Новые топологически нетривиальные решения в струнной гравитации и космологии, страница 2

Ëåãêî óâèäåòü, ÷òî âûðàæåíèå äëÿ ýíòðîïèè ñîäåðæèò ÷ëåí ÁåêåíøòåéíàÕîêèíãàè ïîïðàâî÷íîå ñëàãàåìîå.  ñëó÷àå ïîäñòàíîâêè êëàññè÷åñêîé ïîïðàâî÷íîéôóíêöèè ψ(S) = S , â îòñóòñòâèå ìàãíèòíîãî çàðÿäà ïîïðàâî÷íîå ñëàãàåìîå îêàçûâàåòñÿ â òî÷íîñòè ðàâíûì ïåðâîìó ñëàãàåìîìó. Òîãäà ïîëó÷àåòñÿóäâîåííîå çíà÷åíèå äëÿ õîêèíãîâîé ýíòðîïèè: S = 2πρ2E . òðåòüåé ãëàâå ¾Êîñìîëîãèÿ ÂàéíáåðãàÑàëàìà¿ ïðîâîäèòñÿ èññëåäîâàíèå êîñìîëîãè÷åñêèõ ðåøåíèé äëÿ îäíîðîäíîé è èçîòðîïíîé âñåëåííîé,çàïîëíåííîé ïîëÿìè ìàòåðèè èç áîçîííîãî ñåêòîðà Ñòàíäàðòíîé ìîäåëè.Ðàçäåë 3.1 íà÷èíàåòñÿ ñ ïîñòðîåíèÿ ïîëíîãî àíçàöà è ñîîòâåòñòâóþùåãîîäíîìåðíîãî äåéñòâèÿ.

Ìû ïîêàçûâàåì, ÷òî ýôôåêòèâíûé ïîòåíöèàë ïîëÿ7Õèããñà ñîäåðæèò ðàçëè÷íûå ïî õàðàêòåðó ñëàãàåìûå:λ 23 2j22 22Vef f (f ) = (f − v ) + 2 f (e(h − 1) + 2) + 6 2 ,44aaf÷òî ÿâëÿåòñÿ îòëè÷èòåëüíîé ÷åðòîé íåàáåëåâîé ìîäåëè. Ýòîò ïîòåíöèàë, ïîìèìî ñòàíäàðòíîãî õèããñîâñêîãî ÷ëåíà, îïèñûâàåò âçàèìîäåéñòâèå ñêàëÿðíîãî è êàëèáðîâî÷íîãî ïîëåé, f è h, à òàêæå èçîñïèíîâûé ÷ëåí, êîòîðûéïîÿâëÿåòñÿ ïðè âîçáóæäåíèè âíóòðåííåé ñâîáîäû ñêàëÿðíîãî äóáëåòà âðàùåíèÿ â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå. Áóäó÷è êèíåòè÷åñêèì ïî ïðèðîäå, ýòî èçîñïèíîâîå ñëàãàåìîå îïèñûâàåò íå òåìíóþ ýíåðãèþ, à òåìíóþ ìàòåðèþ ñ óðàâíåíèåì ñîñòîÿíèÿ w ≡ p/ρ = 1. ðàçäåëå 3.2 ìû âíà÷àëå íàõîäèì àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå äëÿ ìàñøòàáíîãî ôàêòîðà a, êîãäà ñêàëÿðíîå ïîëå ñòàòè÷íî è èãðàåò ðîëü êîñìîëîãè÷åñêîé ïîñòîÿííîé:sa=e−γt22η4) +(4−γ+ Ceγt .424γ CγÇäåñü γ, η è C ïàðàìåòðû ñèñòåìû, çàâèñÿùèå îò íà÷àëüíûõ óñëîâèé. Ïðèíàëè÷èè íåòðèâèàëüíîé äèíàìèêè ñêàëÿðíîãî ïîëÿ â ñèñòåìå âîçíèêàåò õàîñ, ÷òî äåëàåò íåâîçìîæíûì ïîëó÷åíèå àíàëèòè÷åñêèõ ðåøåíèé.

