Некоторые подходы к усреднению эволюционных уравнений со случайными коэффициентами, страница 3

Ïîëå ßêîáè ìîæíî íàéòè èç óðàâíåíèÿ ßêîáè:y 00 + K(x)y = 0,ãäå K(x) ãàóññîâà êðèâèçíà, à ïðîèçâîäíûå áåðóòñÿ ïî ðàññòîÿíèþx îò íà÷àëüíîé òî÷êè. Óðàâíåíèå ßêîáè äîïîëíÿåòñÿ åñòåñòâåííûìèíà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè y(0) = 0 (âñå ãåîäåçè÷åñêèå ñåìåéñòâà âûïóùåíûèç îäíîé òî÷êè) è y 0 (0) = 1 (óñëîâèå íîðìèðîâêè). Ôèçè÷åñêèé ñìûñë ïîëÿßêîáè ñîñòîèò â ñëåäóþùåì: âåëè÷èíà y(x)θ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ëèíåéíûéðàçìåð óäàëåííûõ îáúåêòîâ ñ ìàëûì óãëîâûì ðàçìåðîì θ, ðàñïîëîæåííûõâî Âñåëåííîé íà ðàññòîÿíèè x îò íàáëþäàòåëÿ. ðàññìàòðèâàåìîé ñòàòèñòè÷åñêîé ìîäåëè ýôôåêòà ß.Á.

Çåëüäîâè÷àìû íå èíòåðåñóåìñÿ ïîäðîáíûì îïèñàíèåì ñâÿçè ìåæäó ôëóêòóàöèÿìèïëîòíîñòè âåùåñòâà è ôëóêòóàöèÿìè êðèâèçíû, êîòîðàÿ, â ïðèíöèïå,ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà èç óðàâíåíèé Ýéíøòåéíà. Âìåñòî ýòîãî K(x)ïîëàãàåòñÿ ñëó÷àéíûì ïðîöåññîì, ïðèíèìàþùèì êàê ïîëîæèòåëüíûå, òàêè îòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ. Ÿ3.3-Ÿ3.5 ïîëó÷åíû ÿâíûå ìîìåíòíûå óðàâíåíèÿ äëÿ ñòàòèñòè÷åñêèõñðåäíèõ 2-îãî, 3-åãî è 4-îãî ïîðÿäêîâ:1< y 2 >00 +4(K − K) < y 2 >= 0,31 1 2< y 3 >IV +10 K − K < y 3 >00 +9 K − K < y 3 >= 0,2222 2< y 4 >IV +20 K − K < y 4 >00 +64 K − K < y 4 >= 0.33Íàëè÷èå ýôôåêòèâíîé äîáàâêè K â ýòèõ óðàâíåíèÿõ ïðèâîäèò êïðîãðåññèâíîìó ðîñòó ñòàòèñòè÷åñêèõ ìîìåíòîâ ïîëÿ ßêîáè < y p >1/päàæå â òîì ñëó÷àå, êîãäà ñðåäíåå çíà÷åíèå êðèâèçíû ðàâíî íóëþ. Ÿ3.6 ðàññìîòðåí ñïîñîá èñêëþ÷åíèÿ ïîñòîðîííèõ ðåøåíèé ó óðàâíåíèéäëÿ < y 3 > è < y 4 >. Ÿ3.7 ñðàâíèâàþòñÿ ñêîðîñòè ïðîãðåññèâíîãî ðîñòà ñòàòèñòè÷åñêèõìîìåíòîâ, ïîëó÷åííûå àíàëèòè÷åñêè, ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè ñêîðîñòÿìèðîñòà, ïîëó÷åííûìè èç ÷èñëåííîãî ýêñïåðèìåíòà.

