Некоторые подходы к усреднению эволюционных уравнений со случайными коэффициентами
Описание файла
PDF-файл из архива "Некоторые подходы к усреднению эволюционных уравнений со случайными коэффициентами", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "физико-математические науки" из Аспирантура и докторантура, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. , а ещё этот архив представляет собой кандидатскую диссертацию, поэтому ещё представлен в разделе всех диссертаций на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
ÌÎÑÊÎÂÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒèìåíè Ì.Â. ËÎÌÎÍÎÑÎÂÀÔèçè÷åñêèé ôàêóëüòåòÍà ïðàâàõ ðóêîïèñèÃðà÷åâ Äåíèñ Àëåêñàíäðîâè÷ÍÅÊÎÒÎÐÛÅ ÏÎÄÕÎÄÛ Ê ÓÑÐÅÄÍÅÍÈÞÝÂÎËÞÖÈÎÍÍÛÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉÑÎ ÑËÓ×ÀÉÍÛÌÈ ÊÎÝÔÔÈÖÈÅÍÒÀÌÈÑïåöèàëüíîñòü 01.01.03 ìàòåìàòè÷åñêàÿ ôèçèêàÀÂÒÎÐÅÔÅÐÀÒäèññåðòàöèè íà ñîèñêàíèå ó÷åíîé ñòåïåíèêàíäèäàòà ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóêÌîñêâà 2011Ðàáîòà âûïîëíåíà íà êàôåäðå ìàòåìàòèêè ôèçè÷åñêîãî ôàêóëüòåòàÌîñêîâñêîãî Ãîñóäàðñòâåííîãî Óíèâåðñèòåòà èìåíè Ì.Â. Ëîìîíîñîâà.Íàó÷íûé ðóêîâîäèòåëü:äîêòîð ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê,ïðîôåññîð Ä.Ä.
ÑÎÊÎËÎÂÎôèöèàëüíûå îïïîíåíòû: äîêòîð ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê,ïðîôåññîð Â.Í. ÒÓÒÓÁÀËÈÍäîêòîð ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóêÀ.Ñ. ÏÅÒÐÎÑßÍÂåäóùàÿ îðãàíèçàöèÿ:Çàùèòà ñîñòîèòñÿ ¾ÈÇÌÈÐÀÍ èìåíè Í.Â. Ïóøêîâà¿2011 ã. â÷àñîâ íà çàñåäàíèèÄèññåðòàöèîííîãî Ñîâåòà Ä 501.002.10 ïðè Ìîñêîâñêîì ÃîñóäàðñòâåííîìÓíèâåðñèòåòå èìåíè Ì.Â. Ëîìîíîñîâà ïî àäðåñó: 119991, Ìîñêâà,Ëåíèíñêèå ãîðû, ÌÃÓ, ôèçè÷åñêèé ôàêóëüòåò, àóä..Ñ äèññåðòàöèåé ìîæíî îçíàêîìèòüñÿ â áèáëèîòåêå ôèçè÷åñêîãî ôàêóëüòåòàÌÃÓ.Àâòîðåôåðàò ðàçîñëàí ¾¿2011 ã.Ó÷åíûé ñåêðåòàðü Äèññåðòàöèîííîãî Ñîâåòà Ä 501.002.10äîêòîð ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê, ïðîôåññîðÞ.Â.
ÃðàöÎáùàÿ õàðàêòåðèñòèêà ðàáîòûÀêòóàëüíîñòü òåìûÍåñìîòðÿ íà çíà÷èòåëüíûé ïðîãðåññ â ðàçâèòèè ìåòîäîâ èçó÷åíèÿýâîëþöèîííûõ óðàâíåíèé ñî ñëó÷àéíûìè êîýôôèöèåíòàìè, èññëåäîâàíèåêàê óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ, òàê è îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ïîäîáíîãî òèïà ñîïðÿæåíî ñ ñåðüåçíûìè çàòðóäíåíèÿìè.Äåëî â òîì, ÷òî àíàëèòè÷åñêèå ðåçóëüòàòû, êàê ïðàâèëî, ïðåäñòàâëÿþòñîáîé ëèøü íåêîòîðûå óòâåðæäåíèÿ îá àñèìïòîòè÷åñêîì ïîâåäåíèèòèïè÷íîé ðåàëèçàöèè ðåøåíèÿ áåç îöåíêè ñêîðîñòè âûõîäà íà àñèìïòîòèêó.Ýòó òðóäíîñòü â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ óäàåòñÿ ïðåîäîëåòü ïðè ïîìîùè÷èñëåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ, îäíàêî âîçìîæíîñòè ïîñëåäíåãî îãðàíè÷èâàåòïðîáëåìà,ñâÿçàííàÿñîáúåìîìâûáîðêèíåçàâèñèìûõñëó÷àéíûõðåàëèçàöèé ðåøåíèÿ, êîòîðûé òðåáóåòñÿ â ÷èñëåííîì ýêñïåðèìåíòå äëÿèçó÷åíèÿ ñâîéñòâ åãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ è âûñøèõ ñòàòèñòè÷åñêèõìîìåíòîâ.