Ïîýòîìó,ìû ïðîâîäèì äèíàìè÷åñêèé àíàëèç, èññëåäóÿ ïîâåäåíèå ñèñòåìû â îêðåñòíîñòè îñîáûõ òî÷åê.  îòñóòñòâèå èçîñïèíîâîãî ïîòåíöèàëà ìîæíî â ÿâíîìâèäå âûïèñàòü äâà ñåìåéñòâà îñîáûõ òî÷åê:f = 0,h = 0,ãäå ïàðàìåòð l =p√l−1,a = 2/ l è f 2 = h =l+1ra=22,l+18λ/3 âûðàæàåòñÿ ÷åðåç êîíñòàíòó Õèããñà. Îêàçûâàåòñÿ,÷òî âòîðîå ñåìåéñòâî îñîáûõ òî÷åê, âîçíèêàþùåå èìåííî áëàãîäàðÿ âçàèìîäåéñòâèþ ñêàëÿðíîãî è êàëèáðîâî÷íîãî ïîëåé, ïðè l > 7, 5 îïèñûâàåò ôîêóñ,â òî âðåìÿ êàê òî÷êè ïåðâîãî ñåìåéñòâà âñåãäà ÿâëÿþòñÿ óçëîâûìè. Ñîîòâåòñòâåííî, â îêðåñòíîñòè òî÷åê âòîðîãî ñåìåéñòâà ïðè ïîäõîäÿùåì íàáîðåïàðàìåòðîâ äîëæíî íàáëþäàòüñÿ ñòàöèîíàðíîå ñîñòîÿíèå âñåëåííîé, êîãäàìàñøòàáíûé ôàêòîð áóäåò îñöèëëèðîâàòü îêîëî íåêîòîðîãî çíà÷åíèÿ.8 ðàçäåëå 3.3 íàëè÷èå ïîäîáíûõ ñòàöèîíàðíûõ ñîñòîÿíèé ïîäòâåðæäàåòñÿ ÷èñëåííî, è äåìîíñòðèðóåòñÿ ñìåíà ýòàïîâ ýâîëþöèè ñèñòåìû.

Ìû ïîêàçûâàåì, ÷òî ïîñëå ýòàïà ïåðâîíà÷àëüíîãî ðàñøèðåíèÿ ìîæåò íàñòóïèòüçàìåäëåíèå, íî äàæå ïîëíàÿ îñòàíîâêà ðàñøèðåíèÿ íå ïðèâîäèò ê êîëëàïñóâñåëåííîé. Íàïðîòèâ, âîçìîæåí íîâûé ýòàï ýêñïîíåíöèàëüíîãî óñêîðåííîãîðàñøèðåíèÿ. Ìåæäó ýòèìè ýòàïàìè çàìåäëåííîãî è óñêîðåííîãî ðàñøèðåíèÿ âñåëåííàÿ ìîæåò äîñòàòî÷íî äîëãî íàõîäèòüñÿ â ñòàöèîíàðíîì ñîñòîÿíèè. Ïîäêëþ÷åíèå èçîñïèíîâîãî ïîòåíöèàëà óâåëè÷èâàåò ïðîäîëæèòåëüíîñòü ñòàöèîíàðíîãî ñîñòîÿíèÿ çà ñ÷åò óìåíüøåíèÿ îñöèëëÿöèé àìïëèòóäûñêàëÿðíîãî ïîëÿ: áîëüøàÿ ÷àñòü êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè óõîäèò íà âðàùåíèå âôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå õèããñîâîãî äóáëåòà. Îñîáåííîñòüþ ðàññìàòðèâàåìîéìîäåëè çàêðûòîé âñåëåííîé ÿâëÿåòñÿ íåèçáåæíîå ñæàòèå íà ïîçäíåé ñòàäèèýâîëþöèè, íî îíî íå îáÿçàòåëüíî ñîïðîâîæäàåòñÿ êîëëàïñîì.

