Моделирование взаимодействия электромагнитного поля с 3D фотонным кристаллом типа woodpile методом инвариантного погружения, страница 2

С. Лукина,РосНоУ (Москва 2012), Международная научно-образовательная конференция«Наука в ВУЗах: математика, физика, информатика» РУДН (Москва 2009), Международная молодежная научная конференция «XXXV Гагаринские чтения» МАТИ(Москва 2009), Международная научно-техническая конференция в МГТУ ГА«Гражданская авиация на современном этапе развития науки, техники и общества»МГТУГА (Москва 2013, 2006).Публикации. По теме диссертации было опубликовано 13 работ, включая 6статей в журналах перечня ВАК.Структура и объём диссертационной работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 101 наименования.

Общий объем работы составляет 128 страниц, включая 48 рисунков.Краткое содержание работыВо введении обосновывается актуальность темы, формулируются цель изадачи исследования, выделяются основные научные результаты, выносимые назащиту, и дается общая характеристика диссертационной работы.Первая глава диссертации посвящена обзору текущего состояния исследований в области расчета электродинамических характеристик (отражения и про-7зрачности) ФК. В ней кратко обсужден вопрос о появлении запрещенных зон внутри ФК и проведена аналогия с формированием таких зон в физических кристаллах.Обсуждаются достоинства и ограничения методов, наиболее часто используемых для исследования физических свойств ФК, таких как FDTD-метод, методразложения по плоским волнам, метод матрицы переноса.Также в первой главе диссертации приведено описание метода инвариантного погружения, с помощью которого было проведено исследование характеристикФК.

Его важное достоинство заключается в том, что он сводит краевую задачу дляполя, решение которой бывает весьма затруднительным, к решению начальной задачи Коши для коэффициентов отражения и прохождения. Это дает повод рассматривать его как одну из разновидностей метода прогонки.Суть метода можно представить следующим образом. Рассматривается множество (пространство) решений поставленной задачи, отличающихся друг от другазначениями различных параметров. В таком пространстве выбираются два решения(две точки), отличающиеся значениями только одного параметра.

Первое решениесодержит значение параметра, при котором явный вид решения либо известен, либо легко определяем, а второе – значению параметра, соответствующему поставкеисходной поставке задачи. Такой параметр называется параметром погружения, имы будем обозначать его -  . При последовательном изменении  меняется и решение - соответствующая точка прочерчивает траекторию в пространстве решений.Уравнение, описывающее эволюцию решения при движении вдоль этой траектории, называется уравнением погружения. Параметр погружения при этом играетроль времени.Интегрирование уравнения погружения с начальными условиями, соответствующими известному (простому) решению задачи, позволяет определить решениеисходной задачи.Отметим, что при решении электродинамических задач, связанных с описанием взаимодействия электромагнитных волн (ЭМВ) с материальными объектами,удобно в качестве параметра погружения использовать такой геометрический па-8раметр, как, например, толщина «усеченного» объекта3.

При этом увеличение значения параметра погружения соответствует дополнению усеченного объекта новым элементарным слоем (рис. 1).Интерпретацияпараметрапогружения как временинакладывает определенныеограничения на представление искомых решений –они должны удовлетворятьпринципуРис. 1. Переход от усеченного ФК толщины z к ФКтолщины z  z при добавлении очередного элементарного слоя толщины zдинамическойпричинности по параметрупогружения (толщине ФК).Такому условию удовле-творяют амплитудные коэффициенты прохождения и отражения Tˆ ( z ) и Rˆ ( z ) , определяющие связь между инициирующими и дифрагированными полями:  sp Ens   Tˆnm Emp ,m, p  sp Ens   Rˆ nm Emp ,(1)m, pгде индексы m и p определяют положение мод в спектре инициирующего поля, аиндексы n и s – в спектре дифрагированного поля.Для применения описанной методики к задаче о взаимодействии ЭМП с ФК,последний был представлен как совокупность слоев толщины z , разделенныхвиртуальными бесконечно тонкими зазорами, внутри которых производилось «регистрация» характеристик ФК.

Введение зазора между ФК и добавляемым слоемимеет важное значение в применяемом подходе по двум причинам:- внутри зазора среда однородна и не возникает проблем, связанных с разделениемполя на волны, распространяющиеся во встречных направлениях;- в общем случае тензорная функция Грина в смешанном (q , z )  представлении ez  ezимеет сингулярный член вида   ( z  z)  2 , где z - точка наблюдения, а z  kточка истока поля. При вычислении полей в зазоре этот член не проявляется.3Barabanenkov Yu.

