Модальные логики с оператором разрешимости
Описание файла
PDF-файл из архива "Модальные логики с оператором разрешимости", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "физико-математические науки" из Аспирантура и докторантура, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. , а ещё этот архив представляет собой кандидатскую диссертацию, поэтому ещё представлен в разделе всех диссертаций на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
¨¬. . . - ¯° ¢ µ °³ª®¯¨±¨ 510.643, 510.23 01.01.06 | ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª ¿ «®£¨ª , «£¥¡° ¨ ²¥®°¨¿ ·¨±¥« ¢ ² ® ° ¥ ´ ¥ ° ²¤¨±±¥°² ¶¨¨ ±®¨±ª ¨¥ ³·¥®© ±²¥¯¥¨ª ¤¨¤ ² ´¨§¨ª®-¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª¨µ ³ª®±ª¢ | 2002 ¡®² ¢»¯®«¥ ª ´¥¤°¥ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª®© «®£¨ª¨ ¨ ²¥®°¨¨ «£®°¨²¬®¢ ¬¥µ ¨ª®-¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª®£® ´ ª³«¼²¥² ®±ª®¢±ª®£® £®±³¤ °±²¢¥®£® ³¨¢¥°±¨²¥² ¨¬. .
. ®¬®®±®¢ . ³·»¥ °³ª®¢®¤¨²¥«¨| ¤®ª²®° ´¨§¨ª®-¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª¨µ ³ª,¯°®´¥±±®° . . °²¥¬®¢¤®ª²®° ´¨§¨ª®-¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª¨µ ³ª,¯°®´¥±±®° . . ±¯¥±ª¨©´¨¶¨ «¼»¥ ®¯¯®¥²» | ¤®ª²®° ´¨§¨ª®-¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª¨µ ³ª,. . £°®¢ª ¤¨¤ ² ´¨§¨ª®-¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª¨µ ³ª,. . µ ¿¥¤³¹ ¿ ®°£ ¨§ ¶¨¿| ®¢®±¨¡¨°±ª¨© £®±³¤ °±²¢¥»©³¨¢¥°±¨²¥² ¹¨² ¤¨±±¥°² ¶¨¨ ±®±²®¨²±¿ \ "2002 £. ¢ 16 ·. 15 ¬¨. § ±¥¤ ¨¨ ¤¨±±¥°² ¶¨®®£® ±®¢¥² .501.001.84 ¢ ®±ª®¢±ª®¬ £®±³¤ °±²¢¥®¬ ³¨¢¥°±¨²¥²¥ ¨¬.
. . ®¬®®±®¢ ¯® ¤°¥±³: 119992,-2, ®±ª¢ , ¥¨±ª¨¥ £®°», , ¬¥µ ¨ª®-¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª¨© ´ ª³«¼²¥², ³¤¨²®°¨¿ 14{08. ¤¨±±¥°² ¶¨¥© ¬®¦® ®§ ª®¬¨²¼±¿ ¢ ¡¨¡«¨®²¥ª¥ ¬¥µ ¨ª®-¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª®£® ´ ª³«¼²¥² (« ¢®¥ §¤ ¨¥, 14 ½² ¦).¢²®°¥´¥° ² ° §®±« \"·¥»© ±¥ª°¥² °¼¤¨±±¥°² ¶¨®®£® ±®¢¥² .501.001.84 ¢ ¤®ª²®° ´¨§¨ª®-¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª¨µ ³ª,¯°®´¥±±®°2002 £.. . ³¡ °¨ª®¢ ª²³ «¼®±²¼ ²¥¬». °¨ ¯®±²°®¥¨¨ «®£¨·¥±ª¨µ ¨±·¨±«¥¨© ¢ ¬®-¤ «¼®© «®£¨ª¥ ²° ¤¨¶¨®»¬ ±² « ¢»¡®° ¿§»ª ± ®¯¥° ²®° ¬¨ ¥®¡µ®¤¨¬®±²¨ ¨ ¢®§¬®¦®±²¨ . ¤ ª® ®¯°¥¤¥«¥»© ²¥µ¨·¥±ª¨© ¨ ´¨«®±®´±ª¨© ¨²¥°¥± (±¬.