Äàæå äëÿ äîñòàòî÷íî ïðîñòûõ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ýòîòîáúåì ìîæåò áûòü î÷åíü áîëüøèì, ïîðÿäêà ïîëóìèëëèîíà ðåàëèçàöèé.Âìåñòå ñ òåì, ðåøåíèå ïðîáëåìû ìîìåíòîâ àêòóàëüíî è ñ òî÷êè çðåíèÿàíàëèòè÷åñêîé òåîðèè, ïîñêîëüêó äàëåêî íå âñåãäà ïîíÿòíî, êàê ïîäîéòè êâûâîäó çàìêíóòûõ óðàâíåíèé äëÿ ìîìåíòíûõ ôóíêöèé ðåøåíèÿ (îñîáåííîýòî êàñàåòñÿ íåëèíåéíûõ çàäà÷).Ñïåöèôèêà ðåøåíèÿ ïðîáëåìû ìîìåíòîâ îïðåäåëÿåòñÿ êàê âèäîìñàìîãî óðàâíåíèÿ, òàê è ñòðóêòóðîé åãî ñëó÷àéíûõ êîýôôèöèåíòîâ,ïîýòîìó äëÿ ðàçíûõ êëàññîâ çàäà÷ ïðèõîäèòüñÿ èñïîëüçîâàòü ðàçíûåìåòîäû óñðåäíåíèÿ. Èíîãäà ðåøåíèå çàäà÷è óäàåòñÿ âûïèñàòü â ÿâíîìâèäå ÷åðåç êîýôôèöèåíòû óðàâíåíèÿ, ïîñëå ÷åãî íåïîñðåäñòâåííûìóñðåäíåíèåì è íàõîäÿòñÿ åãî ìîìåíòíûå ôóíêöèè. Ðàçâèòèþ òàêîãîïîäõîäà, îêàçàâøåãîñÿ îñîáåííî ýôôåêòèâíûì ïðè èññëåäîâàíèè ëèíåéíûõçàäà÷, ïîñâÿùåíû ìíîãî÷èñëåííûå ðàáîòû Äæ.
Àäîìèàíà, Â.È. Êëÿöêèíà,Ñ.À. Ìîë÷àíîâà, Â.È. Òèõîíîâà è äð. Äðóãîé ïîäõîä ñîñòîèò â òîì,1÷òî äëÿ ìîìåíòíûõ ôóíêöèé ñòðîÿòñÿ öåïî÷êè äèôôåðåíöèàëüíûõóðàâíåíèé, êîòîðûå îêàçûâàþòñÿ, êàê ïðàâèëî, áåñêîíå÷íûìè, ñâÿçàííûìèè íåçàìêíóòûìè. Ïðîáëåìå çàìûêàíèÿ ýòèõ öåïî÷åê ïîñâÿùåíà îáøèðíàÿëèòåðàòóðà (îòìåòèì, íàïðèìåð, ðàáîòû À.Â. Ôóðñèêîâà, â êîòîðûõïîñòðîåíà ìîìåíòíàÿ òåîðèÿ äëÿ óðàâíåíèé Íàâüå-Ñòîêñà). Åùå îäèíïîäõîä, îïèðàþùèéñÿ íà àïïàðàò âàðèàöèîííûõ (ôóíêöèîíàëüíûõ)ïðîèçâîäíûõ, ðàçâèò â íåäàâíèõ ðàáîòàõ Â.Ã. Çàäîðîæíèì.Âìåñòå ñ òåì, â ôèçè÷åñêèõ ïðèëîæåíèÿõ (â ÷àñòíîñòè, â çàäà÷àõìàãíèòíîé ãèäðîäèíàìèêè) íåðåäêî âîçíèêàåò ïðîáëåìà óñðåäíåíèÿäèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ êîýôôèöèåíòàìè â âèäå êîðîòêîêîððåëèðîâàííûõ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ, êîãäà êîððåëÿöèîííàÿ äëèíà äëÿêîýôôèöèåíòîâ óðàâíåíèÿ ñ÷èòàåòñÿ ìàëîé è äåòàëè ïîâåäåíèÿ ðåøåíèÿíà ñîîòâåòñòâóþùèõ ìàñøòàáàõ èãíîðèðóþòñÿ.