N., Kouznetsov V. L., Barabanenkov M. Yu. Transfer Relations for Electromagnetic WaveScattering from Periodic Dielectric One-Dimension Interface: TE Polarization // Progress in Electromagnetic Research: PIER, 1999. Vol. 24.9Центральным моментом в рассматриваемом методе является вывод уравнений погружения для матричных коэффициентов отражения и похождения. Известны различные подходы к этой задаче.

Здесь приведем наиболее простой способ,основанный на правиле «суммирования» характеристик двух неоднородностей.При добавлении тонкого слоя к ФК толщины z (рис. 1) матричные коэффициентыspspотражения Rˆ nm( z  z ) и прохождения Tˆnm( z  z) для наращенного ФК будутудовлетворять следующим соотношениям, известным и в других приложениях4:sp sp Rˆ nm( z  z )  rˆnm(z )  tˆnkst (z )  Rˆ kltj ( z )  [ (r  (z )  Rˆ  ( z )) k ]  tˆlmjp (z ),k 0sp nmTˆst nk( z  z )  Tˆtp kmk( z ) [ (r (z )  Rˆ ( z )) ]  tˆ(2)(z ),k 0Бесконечные суммы в правых частях уравнений описывают многократное переотражение волн в зазоре между ФК и добавляемым тонким слоем, а rˆ  (z ) и tˆ  (z)представляют собой матричные коэффициенты отражения и прохождения тонкогослоя.Амплитудные коэффициенты прохождения и отражения для элементарногослоя могут быть представлены в виде:spsptˆnm(z )  Iˆ  ˆnm z  o(z ),sp nmrˆ(z )  ˆsp nm(3) z  o(z ),Замечательно, что борновское приближение, справедливое для тонкого слоя,в используемом далее пределе z  0 дает точное выражение.

Исключением является ситуация, когда волновой вектор какой-либо из угловых компонент дифрагированного поля окажется параллелен верхней грани ФК. В этом случае наблюдается вудовский резонанс, и борновское приближение перестает работать. Вдальнейшем не будем рассматривать такие случаи, что является одним из ограничений, накладываемых на создаваемую математическую модель.Следует отдельно отметить, что, несмотря на то, что для каждого элементарного слоя расчеты проводятся в борновском приближении (однократное рассеяние), учет в решении всей совокупности слоев (с учетом многократных пере-4Митра Р., Ли С., Аналитические методы теории волноводов. М.

: МИР, 197410отражений между ними) позволяет корректно описать многократное рассеяниеполя внутри ФК.Дальнейшая подстановка уравнения (3) в (2) и предельный переход z  0sp позволяет получить уравнение Риккати для матричных коэффициентов Rˆ nm( z) иspTˆnm( z ) . Далее эти уравнения легко могут быть объединены в одно уравнение дляобобщенной матрицы рассеяния Ŝ 5:d ˆ sptp tp sp S nm   Sˆnkst  ˆ kltj  Sˆlmjp   Sˆnkst  ˆkm  ˆnkst  Sˆ km ˆ nmdzt , j ,k ,lt ,kt ,ksp  Rˆ nmspˆгде S nm   sp  Tˆnmsp  sp  ˆ nmTˆnmsp , ˆ nm  sp  Rˆ nm 0sp 0  ˆ sp  ˆnm,  nm  0  0,(4)0 0 Постановка задачи Коши завершается заданием начальных условий.

В нашемслучаеэтохарактеристикиФКнулевойтолщины,длякоторогоspspRˆ nm(0)  0; Tˆnm(0)  Iˆ .Важной особенностью метода инвариантного погружения является то, чтоструктура уравнения погружения при выборе в качестве параметра толщины объекта универсальна. Такой же вид имеет уравнение, используемое при описании,например, нерегулярных волноводов 6. Отличие заключается лишь в выборе базисных функций: если для ФК это плоские волны углового спектра, то для волноводов это собственные моды.Вся информация об объекте содержится в явном виде коэффициентов уравspspнения - в характеристиках элементарного слоя ̂ nmи ˆnm.Вторая глава диссертации посвящена решению вспомогательной задачи одифракции поля на уединенном тонком слое ФК и вычислению его электродинаspspмических характеристик ̂ nmи ˆnm.Сначала рассматривается задача об элементарном слое 3D ФК, сформированного из кубических вставок с параметрами, указанными на рисунке 2.