Ïîêàçàíî, ÷òî â11òåõ ïðåäåëàõ, â êîòîðûõ ïðÿìîé ÷èñëåííûé ýêñïåðèìåíò ïîçâîëÿåòèññëåäîâàòü ìîìåíòû ïîëÿ ßêîáè, åãî ðåçóëüòàòû ñ õîðîøåé òî÷íîñòüþñîâïàäàþò ñ ðåçóëüòàòàìè, ïîëó÷åííûìè àíàëèòè÷åñêè. Ÿ3.8 êðàòêî èçëîæåíû îñíîâíûå âûâîäû òðåòüåé ãëàâû.×åòâåðòàÿ ãëàâà ïîñâÿùåíà èññëåäîâàíèþ óñòîé÷èâîñòè ðåçóëüòàòîâ,êàñàþùèõñÿ ïîâåäåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ïîëÿ ßêîáè, ïðèïåðåõîäå îò ìîäåëè ñ ìãíîâåííûìè êîððåëÿöèÿìè ê ìîäåëè ñ ïàìÿòüþ. ýòîé ìîäåëè êðèâèçíà ïîëàãàåòñÿ ñëó÷àéíûì ïðîöåññîì ñ îáíîâëåíèåì,èìåþùèì êîíå÷íóþ êîððåëÿöèîííóþ äëèíó. Ÿ4.1 ïîêàçàíî, ÷òî ïðè âûâîäå ìîìåíòíûõ óðàâíåíèé â ðàìêàõêîðîòêîêîððåëèðîâàííîãî ïðèáëèæåíèÿ ïðè ëþáîì ñîîòíîøåíèè ìåæäó Kè K êðèâèçíà K(x) ìåíÿåò çíàê.

 ðåçóëüòàòå ýòîãî îñòàåòñÿ íåÿñíûì,ñ ÷åì èìåííî ñâÿçàí ýôôåêò ß.Á. Çåëüäîâè÷à ñ íàëè÷èåì íàãåîäåçè÷åñêîé ó÷àñòêîâ ñ îòðèöàòåëüíîé êðèâèçíîé, èëè æå ñ íàëè÷èåìíåáîëüøèõ ôëóêòóàöèé êðèâèçíû, âûçâàííûõ ôëóêòóàöèÿìè ïëîòíîñòè.Äëÿ ïðîÿñíåíèÿ ýòîãî âîïðîñà íåîáõîäèìî îòêàçàòüñÿ îò óñëîâèÿêîðîòêîêîððåëèðîâàííîñòè è ââåñòè â îïèñàíèå ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà K(x)ýôôåêòû ïàìÿòè, ÷òî è ñîñòàâëÿåò ñîäåðæàíèå ÷åòâåðòîé ãëàâû. Ÿ4.2 ïðèâåäåíî îïèñàíèå ìîäåëè ñëó÷àéíîé êðèâèçíû ñ îáíîâëåíèåì,êîòîðàÿ èñïîëüçóåòñÿ ïðè âûâîäå óðàâíåíèÿ äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãîîæèäàíèÿïîëÿßêîáè.Ýòàìîäåëüïðåäïîëàãàåòñòàòèñòè÷åñêóþíåçàâèñèìîñòü çíà÷åíèé êðèâèçíû â äîñòàòî÷íî äàëåêî îòñòîÿùèõ äðóãîò äðóãà òî÷êàõ ïðîñòðàíñòâà Âñåëåííîé. Ÿ4.3 ïîëó÷åíî óðàâíåíèå äëÿ < y >.

 ñèëó êîíå÷íîñòè êîððåëÿöèîííîé äëèíû îíî ÿâëÿåòñÿ ðàçíîñòíûì, îäíàêî, êàê è ñîîòâåòñòâóþùååäèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå, îíî îïèñûâàåòñÿ ýôôåêòèâíûì çíà÷åíèåìêðèâèçíû, ïðèâîäÿùèì ê íåêîòîðîìó óìåíüøåíèþ îñðåäíåííîãî çíà÷åíèÿK . Äðóãèìè ñëîâàìè, ðîñò ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ïîëÿ ßêîáè âìîäåëè ñ ïàìÿòüþ îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèÿìè òîãî æå õàðàêòåðà, ÷òîè â ìîäåëè ñ ìãíîâåííûìè êîððåëÿöèÿìè.

