Моделирование строгих методов решения обратных двумерных задач акустического рассеяния

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТим. М.В. ЛОМОНОСОВАФизический факультетНа правах рукописиУДК 534.2 : 517.9МОРОЗОВ Сергей АлександровичМОДЕЛИРОВАНИЕ СТРОГИХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯОБРАТНЫХ ДВУМЕРНЫХ ЗАДАЧАКУСТИЧЕСКОГО РАССЕЯНИЯСпециальность: 01.04.06 – акустикаАвторефератдиссертации на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукМосква – 2007Работа выполнена на кафедре акустики физического факультета Московскогогосударственного университета им.

М.В. Ломоносова.Научный руководитель:доктор физико-математических наук,профессор Валентин Андреевич БУРОВОфициальные оппоненты:доктор физико-математических наук,старший научный сотрудникПетр Георгиевич ГРИНЕВИЧ,Институт Теоретической физики им. Л.Д.Ландаукандидат физико-математических наук,доцент Виталий Борисович ВОЛОШИНОВ,физический факультет МГУ им. М.В.ЛомоносоваВедущая организация:Институт проблем управленияРоссийской Академии наук, г.МоскваЗащита диссертации состоится “ 1 ” ноября 2007 г. в 16-00 часов назаседанииСпециализированногоСоветаД.501.001.67вМГУим. М.В.

Ломоносова по адресу: 119992, г. Москва, ГСП-2, Ленинские Горы,МГУ, физический факультет, Центральная физическая аудитория им.Р.В.ХохловаС диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке физическогофакультета МГУ им М.В. Ломоносова.Автореферат разослан “ 28 ” сентября 2007 г.Ученый секретарьСпециализированного Совета Д.501.001.67кандидат физико-математических наук2А.Ф. КОРОЛЕВОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫАктуальность темыТеория обратных задач представляет собой активно развивающеесянаправление в современной математической физике и ее прикладных областях.Значительный интерес к акустическим обратным задачам рассеяния главнымобразом обусловлен необходимостью решения актуальных проблеммедицинской диагностики, разработки акустических томографов, болеебезопасных, чем ренгеновские, и менее дорогостоящих, чем ЯМР-томографы.Кроме медицинских приложений, которым в последнее время посвящается всебольший объем теоретических и экспериментальных исследований в различныхобластях науки и техники, актуальными являются обширные прикладныепроблемы дефектоскопии, геоакустики и акустики океана.В акустике под обратными задачами понимается восстановлениеисточников звука или характеристик неоднородностей, рассеивающихпервичное поле, на основе измерения первичного или рассеянногоакустического поля.

Исторически первые методы решения основывались наприближении однократного рассеяния (приближение Борна) и плавногоизменения характеристик рассеяния (приближение Рытова). Однакопредположения, используемые в этих приближениях, накладывают серьезныеограничения на область их применимости. Дальнейшие исследования, связаныес учетом эффектов многократного рассеяния, показали, что обратная задачарассеяния является некорректной и нелинейной относительно неизвестныхфункций. Один вариант решения обратных задач, учитывающий многократныерассеяния, – итерационный. Положительная черта итерационного подходасостоит в том, что в нем можно использовать самые разные данные(фрагментарные, неполные и т.п.). Однако имеется существенное ограничение:если сходимость итераций для сильных рассеивателей и может бытьобеспечена, то с очень большими трудностями и ценой очень большогоувеличения объема вычислений.

Кроме того, в случае использования неполныхданных, впоследствии возникает необходимость решения множествавспомогательных задач для каждого из положений источника или каждой изчастот. Таким образом, размерность и сложность вычислений вспомогательныхзадач резко возрастает.Другой вариант решения – это функциональные методы, берущие началов квантовой теории и до сих пор не применявшиеся при решении акустическихобратных задач. Между тем, функционально-аналитические методы решенияобратных задач рассеяния в их квантовой постановке начали развиваться рядомавторов в 50-е годы.

