈Ax∈Ax∈A(d) sup(f (x) + c) = c + sup f (x)x∈Ax∈Aµ¶(e) supsup f (x1 , x2 ) =x1 ∈A1(f)x2 ∈A2sup(x1 ,x2 )∈A1 ×A2sup(x1 ,x2 )∈A1 ×A2f (x1 , x2 )(f (x1 ) + f (x2 )) = sup f (x1 ) + sup f (x2 ).x1 ∈A1x2 ∈A2—2 —14 Пусть B – непустое ограниченное множество вещественных чисел, b = sup B и b 6∈ B. Доказать,что b является предельной точкой множества B.15 Пусть {xn } – бесконечно малая последовательность неотрицательных вещественных чисел.Доказать, что ∀m ∈ N ∃ бесконечно много номеров n > m таких, что xn 6 xm .nknn→∞ 216 Доказать, что limlim n(a1/n − 1) = ln a, a > 0.= 0,n→∞17 Пусть lim xn = +∞.

Доказать, что limn→∞n→∞x1 +···+xnn= +∞.18 Пусть ∀n ∈ N pn > 0 и lim pn = p. Доказать, что lim (p1 . . . pn )1/n = p.n→∞n→∞¢n¡19 Исходя из равенства lim 1 + n1 = e доказать, что limn1/nn→∞ (n!)n→∞= e.20 Доказать, что последовательность an = (1 + 1/n)n+p строго убывает тогда и только тогда,когда p > 1/2.21 Доказать, что ∀r ∈ Q : |r| < 1 верно равенство 1 + r 6 er 6 1 +³´11122 Доказать, что lim n+1= ln 2.+ n+2+ · · · + 2nr1−r .n→∞23 Пусть {xn } последовательность с ограниченным изменением, т.е. ∃c > 0 : ∀n ∈ N верно неравенствоn−1X|xk+1 − xk | < c.k=1Доказать, что последовательность {xn } сходится.xn.n→∞ n24 Пусть 0 6 xm+n 6 xm + xn . Доказать, что ∃ lim25 Верно ли, что(a) lim (an + bn ) 6 lim an + lim bn , если последние пределы существуют;n→∞n→∞n→∞(b) если lim an = a и lim bn = b, то lim an bn = ab;n→∞n→∞n→∞(c) lim an = − lim (−an ).n→∞n→∞26 Пусть lim an = +∞.

Доказать, что ∃ min an .n→∞n∈N27 Пусть lim an = a. Доказать, что последовательность {an } имеет либо наибольший, либоn→∞наименьшей элемент, либо и тот и другой.28 Пусть sn = a1 + · · · + an → ∞, ak > 0,lim an = 0. Доказать, что множество предельныхn→∞точек дробных частей {sn } совпадает с отрезком [0; 1].29 Пусть lim (sn+1 − sn ) = 0 и не существует ни конечного, ни бесконечного предела lim sn ,n→∞и пусть l = lim sn ,n→∞n→∞L = lim sn . Доказать, что последовательность {sn } расположена всюдуn→∞плотно на отрезке [l; L].30(a) Пусть an > 0 и lim an = 0. Доказать, что существует бесконечно много номеров n таких,n→∞что an > max(an+1 , an+2 , . . .

).(b) Пусть an > 0 и lim an = 0. Доказать, что существует бесконечно много номеров n таких,n→∞что an < min(a1 , a2 , . . . , an−1 ).—3 —Список литературыНепосредственно подготовка к коллоквиуму начинается здесь.За часть доказательств огромное спасибо Толокольникову Александру [109], Соколовой Татьяне Владимировне [доценту кафедры мат. анализа МГИЭТ (ТУ) (г. Зеленоград)], а также всей102 группе.Борис Агафонцев, 102 группаСписок литературыc МехМат, I курс, первый поток, 2006-2007 уч.г.[1] Конспекты лекций по мат. анализу. °[2] Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н.

Чубариков. Лекции по математическому анализу, 4-еиздание, исправленное. М.: Дрофа, 2004. – 640 с.[3] И.И. Ляшко и др. Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл. Справочное пособие по высшей математике, том 1. М.: Едиториал УРСС, 2001. – 360 с. [В народе– «Антидемидович»].c Первая группа,[4] Конспекты лекций И.Б. Кожухова в физико-математическом лицее №1557, °2004-2006.[5] Никольский С.М. Курс математического анализа, том 1. М.: Наука, 1983.Последние изменения: 17 октября 2006 г.Об опечатках и неточностях пишите на agava@zelnet.ruЗа информацией о последних изменениях и по другимвопросам обращайтесь по ICQ #216-059-136Верстка в системе LATEX 2ε .Краткие комментарии к вопросам, некоторые доказательства1. Надеюсь, данный вопрос не требует дополнительного освещения.

В книге [2]: лекция 1, стр. 7-13.2. Приведу осмысленное доказательство теоремы о счётности множества рациональных чисел:Теорема 1. Множества Q и N равномощны.Доказательство. ∀ m(m, n) = 1, m ∈ Z, n ∈ N введём понятие высоты h = |m| + n ∈ N.n ∈ Q,При заданном значении h для знаменателей дробей n допустимы только значения 1, 2, . . .

, h −1 в силу определения |m| = h − n > 0. Для каждых n и h допустимыми являются не болеедвух значений m (может быть и ни одного, если при данных h и n m таково, что (m, n) 6= 1).Следовательно при фиксированной высоте h имеем не более 2h − 1 пар (m, n).Пересчёт дробей будем производить следующим образом:(a) по возрастанию высоты(b) при h = const по возрастанию знаменателя(c) при h, n = const по возрастанию числителяИтак, каждое число получит свой номер, все элементы из Q будут пересчитаны.В книге [2]: лекция 2, стр. 14-16.—4 —Список литературы3. Приведу осмысленное мной доказательство теоремы Кантора:Теорема 2 (Кантора). Множество X и множество всех его подмножеств Ω = Ω(x) неравномощны.Доказательство.

Доказательство проведём методом «от противного»: пусть существует биекцияF : X ↔ Ω. Тогда назовём элемент a ∈ X правильным, если a ∈ F (a) ∈ Ω. В противном случаеэтот элемент назовём особым. Множество всех особых элементов назовём дефектом D.Множество D не пусто, потому что ∅ ∈ Ω и ∃a | F (a) = ∅, но a 6∈ ∅.Так как установлено взаимооднозначное соответсвтие, то ∃d ∈ X | F (d) = D.

Возможны двевзаимоисключающие ситуации:(a) d ∈ D. Но в множество D по определению включены все такие элементы d, что d 6∈ F (d) = D.Противоречие.(b) d 6∈ D. В этом случае элемент d – правильный, т.е. d ∈ F (d) = D. Противоречие.В книге [2]: лекция 2, стр. 16-18.4. В книге [2]: лекция 2, стр. 16-18.5.

Важно: аксиома Архимеда, свойство №17 (билет №6)В книге [2]: лекция 3, стр. 19-25; лекция 4, стр 26-28.6. В книге [2]: лекция 4, стр. 26-30.7. В книге [2]: лекция 4, §5, стр. 30-31.8. В книге [2]: лекция 5, стр. 32-35.9. В книге [2]: лекция 5, стр. 35-39.—5 —1 Пределы числовых последовательностей10. Изложение данного материала в книге лично мне кажется несколько неестественным, поэтомуприведу другие доказательства, основанные на определении предела последовательности, взятыеиз [4]:1Пределы числовых последовательностейIf I have seen further than others, it is by standingupon the shoulders of giants.Isaac Newton1.1Определение числовой последовательности. Ограниченность.Определение.