Моделирование взаимодействия электромагнитного поля с 3D фотонным кристаллом типа woodpile методом инвариантного погружения (1103902), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Не вызывает удивления и поведение коэффициента отражения в третьей области, где q . Здесь присутствуют только неоднородные моды как вне, так и внутри пластины, поведение коэффициента отражениямонотонное.17Наибольший интерес представляетцентральнаяоб-ласть, в которой отчетливопрослеживается«аномаль-ное» поведение коэффициента отражения. Спецификаэтой области заключается втом, что на пластину извнедействуетРис. 8. Зависимость коэффициента отражения оттолщины однородной пластины - Z и модуля трансверсальной компоненты волнового вектора – q.эванесцентноеполе, а внутри пластины этополестановитсяраспро-страняющимся (рис. 9).Соответственно, возникновение «аномального» поведения коэффициентасвязано с тем, что инициирующая эванесцентная мода, непрерывно воздействуя насреду пластины, закачивает в нее энергию.Поскольку выходящие неоднородные моды в свободное пространство энергиюне переносят, то она аккумулируется в этой локализованной области и при опРис.
9. Преобразование инициирующей неоднородной моды в однородной пластинеределеннойрезонанснойтолщине пластины z ам-плитуда эванесцентного поля у поверхности пластины стремится к бесконечности.Вернемся теперь к обсуждению «аномального» поведения амплитудных коэффициентов отражения и прозрачности в 2D ФК. Эванесцентные моды, связанныес распространяющимися, не могут эффективно накапливать энергию, так как засчет межмодовых взаимодействий часть накапливаемой энергии передается распространяющимся модам и вместе с ними покидает ФК. В случае, когда связаннаямежмодовыми взаимодействиями группа состоит только из эванесцентных мод,механизм оттока энергии, описанный выше, не работает. Перекачка энергии можетосуществляться только внутри этой группы и энергия поля этих эванесцентных18мод остается «привязанной» к ФК.
Возникает такой же эффект накопления, что и вплоской пластине, «аномальное» поведение амплитудных коэффициентов отражения и прозрачности становятся неизбежным.В работе рассматривается вопрос о «нефизичности» результатов, приводящих к большим значениям коэффициента прохождения. Действительно, согласноопределению коэффициента прохождения T прошедшее поле определяется простой формулой Eпр T Eпад и растет вместе с ростом T . Реально такого усиленияполя не наблюдается. Ответ заключается в том, что вместе с ростом T растет и коэффициент отражения R , а, следовательно, (учитывая, что речь идет об эванесцентных модах) растет обратное воздействие отраженного поля на источник излучения.
Обычно в теории рассеяния такие эффекты не рассматриваются, и Eпад считается произвольным. На простом примере в диссертации показывается, что рост Tсопровождается уменьшением Eпад так, что произведение T Eпад остается постоянным. Таким образом, в случае эванесцентных мод для корректного вычисления величины прошедшего поля необходимо решать самосогласованную задачу о многократном взаимооблучении в системе «источник – объект облучения».Переход к решению описанной самосогласованной задачи приводит к существенному усложнению модели, описывающей взаимодействие ЭМП и ФК, поэтому далее в четвертой главе диссертации обсуждаются альтернативные алгоритмысглаживания эффектов «аномального» поведения коэффициентов отражения и прозрачности.
Наиболее простой путь демпфирования резонансного усиления за счетучета диссипации поля в среде – учета комплексности ε, не подходит, посколькупри этом невозможным становится контроль результатов расчета по энергетическому балансу (теорема Пойнтинга). В связи с этим в работе был предложен другойподход к демпфированию механизма резонансного усиления эванесцентных мод,основанный на разрушении изолированности эванесцентных мод от распространяющихся. Для его реализации необходимо, чтобы уже с первых шагов интегрирования уравнений погружения в системе проявлялись все возможные в 3D кристаллемежмодовые взаимодействия. В этом случае все эванесцентные моды оказываютсясвязанными с распространяющимися модами.
Эта связь, как отмечалось выше, играет роль диссипативных процессов при расчете эванесцентных мод.19Добиться разрушения изолированности всех эванесцентных мод можно, изменив алгоритм метода погружения, наращивая ФК поочередно - то сверху, то снизу. При этом процедура начинается с границы между соседними слоями ФК с различными ориентациями диэлектрических вставок (рис.
10).Для численной реализации такогоалгоритма потребовалось дополниZтельно построить уравнение погружения для матрицы Ŝ , аналогичное(4), но уже для наращивания кри-Xсталла снизу. Оно отличается от (4)лишь структурой блочных матрич-Yных коэффициентов.Рис. 10.