Òåì ñàìûì ïîäòâåðæäåíî, ÷òî12ýôôåêò ß.Á. Çåëüäîâè÷à äåéñòâèòåëüíî ñâÿçàí ñ ìàëûìè ôëóêòóàöèÿìèêðèâèçíû, à îáðàùåíèÿ åå çíàêà ïðè âûâîäå óðàâíåíèé â êîðîòêîêîððåëèðîâàííîé ìîäåëè ñ ôèçè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ íåñóùåñòâåííû. Ÿ4.4 îáñóæäàåòñÿ ïîëó÷åííàÿ ñ ó÷åòîì ïîñòåïåííîé ïîòåðè ïàìÿòèôîðìóëà äëÿ ýôôåêòèâíîãî çíà÷åíèÿ êðèâèçíû. Ïîêàçàíî, ÷òî îíàÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì íà ñëó÷àé ïðîèçâîëüíîãî êîððåëÿöèîííîãî ðàäèóñàñîîòâåòñòâóþùåé ôîðìóëû, ïîëó÷åííîé ðàíåå. Ÿ4.5 êðàòêî èçëîæåíû îñíîâíûå âûâîäû ÷åòâåðòîé ãëàâû. ïÿòîé ãëàâå èññëåäóåòñÿ çàâèñèìîñòü ìèíèìàëüíîãî îáúåìàâûáîðêè íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ ðåàëèçàöèé, íåîáõîäèìîãî â ÷èñëåííîìýêñïåðèìåíòå äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ìîìåíòîâ ëàãðàíæåâà ðåøåíèÿ, îòêîììóòàöèîííûõ ñâîéñòâ íåêîòîðûõ àëãåáðàè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ. Ÿ5.1 îáñóæäàåòñÿ ñâÿçü ïðîáëåìû ìèíèìàëüíîãî îáúåìà âûáîðêè ñîñâîéñòâàìè ïåðåìåæàåìîñòè. Ÿ5.2 ïîêàçûâàåòñÿ, ÷òî ëàãðàíæåâî ðåøåíèå â ñëó÷àå êîíå÷íîãîêîððåëÿöèîííîãî âðåìåíè ñðåäû èìååò âèä ïðîèçâåäåíèÿ íåçàâèñèìûõîïåðàòîðîâ, äåéñòâóþùèõ íà íà÷àëüíîå óñëîâèå.Ïóñòü ub ñêàëÿðíîå èëè âåêòîðíîå (íå îáÿçàòåëüíî òðåõìåðíîå) ïîëå,óäîâëåòâîðÿþùåå óðàâíåíèþ âèäà∂bub x)b+ (v∇)bu = L(t,u + ν4bu.∂tb çäåñü ÿâëÿåòñÿ àëãåáðàè÷åñêèì è ñîäåðæèò ñëó÷àéíûéÎïåðàòîð Lïàðàìåòð.

Ïåðåíîñíîé ÷ëåí (v∇)bu òîæå ìîæåò ñîäåðæàòü ñëó÷àéíóþñêîðîñòü. Ìû èíòåðåñóåìñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è Êîøè â áåçãðàíè÷íîìïðîñòðàíñòâå, ò.å. ýâîëþöèåé ïåðâîíà÷àëüíî çàäàííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ub0 . ñëó÷àå ìàëîãî êîýôôèöèåíòà ν ïðè ëàïëàñèàíå ëàãðàíæåâî ðåøåíèåïîëó÷àåòñÿ ïóòåì ïåðåõîäà â ñèñòåìó îòñ÷åòà, äâèæóùóþñÿ âìåñòåñî ñðåäîé, è îòáðàñûâàíèÿ ÷ëåíà ñî âòîðûìè ïðîèçâîäíûìè. Åñëèêîððåëÿöèîííîå âðåìÿ δ ñðåäû êîíå÷íî, òî ýòî ðåøåíèå èìååò âèäbn Abn−1 . . . Ab1 uub=Ab0 ,13bi = exp(L(tb i , xi )δ), i = 1, .

