Моделирование взаимодействия электромагнитного поля с 3D фотонным кристаллом типа woodpile методом инвариантного погружения (1103902), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

.5Barabanenkov Yu. N., Barabanenkov M. Yu. Energy Invariants to Composition Rules for Scattering and TransferMatrices of Propagating and Evanescent Waves in Dielectric Structures // PIERS proceedings. 2006.6Кузнецов В.Л., Филонов П.В., Уравнение погружения и малый параметр в задаче о нерегулярном волноводе. Радиотехника и электроника, т.56, №9, 201111Далее можно будет легко получить выражения для интересующих нас слоевполенницы Вуда с помощью предельных переходов d x   x и d y   y .Поле вне тонкого слоя удовлетворяет интегральному уравнению, легко решаемому в борновском приближении:E (r) E0 (r )   dr  Гˆ (r , r )  [(~(r )  1]  k2 Ein (r )(5)Здесь  - область пространства, занимаемая элементарным слоем; индексыи конкретизируютпроекции поля, принимаязначения «x», «y» и «z»;Рис 2.

Вид элементарного слоя рассматриваемого 3DФК Гˆ (r , r ) – функция Гринасвободногопространства;~ – определяет распреде-ление диэлектрической проницаемости внутри элементарного слоя   при r  ~. (r )  1 при r  Здесь  - часть пространства элементарного слоя, занимаемая диэлектрическимивставками.E (r ) иE 0 (r ) - поля вне элементарного слоя;E in (r ) - поле внутри , которое с учетом малой толщины элементарного слоя может быть определенопо формуле:   A   E 0 (r ) при r  , Ein ( r )    E0 (r ) при r  где A   diag{ 1,1,  1} - матрица, учитывающая поле поляризационных зарядовна границах элементарного слоя.Переходя в (q,z)-представление E  (q , z ) 1 dxdy exp( iq x)  exp(iqy )  E  ( x, y , z ) ,2 4 12находим выражение для дифрагированных полей, выходящих из слоя:    E sn (q, z  z) Ens (q, z) Ens (q, z)  i  k z (n, s)  z      ( 1)  k02  zsp   2 Гˆ nm(q, z  z)  A  (  Emp (q, z) Emp (q, z)) m, p   (n  m)  (s  p)(6)  L  (n  m)  2   Ly  (s  p)  2     d y  (s  p)   sin  d x  (n  m)   sin exp i   x,xy xyздесьsp  Гˆ nm(q , z  z ) - тензорная функция Грина, вид которой в смешанном (q , z ) -представлении хорошо известен7:  ez  ez i  ˆ k  k  exp(i  k z  ( z  z ))ˆ   I  2    ( q , z  z )   ( z  z ) k22 k kzЗдесь знак «  » означает диадное произведение векторов.

Первое слагаемое в выражении для функции Грина обнуляется, т.к., благодаря введению виртуальных зазоров точки истока поля – z  и точки наблюдения – z не могут совпадать.Приводя (6) к виду (1), и учитывая (3) находим выражения дляsp  nmˆspˆ nmиsp  nmˆ: (  1)  d x  d ysp   Iˆ  i  k z (n, s )   nm   sp   Гˆ nm(q,0)  A x  y exp(i(sp d y  ( s  p)Lx  (n  m) Ly  (s  p)d  (n  m))  2   )  sinc ( x)  sinc ();xyxysp ˆ nm  Гˆ nm exp(i( (  1)  d x  d y(q ,0)  A x  y(7)d y  ( s  p)Lx  (n  m) Ly  (s  p)d  (n  m))  2   )  sinc ( x)  sinc ().xyxyВ полученных выражениях фигурируют шестииндексные матрицы. Дляуменьшения размерности задачи был рассмотрен вопрос о выборе базиса ЭМП. Заметим, что элементы множеств E и r, связанные отображением E  E r  , мо-гут быть записаны в несовпадающих базисах, по-разному ориентированных в пространстве.

Так, если точку наблюдения или истока поля удобно записывать в системе отсчета, жестко связанной с ФК, то ЭМП проще разложить в угловой спектр,после чего описать каждую компоненту поля в поляризационном базисе волн вертикальной и горизонтальной поляризаций (рис. 3).7Tsang L., Kong J. Scattering of Electromagnetic Waves: Theories and Applications. NY.: Willey Interscience.2000.13В уравнении (6) переход вновый поляризационный базисбыл осуществлен с помощьюматричных операторов поворота.После этих преобразований матрицыspˆ nmиsp  nmˆ(  ,  пробе-гали ранее значения - x, y, z ) по-Рис. 3. Взаимное расположение систем координат, связанных с ЭМП и с ФК.низили свою размерность – вме-сто матриц 3 3 получили блочные матрицы 2  2 :sp  nmˆ ˆ sp  hh nmsp vhˆnmsphv nmspvv nmˆˆˆsp nm ˆ sp  hh nmsp vh ˆ nmspˆ nmsp ˆ nm vv hv(8)Здесь недиагональные элементы отвечают за описание эффектов смены поляризации вследствие некомпланарной дифракции.Анализ полученных уравнений показал, что в результате перехода к новомуполяризационному базису объем вычислений снижается более чем в два раза.Третья глава диссертации посвящена исследованию свойств 2D ФК с помощью построенной математической модели.Заметим, что все матрицы, фигурирующие в уравнении погружения – бесконечные, поэтому при численных расчетах естественным вынужденным шагом былапроцедура усечения всех матричных элементов.