Основоположниками функциональных методов являютсяИ.М.Гельфанд, Б.М.Левитан, М.Г.Крейн, В.А.Марченко, Л.Д.Фаддеев,Р.Ньютон, Ю.М.Березанский, а также Г.Мозес, Р.Проссер. В настоящее времяфункционально-аналитические методы еще находятся в стадии развития.Вопрос о возможности их применения в прикладных обратных задачах разныхнаправлений пока всерьез не исследовался. Поэтому актуальность темы3представляемой работы заключается в детальном анализе функциональноаналитических методов с точки зрения возможности и границ их применения вприкладных обратных задачах рассеяния в приложении к медицине,дефектоскопии, океанологии.

Так, модовое описание процессов в океане делаетзадачу либо строго двумерной, либо приводит к набору двумерных задач,которые в адиабатическом приближении не взаимосвязаны между собой.Технологические и дефектоскопические задачи также в ряде случаев могутбыть сведены к двумерным. Для таких задач рассматриваемый вдиссертационнойработедвумерныйалгоритмНовикова-Гриневича,строящийся на основе функционально-аналитических методов, являетсяперспективным, хорошо реализуемым на современных вычислительныхмашинах.В диссертационной работе ставятся следующие цели:1. Определение условий единственности, степени устойчивости и границприменимости функциональных методов на базе алгоритмов МарченкоНьютона-Роуза и Новикова-Гриневича.2. Исследование возможностей алгоритмов в приложении к задачамвосстановления тонкой структуры сложного рассеивателя на фоне крупныхнеоднородностей, включая неоднородности с одновременным присутствиемрефракции и поглощения.3.

Оценка требований на систему съема данных, а также оптимизациячисленных схем для быстрого получения качественных акустическихтомограмм в медицинских целях.1.2.3.4.5.6.7.Задачи диссертационной работы:Сравнительный анализ функциональных методов решения обратныхзадачрассеяния,первоначальнонацеленныхнарешениеквантомеханических задач, применительно к решению задач акустическойтомографии.Исследование алгоритма Марченко-Ньютона-Роуза (МНР) и егомодификации для произвольного спектра облучающего поля применительнок обратным задачам акустического рассеяния.Разработка численных схем алгоритма МНР во временнόй и частотнойобластях с использованием дополнительных уравнений связи.Анализ результатов численного моделирования алгоритма МНР.Модификация алгоритма МНР на основе обобщенных полей, введенныхЛ.Д. Фаддеевым, и использование аналитичности функций.

Анализвзаимосвязи алгоритма МНР и алгоритма Новикова-Гриневича.Анализ алгоритма Новикова-Гриневича и обсуждение его применимостик обратным задачам акустического рассеяния.Проведение численного моделирования модифицированного алгоритмаМНР и оценка его помехоустойчивости.48.Сравнительное численное моделирование процесса восстановлениярассеивателей различных типов с использованием алгоритма НовиковаГриневича, анализ результатов, оценка вычислительных затрат.Научная новизна работы1.

Впервые проведено детальное и систематическое исследованиевозможностей функциональных алгоритмов на примерах модельных задач,решаемых в акустических томографах различного назначения.2. Проведен анализ и дана физическая интерпретация акустических данныхрассеяния на неоднородностях исчезающе малых размеров (квазиточечныхрассеивателей).3. Получены положительные результаты по перспективности использованияметода Новикова-Гриневича в задачах, где одновременно присутствуюткрупные и мелкие рассеивающие неоднородности.4.

Получена оценка области применимости алгоритмов в практическихзадачах, которая оказалась на порядок больше, чем это следует измажорантной оценки авторов алгоритма.5. РазработанмодифицированныйалгоритмМНР,устранившийнеединственность его первоначального варианта.6. Впервые показана и продемонстрирована на примерах решения обратнойзадачи рассеяния однозначная связь между амплитудой и фазой поля,рассеянного классическим квазиточечным рассеивателем.Достоверностьпредставленныхрезультатовдиссертацииподтверждается численным моделированием, а также соответствиемполученных результатов теоретическим расчетам и данным решения прямойзадачи, имитирующим экспериментально измеряемые величины.Научная и практическая значимость работы:1.