Топологическая классификация интегрируемых случаев типа Горячева-Чаплыгина в динамике твердого тела, страница 3

Вс11тар 11сртин11лй ~йдннйь1Ф. и падпила1ОЙ снстсм»'. наардипнГ. ХХннаалсО О61цйн Я~ЯЯНЙНКЙ,ЛП1ОКСНЯЯ ГВС~)ДОГО *Я'С.1 1. Т1 ПОЛО ОСССЯЫМРТРН%ЩфэТХ ПОТ4'".НПНН11ЬП1ДХ и 1"И роска1.ических сил 6Ь1ли палу«1лпл М. И. Харлпмопым 34)". Маг.' ' ~А1~! ~- А+ (Л вЂ” Е . 011" А) Х Ы + 1 Х фТН(1 11, 1дс П = 11(":1,-,~1,"11~ — па"1йнцн11льйй.й ВННР1~ин тслн,„А = ~ Л1. А~, Ад 1 ВснтОР ГНРО- , дЛ, стл,тнческо1О моментн, Л " ( —,) — мнт11йца Яка15И, Е щннн Хнпя 14атри11п; и ''ъ 'чср63 х Обазпннсна йсктОрнас праизВсдспис В Н,' . 1,.'истн54и.

(1.1) садним"Гна с урпп Ленинки Пуассанн опнсь1цэ,ст мнапис .ьъда-п1 дяяаАпц<н тпсрдаГО тслй. Ц с117час А = саЫ сис.1 сма (1.1) принюмаст вид И ОписыБнст дпижсннс ГнрастНтз, Й аснсиьыйстричт1ам патснпиъльна!4 палс сий. При А = О мы палуянсм 7 рлтп1сния дВН1кнн2п1 тнсрдОГО тслн с Н1'падВИЭНИОЙ таннОЙ з прОИЗВОльнам Оснси14~4СГри~1на34 патбящижльнО14 пОНВ сил. Систбмй (1 1) абикаи.'т СЛВЛ;У1ОП.~ИМИ ННТСГРЗЛЙМК.

И = ( А1.1,1.1) П + П) - ИНТЕГРАЛ ВНС11ГКИ, (". = (,4Ы+ Л, ~) ннтсу"р11л пла1пнде11 1» — ( т у ) Г1 Оы1м~ рицссниД иитсГрд,.л паснальну «~ сдини~4 ный В1%1тар Внртнналн. Онпзь1пйстсЯ, сисТВ14ж ! 1,1) 1'жмильтапОВН нн сОВмюстных ЛОВЙр11настях урОЯия 1ВОмс1ричнсжОГО ннт1-'Грзлй н интсГрнлк плОПХВдВЬ Отнапи-. ТСЛЪНЙ НВНОИфОИ СЯЪЛТЛ6%~ТНЧССЗОЙ СТруКТурЬ1~ БрИИОДЙНКОЙ В Щ ° СКС':ГОМА (1.1) МО3КСЧ' бЫТЬ 11рсдСТЙЗлбн6, и БНДС я)ЙННВНИЙ ЭЙлирВ НК НЛРСбрс Ли Группи двнаол1ий трю11.1йрнО1О синлидапФ прастрзистБН (31). Систсмы тйлянО ВИДИ ГЗ 14ИЛЬТОНОВц ИЗ. ЧФТЩМФИСрЫЫХ О р бИТФТ: Наприса~юДКНЮННОХ'О ПрСДСТЭ ВЛСЙИИ ,бра Яи к~3). 'Таким о61хазо~, для иптнгрируемости системх" но бходеохо наличие одноГО ~фмхолнитслФаного иптегралаяео х З нча о двилесиххех классххчесхцк-о волчка Горичева.ЧНЕелвхгина е Щ иееоб.

адач4" .Нце ка случай дииженххл гиростье'а |2Я лоропео известна и исследовал алась с т „к рек~ ев р бота, ~ь1, Щ ~Щ ~Л1. На 6 леспоДРО~ ы" н"'- 'в ~~аловой топологии этих иатегрируе-.мыл случаев выполнен К. П, Харламовым ';.$~Ц, Ц работе А. А. Опи'.мкова 120) полу«-еоееа полила топологическаи класси~)икахХихе (,с точлостф„хо до ГЯ. бой Вквиийлсппхое".ГИ1 изовиергетическил поверхзеостей инхсхри р~ййум"о случал 1~о1ееРеева — 1аххлыгна--Сре'Ренского. Суеехествует1 одехажо, малоизвестнийингсгрирусмый случай Открьттыи Л Н. ~о рачевкем ~13), которыи прсдстаозпхет собой о6обхпение классичес1ып о случаи иххте-.