Ïîäîáíûå çàäà÷è âïåðâûåáûëè ðàññìîòðåíû â êîíòåêñòå òåîðèè ãèäðîìàãíèòíîãî äèíàìî À.Ï.Êàçàíöåâûì è ïîçäíåå èññëåäîâàëèñü â ðàáîòàõ ß.Á. Çåëüäîâè÷à, À.À.Ðóçìàéêèíà, Ñ.À. Ìîë÷àíîâà, Ä.Â. Ñåìåíîâà è äð.Âàæíûì ïðåèìóùåñòâîì ìîäåëè ñ ìãíîâåííûìè êîððåëÿöèÿìè ÿâëÿåòñÿòî îáñòîÿòåëüñòâî, ÷òî ôîðìàëüíûé ïðåäåëüíûé ïåðåõîä ïðè óñòðåìëåíèèêîððåëÿöèîííîé äëèíû ê íóëþ ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü äëÿ ìîìåíòíûõôóíêöèéäèôôåðåíöèàëüíûåóðàâíåíèÿ,àíåèíòåãðî-ðàçíîñòíûå,êîòîðûå âîçíèêàþò ïðè ó÷åòå ýôôåêòîâ ïàìÿòè.  äèññåðòàöèè âäàííîì êîíòåêñòå èññëåäóåòñÿ ïðîáëåìà ìîìåíòîâ â êëàññå ëèíåéíûõóðàâíåíèé ñ êîðîòêîêîððåëèðîâàííûìè ñëó÷àéíûìè êîýôôèöèåíòàìè,à òàêæå ðÿä âîçìîæíûõ ïîäõîäîâ ê èçó÷åíèþ òèïè÷íûõ ðåàëèçàöèéè ñòàòèñòè÷åñêèõ ìîìåíòîâ ðåøåíèé íåêîòîðûõ íåëèíåéíûõ óðàâíåíèéñî ñòåïåííîé íåëèíåéíîñòüþ ñïåöèàëüíîãî âèäà.
Ïðåäëîæåííûé äëÿëèíåéíûõ óðàâíåíèé ìåòîä óñðåäíåíèÿ çàòåì ïðèìåíÿåòñÿ ê èññëåäîâàíèþîäíîãî òîíêîãî ýôôåêòà, âïåðâûå îáíàðóæåííîãî ß.Á. Çåëüäîâè÷åì âêîíòåêñòå êîñìîëîãèè.Êàê èçâåñòíî, Âñåëåííàÿ â áîëüøèõ ìàñøòàáàõ îáëàäàåò èñêëþ÷èòåëüíîé2ñòåïåíüþ îäíîðîäíîñòè è èçîòðîïèè, îäíàêî â ìàëûõ ìàñøòàáàõ îíàíåîäíîðîäíà è àíèçîòðîïíà èç-çà êîíöåíòðàöèè ìàòåðèè â ìàññèâíûõíåáåñíûõ òåëàõ. Åùå â 1964 ãîäó ß.Á.
Çåëüäîâè÷ ïîêàçàë, ÷òî ôëóêòóàöèèïëîòíîñòè, âûçâàííûå òàêèìè íåîäíîðîäíîñòÿìè, ïðèâîäÿò ê íåáîëüøîìóñèñòåìàòè÷åñêîìó èñêàæåíèþ êîñìîëîãè÷åñêèõ òåñòîâ, êîòîðûå äåëàþòÂñåëåííóþ, êðèâèçíà ïðîñòðàíñòâåííîãî ñå÷åíèÿ êîòîðîé â ñðåäíåìðàâíà íóëþ, â èçâåñòíîé ñòåïåíè ïîõîæåé íà îòêðûòóþ êîñìîëîãè÷åñêóþìîäåëü. Ýôôåêò Çåëüäîâè÷à ñ ãåîìåòðè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ óäîáíîîïèñûâàòü â òåðìèíàõ ïîëåé ßêîáè íà ãåîäåçè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâåííîãîñå÷åíèÿ, âäîëü êîòîðûõ è ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ ëó÷è ñâåòà.
