Решение уравнения Гельмгольца в мгогосвязных волноводных областях

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВАФизический факультеткафедра математикиНа правах рукописиПетрова Юлия ЮрьевнаРЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА В МНОГОСВЯЗНЫХВОЛНОВОДНЫХ ОБЛАСТЯХ01.01.03 - математическая физикаАВТОРЕФЕРАТдиссертации на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукМосква 2006Работа выполнена на кафедре математики физического факультетаМосковского государственного университета имени М.В.

Ломоносова.Научный руководитель:доктор физико-математических наук,профессор В.П. Моденов .Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,профессор А.Б. Самохин,кандидат физико-математических наук,старший научный сотрудник В.В. Лопушенко.Ведущая организация:Московский государственный институтэлектроники иматематики (технический университет).Защита диссертации состоится 20 апреля 2006 года в ___ ч ___ мин назаседанииДиссертационногосоветаК501.001.17вМосковскомгосударственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119992,Москва, ГСП-2, Ленинские горы, д.1, стр.

2, МГУ, Физический факультет,аудитория СФА.С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультетаМГУ имени М.В. Ломоносова.Автореферат разослан «____» __________ 2006 года.Ученый секретарь Диссертационного совета,доктор физико-математических наук,П.А. Поляковпрофессор2ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫАктуальность исследованийСтремительныймикроэлектроникипроектированияпрогресссовременнойсопровождаетсяволноведущихбыстрымсистемирадиотехникиразвитиемобладаетяркотеориииивыраженнойтенденцией к исследованию коротковолновой части сантиметрового имиллиметровогодиапазона.Приизученииволноводно-резонансныхпроцессов в этом диапазоне длин волн возрастает требование к точностипроводимых расчетов и характеристик рассматриваемых систем.

Размерыволноводных неоднородностей становятся соизмеримы с длиной волны, чтотребует рассматривать подобные задачи в многомодовом приближении,учитывая, таким образом, высшие типы волн и их дифракционноевзаимодействие. Асимптотические методы и методы теории цепей не всегдамогут обеспечить необходимую точность, а физический эксперимент частоявляется достаточно сложным, длительным и дорогостоящим, поэтому напервый план выходит разработка и обоснование математических методоврешения волноводных задач в строгой электродинамической постановке.В последнее время теория волноводов интенсивно развивается.Большоеколичествонаучныхработпосвященоизучениюволновыхпроцессов и явлений, математическому моделированию различных систем иразработке математических методови алгоритмов их исследования.

Рядосновных вопросов математической теории волноводов был разработан вработах А.Н. Тихонова, А.А. Самарского, Г.В. Кисунько, П.Е. Краснушкина,Л.А. Вайнштейна, Б.З. Каценеленбаума. Весьма широкое применение втеории нерегулярных волноводов получил математически обоснованный А.Г.Свешниковым неполный метод Галеркина. Обширный круг за-дач былрешен на основе этого метода и его модификаций в работах А.С. Ильинс-кого,В.П. Моденова и других авторов.В современной электронике широкое применение находят различныеволноведущие системы: многоканальные линии передачи, устройства3деления и умножения электромагнитной энергии, многоканальные имногозвенные фильтры, волноводные резонаторы и т.д.Математическое моделирование физических процессов, происходящихв этих системах, приводит к необходимости постановки, теоретическогоисследо-вания и численного решения соответствующих краевых задач дляуравнения Гельмгольца с переменным коэффициентом в многосвязныхволноводных областях с границами, имеющими критические точки.Физическиеигеометрическиеособенностиопределяютматематическую специфику рассматриваемых краевых задач: бесконечностьи многосвязность волноводных областей, учет условий Мейкснера вкритических точках границ этих областей, учет при численном решениикраевых задач многомодовости и резонансного характера электромагнитныхпроцессов.Возникает потребность в разработке и обосновании соответствующегоматематического аппарата, учитывающего эти особенности, в частности,необходимость обобщения хорошо себя зарекомендовавших при решенииподобных задач неполного метода Галеркина, проекционного методасшивания и метода многомодовых матриц рассеяния (метода S-матриц) намногосвязные волноводные области.Все это определяет актуальность темы диссертации, посвященнойматематическому исследованию и разработке алгоритмов для численногорешения краевой задачи для уравнения Гельмгольца с переменнымкоэффициентом в многосвязных волноводных двумерных областях с кусочнопостоянными и кусочно-гладкими границами, имеющими критическиеточки, а также применению построенных алгоритмов при решенииконкретных прикладных задач радиофизики и микроэлектроники.Цели и задачи работыОсновной целью настоящей работы является следующее.МатематическоеисследованиекраевойГельмгольцапеременнымкоэффициентомсзадачидлявуравнениямногосвязныхволноводных областях, с границами, имеющими критические точки.4Разработка, математическое обоснование и численная реализацияалгоритма решения исследуемой краевой задачи, основанного наприменении интегральных условий проекционного сшивания, дляслучая многосвязных областей с кусочно-постоянной границей.Разработка, математическое обоснование и реализация алгоритмарешения рассматриваемой задачи, использующего неполный методГалеркина и интегральные условия проекционного сшивания, дляслучая многосвязных областей с кусочно-гладкой границей.Использование построенных алгоритмов на практике при решенииконкретных радиофизических задач.Основные положения диссертации, выносимые на защиту1.