Грирусмости 1 ореечева- Чапле егиееа. Н атом сл~ чае моментке инсрЦии удовлетворлхот соотноепспиЕН4 Л1 — -- Ах == 4ЛЗ. То естк ьллххпсоид инерции тела относительво неподнежкной 'точки сеть ВллипсОид Враецсиил, и пхжтр тлжести теееа лелеит В ллоскостн вкватора итого еллипсоида. Система оказываетсее интсгрируомой на ХЕазсрхкости С = О в НОЛС сил г« . г параметр Пуанкаре 1произц ..д. пхе Веса тела нь 1хасстон ие от ехситра масс ло неподвижной иФчки), о проеехоольнаее постолнехаа. Сделаем замену пе1Н'".хеенных, полке.жн ы, — ~ЯЛ,е" „~длл про тотех далее будем обозначать ееовыс псремеянейе Гоми хке 6укееами1.

Чогдее е'еемилътониап и дополБич'ельный интее'1хал систс~4ъе с точкостеъео до постоййееого мнОнеителя 1 Й вЂ” Н~г„о .'- О/ Г) Ьуду т иметь вид", Сила, обуславливаеощаее наличие члена с коеффициентоке о, имеет постоннное напрявхепие, параллельное пеподвнжной в пространстве оси 0~». и прилоекена к одноее из точек оси еераеехехеил тела Ох, По величине ета сила обр~тно пропорциональна кубу рпсстоепеил от тоееки ее прилеехкениее до кеподвиленой в пространстве координатной плоскости ~От~ ~оде ск Олух система координат, соотвстствухощал Главееех-'~ ос~пх хпхернееи Гела, Яе1~ — неееодки~йаи в пространстве е ист~;ма координат с углаыи ЭЙеес1не 4, д, ф). В И78 г, И.В.Кеома1хов и И, В.

Кузнецов 1161 обобхцилн задачу о дьижсхеии волчка ГЪрлчсва Чаплехгиееа 11;Щ на случай Двивхонил гиростата, В ра6оее 116) рассмат амико'есее станда1хтиая динамичсскаи система иа орбитах В лгеОры Ли 44 3), геехерато1гх которой е доплетоорпкуг скобкам 11уассона инты ран й -, ~2,5+р)('У~ 1-,7~ + — ~1 1-2Ь:4з*6» 'Я( цдка) п~~ трон"л„и„щ~дйрфи3м, ириВОдн1$1ий смст8ИУ 1 1 ° ~1 и на% ~ '1) д~Ри 1 1,31, зздйзз.|'Хим:'"Й фО~жйъ'лймн: А — 2,'(.;„- Л'и',:~, -~ ~ь~.

+ — -,, '~ + 2ц~,.~~. 3 дзльпсйих~'м ямьнинния дння~с'1тип Об~,й'>щйпнОГО Г$1рО~.'.тй,'т'и ГО)иРН*.БО.-Ч Вплыхийж (м~ротио*. ОГГЧ) 6удьм аредстжвднть ие ко ураниты Эйисръ па аиг~.бра е(3), а н нид~:. ~1,1), У рнии~.ийя .'=)Йп~ри.— 11у~~~:~~йн. ~~~ли'.~сии й6~6ин..йй~~-;~ ~~~~» тйтн ГО рй йасин ЧипяьеГмни Гм6!ют Вид' ~'с~1ОВйа сдан 1ВОС'1и Внк1ора 1 с у~к'. ~О1.1 раВОИО1Ва -1..—:, онрс1~ВВнс'1' Вс 1 ВСЯ ИЧИНУ ~,'з кйж Корень ураннсння ПРН В'1ОМ ЬНРУ"ЕСЛ ТОЛБКО КОРНИ, УДОНДЮТВОРЯКЪП1ИС НСРсЪВВНСТВУ ыз(4мз — Л) > О. ((Й ржкъаш урмятндиия ('1.5) удобно нредставллть как пс.рисе юнне графкков фунюцдй ф 2, .$ д~ — (Зо.з — Л)' (ы, + Л)(4' з — 2о)" и ~;1 = --'(6 мз, ~м;сматрит~лл при Втоь1, как сясдуФ"Г из (1.

3 ~, (1.6), *1олько значстил ~м~з ~~ О. Анади" Зируя ВОВ Воз.'44О1йхьхВ Взаимниа рас11ОДО%Вх$ия Графижон фунилнй д1 н яз Ври раз ВН1й~~1к знй~ О11нпк 11арй11О1роВ о и Л, 1"1О1кно ВИДЯ'1и, 11О ура11ннинс (1.О) нрй усйоВни (1,6,' но~'.1'Дй. нмсс1 ОДИ11 ДВЙО1ВН'1'1'з1.н1.1Й Оз рйиа1екВнк1Й корснн осли 2Л':> О, и ио:киз иваси Одйн, ЯВВ наи 1рй разаи 1ш11~ д~йс1ни1сдк11ык о1~~ма~нкВны~. корин 11он усяоанн 2Л ~-:, О.