Ïîëå ßêîáèïðè ýòîì óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ ßêîáè, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûìäèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì âòîðîãî ïîðÿäêà. Êîýôôèöèåíò â ýòîìóðàâíåíèè - ãàóññîâà êðèâèçíà - ïîëàãàåòñÿ ñëó÷àéíûì ïðîöåññîì,ïðèíèìàþùèì êàê ïîëîæèòåëüíûå, òàê è îòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ. íåäàâíèõ ðàáîòàõ Â.Ã. Ëàìáóðòà, Ä.Ä. Ñîêîëîâà è Â.Í.
Òóòóáàëèíàïîêàçàíî, ÷òî ýôôåêò Çåëüäîâè÷à ìîæíî ïîíèìàòü êàê âîçíèêíîâåíèåíåáîëüøîé ýôôåêòèâíîé äîáàâêè ê óñðåäíåííîìó çíà÷åíèþ êðèâèçíûâ óðàâíåíèè äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ïîëÿ ßêîáè. Âûâîä ýòîãîóðàâíåíèÿ ïðîâîäèëñÿ â ðàìêàõ êîðîòêîêîððåëèðîâàííîãî ïðèáëèæåíèÿ;ïðè ýòîì àêòóàëüíîé çàäà÷åé îñòàâàëîñü ïîëó÷åíèå ÿâíûõ óðàâíåíèéäëÿ âûñøèõ ñòàòèñòè÷åñêèõ ìîìåíòîâ ïîëÿ ßêîáè, âõîäÿùèõ â îïèñàíèåýôôåêòà Çåëüäîâè÷à.  äèññåðòàöèè íà îñíîâå ïðåäëàãàåìîãî òåíçîðíîãîïîäõîäà ê óñðåäíåíèþ ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñêîðîòêîêîððåëèðîâàííûìè êîýôôèöèåíòàìè ýòà çàäà÷à ðåøåíà.Åùå îäíîé àêòóàëüíîé çàäà÷åé ÿâëÿåòñÿ ïðîÿñíåíèå âîïðîñà îáóñòîé÷èâîñòè ðåçóëüòàòîâ ïðè ïåðåõîäå îò ìîäåëè ñ ìãíîâåííûìèêîððåëÿöèÿìè ê ìîäåëè ñ ïàìÿòüþ.
 äèññåðòàöèè â äàííîì êîíòåêñòåðàññìàòðèâàåòñÿ ïîâåäåíèå ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ïîëÿ ßêîáè âñëó÷àå, êîãäà êðèâèçíà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îáíîâëÿþùèéñÿ ñëó÷àéíûéïðîöåññ ñ ìàëîé, íî êîíå÷íîé êîððåëÿöèîííîé äëèíîé.  ýòîì æå3êîíòåêñòå èññëåäóþòñÿ íåëèíåéíûå óðàâíåíèÿ, äëÿ êîòîðûõ ïîëó÷åííûå âðàìêàõ êîðîòêîêîððåëèðîâàííîãî ïðèáëèæåíèÿ àíàëèòè÷åñêèå ðåçóëüòàòûñîïîñòàâëÿþòñÿ ñ ðåçóëüòàòàìè ÷èñëåííîãî ýêñïåðèìåíòà, ïðîâåäåííîãîïðè ôèêñèðîâàííîé êîððåëÿöèîííîé äëèíå.Öåëè è çàäà÷è ðàáîòû õîäå ïðîâåäåííûõ èññëåäîâàíèé ðåøàëèñü ñëåäóþùèå îñíîâíûå çàäà÷è:1.