Математическая постановка и решение краевой задачи для уравненияГельмгольцаспеременнымволноводныхдвумерныхкоэффициентомобластях,свмногосвязныхграницами,имеющимикритические точки.2. Численныеалгоритмырешенияданнойкраевойзадачииихматематическое обоснование.3. Применение рассматриваемых алгоритмов для решения некоторыхзадач радиофизики и микроэлектроники.Научная новизнаВ данной работе математически поставлена, теоретически исследованаирешена численно краевая задача для уравнения Гельмгольца вмногосвязных волноводных двумерных областях с кусочно-постоянной икусочно-гладкой границами, имеющими критические точки, в которыхвыполнены условия Мейкснера, и кусочно-постоянным или кусочнонепрерывнымзаполнением.многосвязныхобластейРазличияопределяютгеометриирассматриваемыхматематическиеособенностииспользуемых алгоритмов. Для областей с кусочно-постоянной границей икусочно-постояннымзаполнениемвпервыеразработан,математическиобоснован и реализован алгоритм решения поставленной задачи, основанный5на использовании метода нормальных волн с применением проекционныхусловий сшивания в интегральном виде.

Для областей с кусочно-гладкойграницей и кусочно-непрерывным заполнением разработан, математическиобоснован и численно реализован алгоритм решения рассматриваемойкраевой задачи, который опирается на неполный метод Галеркина ипроекционныеусловияповторяющейсясшивания.нерегулярностьюиДлямногосвязныхкусочно-постояннымобластейсзаполнениемвпервые разработан и реализован вычислительный алгоритм решенияисследуемой краевой задачи, который базируется на методе многомодовыхматриц рассеяния (метод S-матриц) с использованием проекционного методасшивания для анализа элементарного базового блока.Практическая значимостьПриведенные в диссертации алгоритмы реализованы в виде комплексаЭВМ программ и использованы на практике для решения задач дифракции внерегулярном и локально-нерегулярном плоском волноводе.

Полученыновыеинтересныефизическиерезультаты.Разработанныевработеалгоритмы, созданные на их основе программы и полученные результатымогутбытьиспользованывсовременноймикроэлектроникеприматематическом моделировании и создании систем автоматизированногопроектирования различных устройств СВЧ диапазона (многоканальныхделителей и сумматоров мощности, многозвенных фильтров, линий передачи,волноводно-диэлектрическихрезонаторов,базовыхэлементовифункциональных узлов систем сверхбыстрой обработки информации наобъемных интегральных схемах СВЧ и КВЧ и оптического диапазонов, идругих), а также в радиофизике (при исследовании волноводно-резонансныхпроцессов).Апробация работыРезультатыработыдокладывалисьавторомнаследующихмеждународных и всероссийских конференциях и школах-семинарах:6VIIМеждународнойконференциистудентовиаспирантовпофундаментальным наукам «Ломоносов-2000».

Москва. Апрель 2000.XIIВсероссийскойшколе-конференцииподифракцииираспространению волн. Москва. Декабрь 2001.X Международной школе-семинаре «Электродинамика и техника СВЧ,КВЧ и оптических частот». Фрязино. Август 2002.IX Всероссийской школе-семинаре «Физика и применение микроволн».Звенигород. Май 2003.II Международной научно-технической конференции «Физика итехнические приложения волновых процессов».