Ра,"здсяя1ощиВ сжъ'чаи поау~4анм НОГда мн~ъГ~Отлбж Р(ыз) имФжх' крздчпкй воронь, 'т. ю, Х ' и.'11 = О, Р (муд) = О. Послсдний дпа усВОВНН ВНВНВалбнтны с Р,ыз) = 6, 6 ~~+4Л - — ОЛ' — ц, и Водсч ъплла Вхо змамснис В Р(ыъ). жни~'чаем ~граВщение Оарсднляжущее Внжгплну 4МЗ, 16Л'+ (Зыз — Л)" (мз -( Л)з = О. (1,7) При Л = 0 ъхо ураищснис пме67 ОДинсчВР1ппхй корнпь ыз = О Д3111 Вснх значВиии О, ВРИ Л > О у урапн~,ннй ("1,7) ВСВ1ДВ Су1Ц~С1иус1 СДИИС1ВСЯй~Ф ОУрИЦа~."ВЬНВ1Й Воронь. Зналйниб." О как функЦии От параъи"Гра»Л~ нри которОВ1 у миох"ОЯЯОЯ8, 1 «мз) Возиикьах краткь|й кореВ1.„тактике Определяется одиозна пил.

брайну.~ ~ рс11ср ЯВНО»' 1 «ц~1нон1нцир ~~~"~ ду 71ар;~11~ 1'рами О и Л )Д~ъ родок1 ио с11сДОВатсяьнОГО нони2ксиия стсинний исходная систом6: 'сВОдится к яииВЙИОму и ~~му'ураввенпям по жз Вырази~ зиачемйхе а'з„й~лУА~Ч~~®~ ~~~~~~~~~~ УР~~ 2804Л" ~ — 55296а А~~ + ~54604йР - 114688) Л~~ — ( 1199088~ +2888528сЛЛ~~ ~ (1966080 — 50294784еР + 8220600~ ) А +~76267520еР— 1297036Ь~Р -- 26738688а)А" + 1,10182672~~' -28283904й + 210173952Ф ) А~ + ( — 3770ИВЙ + 63700992Й' +100668296а)Л~ 1 53144М" + 3338М8о"'+ 17915904а~ +28313 552О + 16777216 — -- 0 Яф Ри4.. 1,1 изйб~йжм.-нВ пОЛ,'~~~ичпхйл 4мщлипч~40сзйя4и и яяслскБхйъки м6 х~удВъ~ГЙ 2я~и" цап е1и~тБмх БО1ъпОЙ мнОГОЯлснВ ) ~,ыд) В плйскОс7и ~,Л „О), ЭхВ КРиВзн !1~'".9йсюжеи.'1' ОГь ьбсциГ» Л- н х(~~пъжх А = 4, А = 4/8 и ииюФУх коих%- ;~~~~~ ~~ — 2А, ~ —.

2Л",~9. В Об'~~~:~и 1:~~~~~~4л~п Р~~ з) й~~~ ~~ и~~йе~ ~~~~н д~Й~~йи 'рВ'д ~цццц ~~УРицР ~'.ф$ н$дЯ Уц~Р~'Я~ д ~~бди~"~и 11 У мн~~У~~~~ц~.'цц фд РУд~ ' 1д~ д~Я~ "~'ДУР" т~..~~И~~~ й~1~~~ц~~~~'л~ны~ ~~~рнй. П~~и ~~~.'~злы~~~ энй~~~иий~ пй1~.~~~~~,~9~~ 1~6~~~~~ 1П йй 'Ри~, 1,1) АЛО."Очл~::и Иы~) м~+ й~ ж~~~."~~ зй6~ Одий, лаиб~ Ц~и Оч1эиц~и.'льиых ВОЯпЯ, ТВ$~Ям юб1)Азам Гйыилы(лтиеп И мО+Р$" имВ1ь 4~дну ~пи.