Êàê èçâåñòíî,â ïîäîáíûõ ñèñòåìàõ åñòü âîçìîæíîñòü öèêëè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ âñåëåííîé,êîãäà ñæàòèå çàâåðøàåòñÿ íå êîñìîëîãè÷åñêîé ñèíãóëÿðíîñòüþ, à îòñêîêîìè íîâûì öèêëîì ðàñøèðåíèÿ. Ïðè ïîìîùè ÷èñëåííûõ ðåøåíèé ìû äåìîíñòðèðóåì, ÷òî òàêîå ïîâåäåíèå äåéñòâèòåëüíî ðåàëèçóåòñÿ, õîòÿ è íå ïðè âñåõçíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ. Íàëè÷èå äîïîëíèòåëüíîé ñòåïåíè ñâîáîäû êàëèáðîâî÷íîãî ïîëÿ ïðèâîäèò ê ñóùåñòâåííîìó îòëè÷èþ õàðàêòåðèñòèê ýòèõöèêëîâ ýâîëþöèè, ïîñêîëüêó ñêàëÿðíîå è êàëèáðîâî÷íîå ïîëÿ îêàçûâàþòñÿäèíàìè÷åñêè ñëàáî ñâÿçàííûìè, ÷òî îáíàðóæèâàåòñÿ ïðè ïîìîùè ÷èñëåííîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå äëÿ ðåøåíèé. Ýòî ïîçâîëÿåò âûäâèíóòü èäåþ îðåàëèçàöèè àíñàìáëÿ ñîñòîÿíèé âñåëåííîé, îòëè÷àþùèõñÿ ïî õàðàêòåðèñòèêàì, ïî àíàëîãèè ñ Ìåòà-âñåëåííîé.×åòâåðòàÿ ãëàâà ¾Íåàáåëåâû êîñìè÷åñêèå ñòðóíû¿ ïîñâÿùåíà èññëåäîâàíèþ ñòàòè÷åñêîé ìàãíèòíîé êîíôèãóðàöèè ïîëÿ ßíãàÌèëëñà SU (2)ñ öèëèíäðè÷åñêîé ñèììåòðèåé.

Íåàáåëåâû êàëèáðîâî÷íûå ïîëÿ èçó÷åíû, âîñíîâíîì, äëÿ ñôåðè÷åñêè-ñèììåòðè÷íûõ ñèñòåì, â òî âðåìÿ êàê â àáåëåâîì ñëó÷àå èññëåäîâàíû è êîíôèãóðàöèè ñ öèëèíäðè÷åñêîé ñèììåòðèåé. Âðàçäåëå 4.1 âûâîäèòñÿ íàèáîëåå îáùèé àíçàö äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé êîíôèãóðàöèè ïîëÿ:eAµ dxµ = Tϕ R(ρ)dz + Tz P (ρ)dϕ,9ãäå Ti öèëèíäðè÷åñêèå ãåíåðàòîðû SU (2), ïîëó÷àåìûå óìíîæåíèåì ìàòðèö Ïàóëè íà îðòû öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìû êîîðäèíàò. Ìû ïîêàçûâàåì,÷òî ýòîò àíçàö ñîäåðæèò òîëüêî äâå ôóíêöèè, R è P , îïèñûâàþùèå ïðîäîëüíóþ è àçèìóòàëüíóþ êîìïîíåíòû âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà. Îáíàðóæèâàåòñÿ,÷òî óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ èíâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíî äèñêðåòíîé ñèììåòðèè,ìåíÿþùåé ìåñòàìè îäíîâðåìåííî ïðîñòðàíñòâåííûå è öâåòîâûå èíäåêñû:ϕ ↔ z . Òàêæå ìû íàõîäèì, ÷òî â ñèñòåìå ïðèñóòñòâóþò äâà íåòåðîâñêèõòîêà, âîçíèêàþùèå èç-çà èíâàðèàíòíîñòè ñèñòåìû îòíîñèòåëüíî ñäâèãîâ âîâðåìåíè è âäîëü îñè ñèììåòðèè. ðàçäåëå 4.2 ôîðìóëèðóþòñÿ óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ.