Íàõîæäåíèå êîíñòðóêòèâíîãî ìåòîäà ðåøåíèÿ ïðîáëåìû ìîìåíòîââ êëàññå ëèíåéíûõ îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñêîðîòêîêîððåëèðîâàííûìè ñëó÷àéíûìè êîýôôèöèåíòàìè.2. Ïîëó÷åíèå ÿâíûõ óðàâíåíèé äëÿ âûñøèõ ñòàòèñòè÷åñêèõ ìîìåíòîâïîëÿ ßêîáè. Íàõîæäåíèå èç ýòèõ óðàâíåíèé ïîêàçàòåëåé ñêîðîñòåéïðîãðåññèâíîãî ðîñòà ìîìåíòîâ è ñðàâíåíèå èõ ñ ñîîòâåòñòâóþùèìèïîêàçàòåëÿìè, ïîëó÷åííûìè ðàíåå èç ÷èñëåííîãî ýêñïåðèìåíòà.3. Âûÿâëåíèå ðîëè ïàìÿòè äëÿ ýêñïîíåíöèàëüíîãî ðîñòà ñðåäíåãîðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ ßêîáè â êîíòåêñòå çíàêîïåðåìåííîñòè ñëó÷àéíîéêðèâèçíû â ìîäåëè ñ ìãíîâåííûìè êîððåëÿöèÿìè.4. Ïðîâåäåíèå àíàëèòè÷åñêîãî è ÷èñëåííîãî èññëåäîâàíèé íåêîòîðûõìîäåëüíûõ íåëèíåéíûõ çàäà÷, â ðàìêàõ êîòîðûõ íà íà÷àëüíîé ñòàäèèâîñïðîèçâîäÿòñÿ ýôôåêòû ïåðåìåæàåìîñòè.5. Îïðåäåëåíèå ìèíèìàëüíîãî îáúåìà âûáîðêè íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõðåàëèçàöèé ðåøåíèé ðàññìàòðèâàåìûõ íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé, íåîáõîäèìîãî â ÷èñëåííîì ýêñïåðèìåíòå äëÿ èçó÷åíèÿ èõ ñòàòèñòè÷åñêèõ ìîìåíòîâ.Ñðàâíåíèå ýòîãî îáúåìà ñ îáúåìîì, êîòîðûé òðåáóåòñÿ äëÿ ÷èñëåííîãîìîäåëèðîâàíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ ëèíåéíûõ çàäà÷.Íàó÷íàÿ íîâèçíàÏðåäñòàâëåííûé â äàííîé ðàáîòå ïîäõîä ïîçâîëÿåò èññëåäîâàòü âûñøèåñòàòèñòè÷åñêèå ìîìåíòû ðåøåíèÿ ëþáîãî ëèíåéíîãî îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿñ êîðîòêîêîððåëèðîâàííûìè ñëó÷àéíûìè êîýôôèöèåíòàìè.
Íà îñíîâå4ââåäåííîãî ïîíÿòèÿ ëèíåàðèçèðóþùåãî òåíçîðà âïåðâûå óäàëîñü ïîñòðîèòüêîíñòðóêòèâíûé àëãîðèòì, ïîçâîëÿþùèé âûâîäèòü ÿâíûå óðàâíåíèÿ äëÿìîìåíòíûõ ôóíêöèé ïðîèçâîëüíûõ íàòóðàëüíûõ ïîðÿäêîâ.Äëÿ ðàññìîòðåííûõ íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñî ñëó÷àéíûìè êîýôôèöèåíòàìè ïðåäëîæåí ìåòîä, ïîçâîëÿþùèé èññëåäîâàòü ïîâåäåíèå âûñøèõñòàòèñòè÷åñêèõ ìîìåíòîâ ðåøåíèé. Íîâèçíà ýòîãî ìåòîäà çàêëþ÷àåòñÿâ òîì, ÷òî âìåñòî ìîìåíòíûõ ôóíêöèé ðåøåíèé, ÿâíûå óðàâíåíèÿ äëÿêîòîðûõ ïîëó÷èòü íå óäàåòñÿ, èññëåäóþòñÿ ìîìåíòíûå ôóíêöèè íåêîòîðûõôóíêöèîíàëîâ îò ðåøåíèé.Àíàëèòè÷åñêè ïðîäåìîíñòðèðîâàíî è çàòåì ÷èñëåííî ïîäòâåðæäåíî,÷òî ýôôåêòû ïåðåìåæàåìîñòè, õàðàêòåðíûå äëÿ ëèíåéíûõ óðàâíåíèéñî ñëó÷àéíûìè êîýôôèöèåíòàìè, èìåþò ìåñòî íà íà÷àëüíûõ ñòàäèÿõ èäëÿ íåëèíåéíûõ çàäà÷.
