Отзыв оппонента 2 (Свойства корреляторов калибровочных теорий поля)

Отзыв официального оппонента на диссертацию Морозова Андрея Алексеевича Свойства корреляторов калибровочных теорий полл представленную на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.04.02 — теоретическая физика Нс будет преувеличением сказать, что применение методов двумерных теорий и особенно конформных теорий поля в реалистических четырехмерных теориях представляет на сегодняшний день основное направление развития теоретической физики. В частности, соотношение Алдая-Гайотто-Тачикавы, связывающее суперсимметричные четырехмерные теории с корреляционными функциями специальных двумерных конформных теорий, уже привело к построению принципиально новых взаимосвязей между этими двумя теориями и другими моделями теоретической физики тина, бета-ансамблей, рассотрению которых в частности посвящена диссертационная работа Андрея Морозова.

Во второй главе рассмотрена конформная теория поля. В том числе, приведена процедура вычисления корреляторов конформной теории и, соответственно, конформных блоков, описывающих их голоморфную часть. Согласно такой процедуре конформные блоки описываются как произведение корреляторов двух и трех полей. В данной главе описаны свойства таких двух- и трехточечных корреляторов К оригинальным результатам относятся соотношения рекурсии для трехточечных корреляторов в конформной теории с алгеброй И'~з~ На мой взгляд к числу наиболее интересных результатов относятся результаты третьей главы, в которой рассмотрено соотношение Алдая-Гайотто-Тачикавы (АГТ) между конформной и суперсимметричной теориями. Согласно гипотезе АГТ конформный блок равен инстантонной части статистической суммы четырехмерной суперсимметричной теории.

Эта гипотеза проверена для корреляторов четырех, пяти и гпести гюлей на двумерной сфере и одного поля па двумерном торе. В случае двумерной сферы было рассмотрено соотношение АГТ в первых трех порядках разложеш~я по пертурбативному параметру. Рассмотренные случаи позволили также сделать вывод о выполнении гипотезы АГТ для произвольного числа полей на двумерной сфере в первых трех порядках разложения Отметим'цолученное выражение для предела болыной размерности поля для конформного блока.

С точки зрения суперсимметричной теории в таком пределе выражения для одного поля на двумерном торе и четырех полей на двумерной сфере должны совпадать, что и было проверено. В четвертой главе рассмотрена процедура вычисления корреляторов конформной теории с помощью теории свободных скалярных полей. В такой теории корреляторы не равны нулю только если размерности входящих в них полей связаны законом сохранения. Этот закон сохранения можно деформировать Для этого в коррелятор добавляют экранирующие поля Доценко-Фатеева, что приводит к представлению бета- ансамбля для конформного блока, который при этом выражается через интегралы сложного вида представляющие собой обобщения интегралов Сельберга.

Вычисление таких интегралов в общем виде оказыватеся сложной и до сих пор не решенной задачей, поэтому проверка гипотезы АГТ производится на различных характерных примерах или же в различных разложениях по параметрам задачи. В данной главе проверено, что в первых трех порядках разложения по непертурбативному параметру корреляторы и структурные константы, посчитанные с помощью представления бета;ансамбля, действительно равны посчитанным с помощью общих конформных свойств.

В пятой главе рассмотрена трехмерная теория Черна-Саймонса и связанная с ней теория узлов. В частности, приводится процедура вычисления инвариантов узлов, равных вильсоновским средним теории Черна-Саймонса, основанная на применении В;матриц и теории представлений. При использовании такого подхода поли- номы выражаются посредством разложения по характерам неприводимых представлений группы ЯЦУ). В данной главе также приводится выражение для полиномов ХОМФЛИ торических узлов. Для торических узлов полиномы известны для любого представления группы ЯЦМ). Это позволяет рассмотреть производящую функцию таких полиномов, то есть сумму таких полиномы в различных представлениях с коэффициентами, равными соответствующим характерам. Разложение по характерам применяется также при рассмотрении теории интегрируемых систем.

Так, оказывается возможным сравнить производящие функции полиномов ХОФЛИ и тау-функции иерархии Кадомцева-Петвиашвили. В данной главе доказано, что такие производящие функции для торических узлов являются тау-функциями, то есть они удовлетворяют билинейным соотношениям Хироты. Все заявленные результаты оригинальны и интересны. Соискатель проявид себя как перспективный исследователь, диссертационная работа которого создает хороший задел для дальнейших исследований соотношения АГТ и связанных с ним теорий квантовых поверхностей, а также исследований многочлспом ХОМФЛИ для неторических узлов.

К мелким недостаткам можно отнести некоторую лапидарность стиля. Это никоим образом не снижает высокой оценки данной работы, а соискатель — Андрей Адексеевич Морозов — бесспорно заслуживает присуждения искомой степени кандидата физико-математических наук. Л. О Чехов Доктор физико-математических наук в.н.с. Математического института им. В.А Стеклова РАН, 119991, г. Москва, ул. е-ша11;сЬеИюч©пй.гав Подпись Л.О.Чехова Зав. Отдела кадров МИАН В. И. Высоцкая .