Äëÿ ñèñòåìû â ïëîñêîì ïðîñòðàíñòâå óäàåòñÿ ïðåäñòàâèòü ðåøåíèå â âèäå ôîðìàëüíîãî ñòåïåííîãî ðÿäà. Ïàðàìåòðû ýòîãî ðåøåíèÿ ïîëíîñòüþ õàðàêòåðèçóþòñÿ çíà÷åíèÿìè ïîëåé íà îñè ñèììåòðèè: k ≡ P (0), q ≡ R(k) (0) è B ≡ −P 00 (0), ãäå ïîñëåäíèéïàðàìåòð ñîâïàäàåò ñ âåëè÷èíîé íàïðÿæåíèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ íà îñè ñèììåòðèè. Ïðîñòðàíñòâî ðåøåíèé îêàçûâàåòñÿ âûðîæäåííûì â òîì ñìûñëå,÷òî ëþáûå äâà ðåøåíèÿ, ïàðàìåòðû êîòîðûõ óäîâëåòâîðÿþò ñîîòíîøåíèþµ ¶2 µ ¶k+1q1B1=,q2B2îòëè÷àþòñÿ ëèøü ðàñòÿæåíèåì âäîëü îñåé. ðàçäåëå 4.3 ïðîâîäèòñÿ èññëåäîâàíèå àñèìïòîòè÷åñêèõ ðåøåíèé äëÿ ñèñòåìû ïðè íàëè÷èè ãðàâèòàöèè. Çäåñü ïàðàìåòðàìè âûñòóïàþò èíòåãðàëüíûå âåëè÷èíû M∞ , W∞ è X∞ , ôîðìàëüíî îïðåäåëÿåìûå êàê èíòåãðàëû îòíóëÿ äî ρ → ∞ îò ïðàâûõ ÷àñòåé óðàâíåíèé Ýéíøòåéíà (tt), (ϕϕ) è (zz).

Íàýòè ïàðàìåòðû íàëàãàåòñÿ óñëîâèå ñóùåñòâîâàíèÿ àñèìïòîòè÷åñêîãî ðåøåíèÿ, ÷òî ïîçâîëÿåò íàéòè òå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ, ïðè êîòîðûõ èõ ôîðìàëüíîå îïðåäåëåíèå ïðèîáðåòàåò ðåàëüíûé ñìûñë, è íå âîçíèêàåò ïðîòèâîðå÷èéâ ñèñòåìå óðàâíåíèé äâèæåíèÿ.  ðåçóëüòàòå, ìû ïîëó÷èëè ñîîòíîøåíèåM∞ − W∞ = 2kB,ñîâïàäàþùåå (ñ òî÷íîñòüþ äî ìíîæèòåëÿ) ñ óñëîâèåì ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ Ìåëüâèíà â ìîäåëè àáåëåâîé êîñìè÷åñêîé ñòðóíû. Îêàçàëîñü, ÷òî10åñëè äëÿ ðåøåíèÿ â ïëîñêîì ïðîñòðàíñòâå èç êîìïîíåíò òåíçîðà ýíåðãèèèìïóëüñà ïîñòðîèòü ôîðìàëüíóþ ðàçíîñòü M∞ −W∞ , òî îíà áóäåò óäîâëåòâîðÿòü ýòîìó æå ñîîòíîøåíèþ.