. . , n.ãäå Abi Ÿ5.3 ðàññìàòðèâàþòñÿ äâà âîçìîæíûõ ñëó÷àÿ: ñëó÷àé, êîãäà Aÿâëÿþòñÿ íåêîììóòèðóþùèìè, è ñëó÷àé, êîãäà âñå ýòè îïåðàòîðûêîììóòèðóþò äðóã ñ äðóãîì. Ïîêàçàíî, ÷òî îñîáåííîñòè ïîâåäåíèÿòèïè÷íîé ðåàëèçàöèè ëàãðàíæåâà ðåøåíèÿ, îáóñëîâëåííûå êîììóòàöèîííû-bi , ìîæíî ðàññìàòðèâàòü â êîíòåêñòå ïðîòèâîïîñòàâëåíèÿìè ñâîéñòâàìè Añâîéñòâïðîèçâåäåíèéñëó÷àéíûõìàòðèöèñëó÷àéíûõ÷èñåë.Âîòëè÷èå îò ñëó÷àéíûõ ÷èñåë, ïðîèçâåäåíèå íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõìàòðèö ïðè óâåëè÷åíèè ÷èñëà ñîìíîæèòåëåé àñèìïòîòè÷åñêè ðàñòåòïî ýêñïîíåíöèàëüíîìó çàêîíó (ýòîò âàæíûé è íåòðèâèàëüíûé ôàêòóñòàíîâëåí â ò.í. òåîðèè Ôåðñòåíáåðãà). Äàëåå ⠟5.3 ïðèâîäèòñÿêðàòêèé îáçîð îñíîâíûõ ðåçóëüòàòîâ àíàëèòè÷åñêîãî èññëåäîâàíèÿñîîòâåòñòâóþùèõ çàäà÷. Ÿ5.4 ïðåäñòàâëÿþòñÿ ðåçóëüòàòû ÷èñëåííîãî ýêñïåðèìåíòà. Ïîêàçàíî,÷òî äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ìîìåíòîâ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, ïðåäñòàâëÿþùèõñîáîé ïðîèçâåäåíèå íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ ÷èñåë, òðåáóåòñÿ îáúåìâûáîðêè ïîðÿäêà 103 ðåàëèçàöèé.

Ýòîò îáúåì ìíîãî ìåíüøå àíàëîãè÷íîãîîáúåìà, íåîáõîäèìîãî ïðè ìîäåëèðîâàíèè ìóëüòèïëèêàòèâíûõ êîíñòðóêöèéèç íåêîììóòèðóþùèõ ñîìíîæèòåëåé (ñëó÷àéíûõ ìàòðèö), ãäå òðåáóåòñÿ íåìåíåå 105 ðåàëèçàöèé. Ÿ5.5 ñðàâíèâàåòñÿ ñîîòíîøåíèå ìåæäó ñêîðîñòÿìè ðîñòà ïîñëåäîâàòåëüíûõ ñòàòèñòè÷åñêèõ ìîìåíòîâ, ïîëó÷åííîå ÷èñëåííî, ñ ñîîòâåòñòâóþùèìñîîòíîøåíèåì, íàéäåííûì èç àíàëèòè÷åñêîé òåîðèè. Ÿ5.6 êðàòêî èçëîæåíû îñíîâíûå âûâîäû ïÿòîé ãëàâû.Øåñòàÿ ãëàâà ïîñâÿùåíà èçó÷åíèþ íåêîòîðûõ íåëèíåéíûõ ìîäåëüíûõçàäà÷, â ðàìêàõ êîòîðûõ íà íà÷àëüíîì ðåæèìå âîñïðîèçâîäÿòñÿ ýôôåêòûïåðåìåæàåìîñòè. Ÿ6.1 è Ÿ6.2 ôîðìóëèðóþòñÿ îñíîâíûå öåëè è çàäà÷è øåñòîé ãëàâû.Íàñ èíòåðåñóåò ïîäàâëåíèå ïåðåìåæàåìîñòè è ïîñëåäóþùàÿ ñòàáèëèçàöèÿâ ðàññìîòðåííûõ ðàíåå ëàãðàíæåâûõ ìîäåëÿõ â ñëó÷àå, êîãäà â íèõ ââåäåíà14íåëèíåéíîñòü.

Äëÿ îïðåäåëåííîñòè ìû âûáèðàåì íåëèíåéíîñòü ñòåïåííîãîòèïà è èçó÷àåì óêàçàííûé êðóã âîïðîñîâ â ðàìêàõ çàäà÷y 00 +K(x)y = 0,1 + y2y 0 (0) = 1,y(0) = µ,a(x) + ky, y(0) = µ, k = const,1 + y2a(x)y0 =y + ky, y(0) = µ, k = const,1 + y2êîòîðûå ïîëó÷àþòñÿ èç ñîîòâåòñòâóþùèõ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé äîáàâëåíèåìy0 =÷ëåíîâ ñî ñòåïåííîé íåëèíåéíîñòüþ è ñòàáèëèçàöèîííîãî ÷ëåíà kyñîîòâåòñòâåííî. Ÿ6.3 ïðåäëîæåí ïðîñòîé àíàëèòè÷åñêèé ìåòîä, ïîçâîëÿþùèéïðåîäîëåâàòü òðóäíîñòè, ñâÿçàííûå ñ âûâîäîì çàìêíóòûõ ìîìåíòíûõóðàâíåíèé.  õîäå èññëåäîâàíèÿ ïàðàìåòðû µ è k âàðüèðîâàëèñü. Â÷àñòíîñòè, îòäåëüíî ðàññìîòðåí ñëó÷àé 0 < µ 1, êîòîðûé èíòåðåñåíòåì, ÷òî ïîçâîëÿåò îáíàðóæèòü ïîäàâëåíèå ýôôåêòîâ ïåðåìåæàåìîñòè ïðèïåðåõîäå íà÷àëüíîãî ëèíåéíîãî (íåóñòîé÷èâîãî) ðåæèìà â íåëèíåéíûé. Ÿ6.4 ïðåäñòàâëÿþòñÿ ðåçóëüòàòû ÷èñëåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ.