~0РлдРлйющий сЩ- ЯиЯ) или т1~~ кои~ ИЧсс1'~~ .~~~ ~~и нй М . 3нй ~~:;нип ~<ж~Ол~й~~й~ пср7ых ин~~.Г9ъз~~В В бах тО~п<жх сл( ЦунэЩис; ЯССЛЮДОВаиив Онойств отобрЗЖОИил 34омбити В ИИТСГ~Я%РУии.,ых за,бичих дниймиеи тав дого т~.ла лилпе'.~я вал~ной ~яак-.тв~» изтчаиии топологии Оио~~.ий~, Бифурва' ции совместных уровной иитеграю~ екоргям и одного или двух '* р изучоньт длд миоги.ж задач меланьи ~27~, ~34"', 12ф ~19), Щ рассмотрим Отобразы:кие момента М . М~ -+ В.~~„~~, яппи;Охцеоеа примым произжадвии(%% ОтобрВжений зйдавиймь~ж иитФ."гралами Н и Л - йж дж прообразы то~и'к ~Ь, Й) сс"~ъ иитвгра,лйиыо миогообраэии п~;~ай задачи, иоторвп,.

6уцсм обозпачатв ',Н = Ь й = ~:). Бифуриациовио»'. м~~~иаотво",, опредилил иии мио)~огтво М точси ~ Ь, А) <= В., иад кото~а.1ми О гобраи~оиив .Л4 пе явлиитсн лоийлз ио триииаиалкм. Очсвидпо, что В бифУ~миЩионноо мн~ммстно Х облзътсльио Йхоли"Г крити чес~ыу; точки отоб~микйиия моыойти М, иоторь~в О6Озизмим~. Б общйВ| случа~' втИ дна Мнажоотаа МОГут ИЕ СОВПВдитЬ, ОЛИаКО„ООЛИ ИитОГраЛЬИЫО МИОГООбраВИН компехтды, то К = Е". 'Хажиев Образом, при поиожительнъ$Х значениях параметра а в 6ифурхжциоипое множество войдут тольао критичеоиис.. тсуи Отобрмкеиин мо- К ° - Д' мевта.„ио гормо ип~ тол из уоловия лииойиой завиоимооти гради~~ ~ов фунъций ~ Л,(~ и1." .гас1Л =а.рас1Н ~-о,огай~ +а,дгжйГ, С вЂ” О, Г=1, гд~.' ~7, Р~, из — пврпмотры, яо Обрз.щиюхцис с.й Одиоврсмопйо 3 яопь..записв В иту Оистсму в развернутом виде, получаем Одо~ ющио условии на критичесъио точиж ийтОГрах алого отобрззквиия: 111 12'1 Тт .~ — ~т'"Б~' ~.;аль 11'* 11.12~т и'„:тихойим к ВьтттоДъ- 11 моеетхОЯБОТГ1и Вт',тВВ,, т, тм~,Иу~ тт11тт) А:то) тттЪЖц:МЯВОМ.Е",Г, 1ГХ'11 Г1ЬП Вехнюю Вттият1ктт Йти лттз ттопедейий х'рттфиттотт фу ттт~ь~,,щт тт 1 ".

1у т ~О.12), т < — /21и), (('1,11„ю > ъ~2а~ ~1. И) а' 2ет, 11.1Ц, а < тат Гдд:, пересоттпто"3'1.я В 11 .1Т В ОДПОЙ ТОЧХ11" а ОттЪ НТКИЗЬ Ц1 ' ) >;/ Г2о, не могу Р петтт.сеютттГт,ел друг с др~ гом. "1'Вт*.Раем 116ртийм, ттттеГО ттутдеот'йуеГ три ржзпи''тньтх 'типе ' 11„'"~ р ио, 1.2.

3 мно1ттеоГВО зттй~тоттий от'О- 1"рт:мм, ЫОГорьы', ЙТ1~4есч'ттенщт иъобттттмжньт пж р, . ' * брттлтсцйтт мометГГх Входттг Го,...~«... - '.. 1"тиВых ~1. 14). дтт Г 'Гочтпт, .шм;йщие прапее порее~;.ттътотттяхстт ттттиВых т 1. 14). БВ .1исунтте оци дттиьт спл1111тттой липией. Ику 1рентттте Всттти кхкиютт ((1.12~, тт > О)1 ",«1.11',~.тт <. Отиметог иетптп.Го~йтà †.~~2ю й тт = -~ и 1:ООГтт~".~ТГГВ. Г1ттфу рт1йпиттйлтьт11 111ъиВът е . ~ 1.11) 1,12„"1 6удух ттттимтГГО Гиттестти приближатьстт т криттьттт, зттдзттттсмьтм 11й.11ем~."1'1ъинссхи урттВиехтиттми Ъ'тттериттдеттие 1.3.2 .тт1111 резлтт ттп тх знтт*теттий тт, Л тт::1 плоетттте Ги ттттрттмт.гротт ттерВях тттГГег.~т ГОВ ~' /1 1~ «.утпесгттуе-, 1 ~ти рттзл111тньтх Гигп бифурттттц~;.1ттптьт т трцтт~рттьпт ттоторьте етт~тт.' "тиепнО и 1от11тъ'Бстпзт пе рие.