Àñèìïòîòè÷åñêóþ ìåòðèêó, êîòîðàÿ äëÿ öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìû â êàëèáðîâêå gρρ = 1 õàðàêòåðèçóåòñÿ ïàðàìåòðàìèÊàçíåðà (a, b, c), ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå îäíîïàðàìåòðè÷åñêîãî ñåìåéñòâà:gtt = ρ2a ,gϕϕ = ρ2b ,gzz = ρ2c ,pa = (1 − 3β + 1 − 3β 2 )/3,pb = (1 + 3β + 1 − 3β 2 )/3,pc = (1 − 2 1 − 3β 2 )/3.Ïðè β = 0 ìåòðèêà ïðèîáðåòàåò áóñòîâóþ ñèììåòðèþ â ïëîñêîñòè (t, ϕ), âòî âðåìÿ êàê ðàíåå áûëè èçâåñòíû òîëüêî ðåøåíèÿ ñ ìåòðèêîé, îáëàäàþùåéáóñòîâîé ñèììåòðèåé â ïëîñêîñòè (t, z).

Çäåñü æå ìû èññëåäóåì òîïîëîãèþïîëó÷åííûõ ðåøåíèé è íàõîäèì, ÷òî ÷åðåç ïîïåðå÷íîå ñå÷åíèå (ïîâåðõíîñòüz = const) òå÷åò òîê:ãäå êîíñòàíòà C = R| ρ→∞IM∞ − X∞=−,2π2Cîïðåäåëÿåòñÿ èç àñèìïòîòèêè ïðîäîëüíîé êîìïî-íåíòû àíçàöà äëÿ ïîëÿ. Ïîòîê ìàãíèòíîãî ïîëÿ îêàçûâàåòñÿ êâàíòîâàííûì:Φ = 2πk,êàê è äëÿ âèõðÿ ÍèëüñåíàÎëüñåíà. ðàçäåëå 4.4 ïðè ïîìîùè ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ îñóùåñòâëÿåòñÿ ïîñòðîåíèå èíòåðïîëèðóþùèõ ðåãóëÿðíûõ ðåøåíèé. Îíè äåìîíñòðèðóþò íàëè÷èåäâóõ âçàèìîäåéñòâóþùèõ ñîëèòîíîâ, êîòîðûå ìîæíî íàçâàòü ½ñòðóíàìè ïîàíàëîãèè ñî ½ñòðóíîé Ìåëüâèíà. Íàëè÷èå äâóõ ñòðóí ñîîòâåòñòâóåò íàëè÷èþ íàéäåííîé äèñêðåòíîé ñèììåòðèè ϕ ↔ z , îòñóòñòâóþùåé äëÿ àáåëåâûõðåøåíèé. Ïëîòíîñòü ýíåðãèè èìååò äâà îò÷åòëèâûõ ëîêàëüíûõ ìàêñèìóìàíà íåêîòîðûõ ðàññòîÿíèÿõ îò îñè. Íà ãðàôèêàõ áëèæíèé ê îñè ïèê ñîâïàäàåò ñ ìàêñèìóìîì ïðîäîëüíîé êîìïîíåíòû ìàãíèòíîãî ïîëÿ, à äàëüíèéïèê ñ ìàêñèìóìîì àçèìóòàëüíîé êîìïîíåíòû ïîëÿ.

 ñâÿçè ñ ýòèì, óäîá-11íî ãîâîðèòü î âçàèìîäåéñòâóþùèõ z - è ϕ-ñòðóíàõ, ãäå ÷èñòàÿ z -ñòðóíà ýòî ðåøåíèå Ìåëüâèíà. Ïðè óâåëè÷åíèè ïðîäîëüíîé êîìïîíåíòû ìàãíèòíîãîïîëÿ ïðîèñõîäèò îòäàëåíèå ϕ-ñòðóíû íà ïðîñòðàíñòâåííóþ áåñêîíå÷íîñòü,ïîñêîëüêó ïîòåíöèàë ñàìîäåéñòâèÿ ïîëÿ ßíãàÌèëëñà ïîðîæäàåò ýôôåêòîòòàëêèâàíèÿ äâóõ ñòðóí. Ïðè äîñòèæåíèè êîíå÷íîãî êðèòè÷åñêîãî çíà÷åíèÿ íà îñè ñèììåòðèè Bz (0) → Bcr = 2/k îòðèöàòåëüíîå äàâëåíèå z -ñòðóíûóæå íå ïîçâîëÿåò ñôîðìèðîâàòüñÿ ϕ-ñòðóíå, è ìû èìååì ðåøåíèå Ìåëüâèíà. Ïðåäåëüíûé ïåðåõîä íå ÿâëÿåòñÿ ïëàâíûì, ïîñêîëüêó ïðîèñõîäèò ñìåíà àñèìïòîòèê ìåòðèêè. Àñèìïòîòèêà äëÿ ðåøåíèÿ Ìåëüâèíà èçâåñòíà, ýòî(a = c = 2/3, b = −1/3).