Ïîêàçàíî,÷òî ñ ðàçâèòèåì íåëèíåéíîñòè áûñòðî ïàäàåò ìèíèìàëüíîå ÷èñëîíåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ ðåàëèçàöèé, íåîáõîäèìîå äëÿ èññëåäîâàíèÿñðåäíåãî ðåøåíèÿ è åãî âûñøèõ ñòàòèñòè÷åñêèõ ìîìåíòîâ. Êðîìå òîãî,ïî ðåçóëüòàòàì ÷èñëåííîãî ýêñïåðèìåíòà ñäåëàí âûâîä îá îòñóòñòâèèôèíàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, ÷òî ñâèäåòåëüñòâóåò î ïðèíöèïèàëüíîéîãðàíè÷åííîñòè ëàãðàíæåâà ïîäõîäà ïðè èññëåäîâàíèè íåëèíåéíûõýâîëþöèîííûõ çàäà÷. Ÿ6.5 îáñóæäàþòñÿ âîçìîæíûå ïóòè îáîáùåíèÿ ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ. ÷àñòíîñòè, âíèìàíèå îáðàùàåòñÿ íà òî, ÷òî ïðåäëîæåííûé â ãëàâåàíàëèòè÷åñêèé ïîäõîä ðîäñòâåíåí ìåòîäó èíòåãðèðóþùåãî ìíîæèòåëÿ. Ÿ6.6 êðàòêî èçëîæåíû îñíîâíûå âûâîäû øåñòîé ãëàâû.Îñíîâíûå âûâîäû õîäå ïðîâåäåííîãî â äèññåðòàöèè èññëåäîâàíèÿ óñòàíîâëåíî, ÷òî:151) Ïðèåì âçÿòèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ îò òåíçîðíîé âåëè÷èíû,õàðàêòåðíûé äëÿ çàäà÷ ñòàòèñòè÷åñêîé ãèäðîäèíàìèêè, ìîæåò áûòüäîñòàòî÷íîáîëååýôôåêòèâíûìøèðîêèõêëàññàõèïðèðåøåíèèóðàâíåíèé,íåïðîáëåìûèìåþùèõ,ìîìåíòîââîîáùåâãîâîðÿ,ïðÿìîé ãèäðîäèíàìè÷åñêîé èíòåðïðåòàöèè.

Ñèñòåìàòèçàöèÿ äàííîãîïðèåìà ïîçâîëÿåò âûâîäèòü ïî îáùåé ñõåìå óðàâíåíèÿ äëÿ ìîìåíòîâëþáûõ íàòóðàëüíûõ ïîðÿäêîâ, èçáåãàÿ ïðè ýòîì ïðîáëåìû óñðåäíåíèÿíåëèíåéíûõ óðàâíåíèé äëÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ ñòåïåíåé ðåøåíèÿ.2) Ñòðóêòóðà ëèíåàðèçèðóþùèõ òåíçîðîâ ïîëÿ ßêîáè ïðèâîäèò êïîÿâëåíèþ ïîñòîðîííèõ ðåøåíèé ó ìîìåíòíûõ óðàâíåíèé, êîòîðûå ìîæíîèñêëþ÷èòü, ïîëîæèâ ôëóêòóàöèè êðèâèçíû ðàâíûìè íóëþ. Ïðè ýòîìèñïîëüçîâàíèå îòíîñèòåëüíîé âåëè÷èíû, ïîêàçûâàþùåé, âî ñêîëüêî ðàçñêîðîñòü ïðîãðåññèâíîãî ðîñòà ìîìåíòà (p + 1)-îãî ïîðÿäêà îòëè÷àåòñÿ îòñêîðîñòè ðîñòà p-îãî, ïîçâîëÿåò ñðàâíèâàòü àíàëèòè÷åñêèå ðåçóëüòàòû ñðåçóëüòàòàìè, ïîëó÷åííûìè ðàíåå â ÷èñëåííîì ýêñïåðèìåíòå.3) Óñëîæíåíèå ìîäåëè ñëó÷àéíîé êðèâèçíû ââåäåíèåì ýôôåêòîâ ïàìÿòèïðèâîäèò ê óñëîæíåíèþ ìîìåíòíîãî óðàâíåíèÿ äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãîîæèäàíèÿ ïîëÿ ßêîáè îíî ñòàíîâèòñÿ ðàçíîñòíûì.