Вопрос об аналитическом исследовании сходимости такой процедуры в общем случае вызывает серьезные трудности. Поэтому этот вопрос решался с помощью серии численных экспериментов, вкоторых варьировалось число учитываемых мод. Если, начиная с некоторого n числа учитываемых мод, результаты расчета стабилизировались и при этом с высокой точностью выполнялись условия энергетического баланса, то полагалось, чтоn - необходимое число учитываемых мод, определяющее минимальную границуусечения. Было показано, что в выбранных для исследования структурах вычисления стабилизируются при учете 11-15 мод углового спектра (8-12 эванесцентныхмод).Следует отметить, что на формирование распространяющихся мод дифрагированного поля существенное влияние оказывают эванесцентные моды.

Для про14верки этого утверждения в рамках исследования модели 2D ФК был проведен расчет его характеристик без учета эванесцентных мод. Это привело к сильному отклонению результатов расчетов от зависимостей, полученных другими методами, атакже к нарушению энергетического баланса.Для расчетов был выбран 2D ФК, состоящий из шести слоев, цилиндрических вставок радиусом 2.5мм и периодом структуры 9мм. Значение диэлектрической проницаемости вставок было установлено   4.2 , что соответствует широкому классу диэлектриков в гигагерцовом диапазоне частот (рис.

4).Выражения для характеристикотражения и прохождения элементарного слоя в таком 2D ФКбыли получены на основе (7)припредельномdy  y ,чтопереходесоответствует d y  (s  p)   1.ysinc Рис. 4. Исследуемый 2D ФКЧисленные расчеты показали наличие запрещенной зоны в диапазоне 11-16 ГГц ихорошо совпали с расчетами, сделанными другими авторами с помощью методаFDTD и метода согласованиямод (рис. 5).Дополнительно была проведенасерия экспериментов, соответствующихслучаюпаденияЭМП под разными углами наФК, и когда ФК сформирован изРис. 5.

Зависимость коэффициента прохождениядля исследуемого 2D ФК от частоты и сравнение с результатами расчетов другими методами.брусьев с квадратным сечением.Сравнение результатов разныхэкспериментовпоказало,чтоизменения решения в зависимости от условий эксперимента соответствует физическим ожиданиям.15Для проверки корректности результатов счета на каждом этапе вычисленийосуществлялась проверка выполнимости теоремы Пойнтинга:2(vvRn 0 (hhRn 0 222hvRn 0  vvTn 0  hvTn 0 )  Re(k z (n))  k z (0),vhRn0 n22Thh n 022 vhTn 0 )  Re(k z (n))  k z (0).nВ работе было показано, что во всех экспериментах погрешность вычислений не превышает величины 3 10 11 .Четвертая глава диссертации посвящена исследованию гибридной системы– 2D-3D ФК.

Такая система может быть получена, например, при представленииФК типа Woodpile, состоящего из N слоев (рис. 6), в виде двух подсистем: нижнего слоя, представляющего собой 2D ФК и расположенного сверху 3D ФК, содержащего (N-1) слоя. Целесообразность такого представления заключается в следующем.Нижний слой представляет собой, казалось бы, хорошо исследованный (вчастности, в предыдущей главе) 2D ФК, и каких-либо особенностей ожидать неследует. Однако, тем не менее, такие нюансы есть. При экспериментальных и теоретическихисследованиях, как правило,предполагается, что на ФК падает распространяющееся (не эванесцентное) поле. Вметоде погружения рассматриваемый угловой спектр падающего поля расширяется, внего включаются и эванесцентные моды.Но по умолчанию полагается, что все модыРис.

6. Вид 3D ФК типа Woodpileэтого поля связаны между собой (и с рас-пространяющимися модами) вектором обратной решетки 2D ФК. Между такимимодами имеет место энергетический обмен. Другое дело, когда над 2D ФК расположен 3D ФК. В этом случае угловой спектр падающего поля существенно расширяется (рис.7а).

Внутри него присутствуют эванесцентные моды, не взаимодействующие с распространяющимися в 2D ФК (рис.7б). Такие моды мы будем называтьизолированными эванесцентными модами. Дальнейшее изложение связано с исследованием роли этих мод.16а)б)Рис. 7. а) Спектр ЭМП в 3D ФК; б) Часть несвязанных мод углового спектра, которые необходимо учесть при моделировании первого слоя ФК типа WoodpileУчет связанных (с распространяющимися) неоднородных мод не приводит ккаким-либо особенностям при изменении толщины ФК – этот случай был рассмотрен в предыдущей главе.

Другое дело – группа изолированных эванесцентныхмод. В работе показано, что в этом случае для них имеет место аномальное поведение амплитудных коэффициентов отражения и прозрачности как функций толщины кристалла, появляются сингулярности.Для проверки корректности наблюдаемых результатов в работе был рассмотрен простой пример взаимодействия эванесцентной моды однородной плоскопараллельной пластиной. В этом случае уравнение погружения для коэффициентаотражения упрощается до скалярного уравнения РиккатиdR R    R  R     R  dzи может быть решено аналитически. Графический вид решения представлен нарис.8. Из графика видно, что вся область распадается на 3 части. Первая, соответствующая случаю падения однородной волны 0  q   1 , дает понятные результаты:коэффициент отражения не превышает единицы и периодически меняется по мереувеличения толщины пластины.

Характеристики

Список файлов диссертации