Ïðåäåëüíîé àñèìïòîòèêîé äëÿ ñèñòåìû ßíãàÌèëëñàïðè Bz (0) → Bcr áóäåò (a = 6/7, b = 3/7, c = −2/7). Ïðè ýòîì, ìàññà ϕ-ñòðóíûîñòàåòñÿ êîíå÷íîé è ñòðåìèòñÿ ê Mϕ = (2G)−1 , ÷òî â äâà ðàçà áîëüøå ìàññûz -ñòðóíû, èçâåñòíîé äëÿ ðåøåíèÿ Ìåëüâèíà. ðàçäåëå 4.5 ìû èññëåäóåì ñèñòåìó áåç ãðàâèòàöèè, íî â ïðèñóòñòâèè ïîëÿ äèëàòîíà. Ïðè âûêëþ÷åíèè àçèìóòàëüíîé êîìïîíåíòû ìàãíèòíîãî ïîëÿ(R = 0) ïîëó÷àåòñÿ ñèñòåìà ÝÌÄ, ðåøåíèå äëÿ êîòîðîé èçâåñòíî. Åñëè æå,íàîáîðîò, îñòàâèòü òîëüêî àçèìóòàëüíóþ êîìïîíåíòó, òî ðåøåíèåì áóäåò:Bϕ ∼ S/ρ,S ∼ (ρC1 + ρ−C1 )−2 ,ãäå C1 êîíñòàíòà, çàâèñÿùàÿ îò íà÷àëüíûõ óñëîâèé.

Ìû âèäèì, ÷òî áëàãîäàðÿ âçàèìîäåéñòâèþ ñ äèëàòîíîì àçèìóòàëüíàÿ êîìïîíåíòà ïîëÿ òåïåðüìîæåò áûòü íå ñèíãóëÿðíà â íóëå. Ïîòåíöèàë ïîëÿ íà áåñêîíå÷íîñòè ñòðåìèòñÿ ê êîíñòàíòå, à íå ðàñõîäèòñÿ ëîãàðèôìè÷åñêè, êàê â ïëîñêîì ñëó÷àå.Èíûìè ñëîâàìè, íàëè÷èå äèëàòîíà ïðèâîäèò ê ½äèíàìè÷åñêîìó îáðåçàíèþàñèìïòîòèêè êàëèáðîâî÷íîãî ïîëÿ, òàêæå êàê è ïðè íàëè÷èè ãðàâèòàöèè. çàêëþ÷åíèè ñôîðìóëèðîâàíû îñíîâíûå ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè.Îñíîâíûå ïîëîæåíèÿ, âûíîñèìûå íà çàùèòó1. Ïîñòðîåíû ðåøåíèÿ äëÿ ýêñòðåìàëüíûõ ÷åðíûõ äûð â òåîðèè ãåòåðîòè÷åñêîé ñòðóíû ñ ó÷åòîì ïîïðàâîê ïî êðèâèçíå. Ïîêàçàíî, ÷òî êâàäðàòè÷íûå ïîïðàâêè äåëàþò âîçìîæíûì ñóùåñòâîâàíèå ÷åðíûõ äûð ñ ãî12ðèçîíòîì AdS2 ×S 2 áåç íàëîæåíèÿ äîïîëíèòåëüíîãî óñëîâèÿ íà çàðÿäû,õàðàêòåðíîãî äëÿ ðàíåå èçâåñòíîãî ðåøåíèÿ áåç ïîïðàâîê.