Îäíàêî, êàêè ñîîòâåòñòâóþùåå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå, îíî îïèñûâàåòñÿýôôåêòèâíûì çíà÷åíèåì, ïðèâîäÿùèì ê íåêîòîðîìó óìåíüøåíèþ ñðåäíåéêðèâèçíû. Ïðè ýòîì â ðàññìîòðåííîé ìîäåëè ñëó÷àéíîãî ïðîöåññàñ îáíîâëåíèåì ýôôåêòèâíàÿ êðèâèçíà íå ÿâëÿåòñÿ êîíñòàíòîé, àïðåäñòàâëÿåò ñîáîé çíàêîîòðèöàòåëüíóþ ôóíêöèþ îò êîððåëÿöèîííîéäëèíû.4) ×èñëåííîå èññëåäîâàíèå ìîìåíòîâ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, ïðåäñòàâëÿþùèõ ñîáîé ïðîèçâåäåíèå áîëüøîãî ÷èñëà ñòàòèñòè÷åñêè íåçàâèñèìûõñëó÷àéíûõ ÷èñåë, òðåáóåò îáúåìà âûáîðêè ïîðÿäêà 103 ðåàëèçàöèé.Ýòîò îáúåì ìíîãî ìåíüøå àíàëîãè÷íîãî îáúåìà, íåîáõîäèìîãî ïðèìîäåëèðîâàíèè ìóëüòèïëèêàòèâíûõ êîíñòðóêöèé èç íåêîììóòèðóþùèõñîìíîæèòåëåé (ñëó÷àéíûõ ìàòðèö), ãäå òðåáóåòñÿ íå ìåíåå 105 ðåàëèçàöèé.165) Ñ ðàçâèòèåì íåëèíåéíîñòè áûñòðî ïàäàåò ÷èñëî íåçàâèñèìûõñëó÷àéíûõ ðåàëèçàöèé, íåîáõîäèìîå äëÿ èññëåäîâàíèÿ ñòàòèñòè÷åñêèõìîìåíòîâ ðåøåíèé óðàâíåíèé, âîñïðîèçâîäÿùèõ íà íà÷àëüíîì ýòàïåýôôåêòû ïåðåìåæàåìîñòè.Ñïèñîê ïóáëèêàöèé àâòîðà ïî òåìå äèññåðòàöèè1. Ãðà÷åâ Ä.À.

Òåíçîðíûé ïîäõîä ê ïðîáëåìå óñðåäíåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ δ -êîððåëèðîâàííûìè ñëó÷àéíûìè êîýôôèöèåíòàìè //Ìàòåìàòè÷åñêèå çàìåòêè, - 2010, - Ò. 87(3), - Ñ. 359-368.2. Grachev D.A. Averaging of Jacobi elds along geodesics on manifolds ofrandom curvature // Journal of Mathematical Sciences, - 2009, - V. 160(1), P.128- 138.3. Ãðà÷åâ Ä.À. Î ñîîòíîøåíèè ìåæäó àíàëèòè÷åñêèì è ÷èñëåííûìïîäõîäàìè ê èññëåäîâàíèþ ñòîõàñòè÷åñêèõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé// Âû÷èñëèòåëüíûå ìåòîäû è ïðîãðàììèðîâàíèå, - 2008, - Ò. 9(2), - Ñ. 8590.4. Ãðà÷åâ Ä.À.