Наращивание толщины ФК в двухнаправлениях в модифицированном методеинвариантного погруженияДля понимания связи уравнений погружения, полученных принаращивании ФК сверху и снизу, полезно провести параллель между уравнениямимодифицированного метода погружения и прямым и обратным уравнениями Колмогорова для матрицы перехода ˆ t 0 , t дискретного случайного процесса. Аналогия отчетливо проявляется, если представить матрицу рассеяния ФК как функциюкоординат нижней - z 0 и верхней - z граней ФК, т.е. в виде Sˆ Sˆ ( z0 , z ) . Тогда наращивание кристалла сверху соответствует прямому, а снизу – обратному уравнениям Колмогорова.Предложенный подход был сопоставлен с методом расчета, когда интегрирование уравнений погружения идет в одном направлении (стандартный метод погружения).
Для этого был проведен расчет характеристик отражения и прохождения системы, состоящей из двух соседних слоев ФК типа Woodpile, при воздействии на нее поля с угловым спектром, соответствующим дифракции на 3D ФК.Сравнение различных методов расчета было сделано на примере элемента обобщенной матрицы рассеяния, на котором первым проявляется резонанс в случае интегрирования прямого уравнения погружения. При рассмотренной нам геометрииФК этот коэффициент - R02 02 , описывающий преобразование поля из нулевой моды –(0,0) в моду (2,2), принадлежащую группе изолированных эванесцентных мод. Как20и следовало ожидать, новый подход позволяет получить конечные значения коэффициентов отражения и прохождения для исследуемого ФК (рис.
11а), в то времякак обычный метод интегрирования уравнений погружения в одном направленииостанавливается при достижении высоты ФК, соответствующей первому резонансу(рис. 11б).Рис. 11. а) результаты расчета элемента R02 02 модифицированным методом инвариантного погружения, б) резонанс при расчете R02 02 с помощью алгоритма базовогометода погружения.Дополнительно в работе было проведено исследование демпфирующего механизма модифицированного метода погружения в случае, когда наращивание ФКв двух направлениях происходит с разной скоростью.
Результаты таких расчетовпоказали, что максимальное сглаживание резонансных эффектов происходит приодинаковой скорости наращивания ФК в двух направлениях.В заключительной части главы с помощью модифицированного метода инвариантного погружения был проведен расчет ФК типа Woodpile для параметров,использованных в эксперименте8. Был исследован случай нормального падения поля на верхнюю границу ФК, состоящего из 12 слоев, образованных вставками изпромышленного алюминия в виде брусьев квадратного сечения 3.1 3.1 мм, с периодом структуры 11.2 мм (рис. 12а).
Сравнение расчетных и экспериментальныхчастотных зависимостей приведено на рис. 12б.8Ozbay E. Layer-by-layer photonic crystals from microwave to far-infrared frequencies // J. Opt. Soc. Am. B 13,199621При проведении расчетов на каждом шаге интегрирования осуществляласьпроверка выполнения теоремы Пойнтинга, которая показала, что погрешность вычислений не превышает величины 3 10 11 .а)б)Рис.
12. a) Исследуемый 3D ФК типа Woodpile; б) Сопоставление результатов численного моделирования с физическим экспериментомОсновные результаты, полученные в диссертационной работе, заключаются вследующем.1. На основе метода инвариантного погружения построена и исследована математическая модель 2D ФК для описания дифракции падающего ЭМП, представимого в виде суперпозиции плоских волн произвольной поляризации, сволновыми векторами, совпадающими с точностью до векторов обратнойрешетки ФК.2. Впервые получен аналитический вид матричных коэффициентов в уравнениях инвариантного погружения для 6-ти индексной обобщенной матрицы рассеяния с учетом векторного характера поля и эффектов некомпланарной дифракции.3. Выявлен подкласс эванесцентных мод, для которых компоненты обобщенной матрицы рассеяния Ŝ испытывают «аномальный» рост при определенных значениях толщины 2D ФК, предложен механизма этого эффекта;4.
Впервые, с учетом механизма «аномального» роста компонентŜ , предло-жена и реализована модификация метода инвариантного погружения, обеспечившая сглаживание резонансных эффектов и позволившая получить мат-22ричные коэффициенты отражения и прохождения для 3D ФК типа Woodpileконечной толщины, согласующиеся с экспериментом.Основные результаты диссертации отражены в следующих публикациях в научных изданиях, рекомендованных ВАК:1. Кузнецов В. Л., Рудковский А. С. Модификация метода погружения в задачерасчета 3D фотонного кристалла типа “Woodpile” // Компьютерные исследования и моделирование, 2013. Том 5. №3. С. 413-422.2. Кузнецов В. Л., Рудковский А.
С. Модель взаимодействия векторного 3Dэлектромагнитного поля с 2D периодическими структурами // Компьютерные исследования и моделирование, 2013. Том 5. №2. С. 213-224.3. Кузнецов В. Л., Рудковский А. С. Аномальные продольные резонансы в фотонных кристаллах типа Woodpile // Научный вестник МГТУ ГА. 2011,№169. С. 20-25.4. Кузнецов В. Л., Рудковский А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