[1]1 ) ¯°¥¤±² ¢«¿¾² ±¨±²¥¬», £¤¥ ¢ ª ·¥±²¢¥ ¡ §¨±®£® ¢»¡¨° ¥²±¿ ®¯¥° ²®° ° §°¥¸¨¬®±²¨ (¨«¨ ¥±«³· ©®±²¨ ), ¯®¤° §³¬¥¢ ¥¬ ¿ ±¥¬ ²¨ª ª®²®°®£® § ¤ ¥²±¿ ° ¢¥±²¢®¬ BA = A _ :A.(¥°¬¨ "¥±«³· ©®±²¼\ | non-contingency | ¯°¨¿² ¢ £«®¿§»·®©«¨²¥° ²³°¥; ¬» ¡³¤¥¬ ³¯®²°¥¡«¿²¼ ¡®«¥¥ ³¤®¡»©, ¯® ¬¥¨¾ ¢²®° ,²¥°¬¨ "° §°¥¸¨¬®±²¼\, ¯°®¨±µ®¤¿¹¨© ¨§ ° ±±¬®²°¥¨¿ ¤®ª §³¥¬®±²®© ¨²¥°¯°¥² ¶¨¨ ®¯¥° ²®° : ¯°¥¤«®¦¥¨¥ ° §°¥¸¨¬® ¢ ²¥®°¨¨, ¥±«¨¢ ¥© ¤®ª §³¥¬® «¨¡® ®®, «¨¡® ¥£® ®²°¨¶ ¨¥).
ª § ®¥ ° ¢¥±²¢® § ¤ ¥² ¯¥°¥¢®¤ B-´®°¬³« (². ¥. ´®°¬³« ¬®¤ «¼®£® ¿§»ª ± ¥¤¨±²¢¥»¬¬®¤ «¼»¬ ®¯¥° ²®°®¬ B, ¨«¨ B-¿§»ª ) ¢ -´®°¬³«» (®¯°¥¤¥«¿¥¬»¥ «®£¨·®). ¥¯¥°¼, ¥±«¨ § ¤ -«®£¨ª L (². ¥. «®£¨ª ¢ -¿§»ª¥), ²®«®£¨ª®© ° §°¥¸¨¬®±²¨ ¤ L (®¡®§ · ¥¬®© ¯®±°¥¤±²¢®¬ LB) §»¢ ¥²±¿ ¬®¦¥±²¢® B-´®°¬³«, ¯¥°¥¢®¤» ª®²®°»µ ¿¢«¿¾²±¿ ²¥®°¥¬ ¬¨ L. ° ¡®² µ [1], [2]2 ¡»«¨ ¯°¥¤«®¦¥» ° §«¨·»¥ ª±¨®¬ ²¨ª¨ «®£¨ª° §°¥¸¨¬®±²¨ ¤ ¨§¢¥±²»¬¨ ®°¬ «¼»¬¨ «®£¨ª ¬¨ T, S4 ¨ S5 (®¯°¥¤¥«¥¨¿ ª®²®°»µ ±¬.
¨¦¥). ¥ª®²®°»¥ ±¥¬¥©±²¢ «®£¨ª ° §°¥¸¨¬®±²¨ ¢¨²¥°¢ «¥ ¬¥¦¤³ TB ¨ S5B ¨§³· «¨±¼ ¢ ° ¡®² µ [3]3 , [4]4. ²¬¥²¨¬, ·²®¢ ±«³· ¥ ª®£¤ «®£¨ª L ±®¤¥°¦¨² T, ²®·¥¥, ª±¨®¬³ °¥´«¥ª±¨¢®±²¨ A ! A, ¨±±«¥¤®¢ ¨¥ «®£¨ª¨ ° §°¥¸¨¬®±²¨ ¤ L ³¯°®¹ ¥²±¿ ¡« £®¤ °¿ ²®¬³, ·²® ®¯¥° ²®° ¢»° §¨¬ ·¥°¥§ B ¯®±°¥¤±²¢®¬ ° ¢¥±²¢ A = A & BA. «®£¨· ¿ ª °²¨ ¡«¾¤ ¥²±¿, ¯°¨¬¥°, ¢ «®£¨ª¥Ver, ¨¬¥¾¹¥© ¢ ·¨±«¥ ±¢®¨µ ²¥®°¥¬ ¢±¥ ´®°¬³«» ¢¨¤ A: ¢ ½²®© «®£¨ª¥ ¢»° ¦ ¥²±¿ ·¥°¥§ B ¯®±°¥¤±²¢®¬ ° ¢¥±²¢ A = >.
±² ²¼¥ [5]5 ¯®±²°®¥ ¯°¨¬¥° «®£¨ª¨, ¥ ±®¤¥°¦ ¹¥© T ¨ ®²«¨·®© ®² Ver, ¢ ª®²®°®©²¥¬ ¥ ¬¥¥¥ ¢»° §¨¬ ·¥°¥§ B.¨±²¥¬ ²¨·®¥ ¨§³·¥¨¥ «®£¨ª¨ ° §°¥¸¨¬®±²¨ ¡»«® · ²® ¢ ° ¡®²¥ [6]6, ±®¤¥°¦ ¹¥© ¯¥°¢³¾, ¤®±² ²®·® £°®¬®§¤ª³¾ ª±¨®¬ ²¨ª³ ¬¨¨1[1] H.Montgomery, R. Routley, Contingency and non-contingency bases for normal modal logics, Logiqueet analyse, vol. 9 (1966), pp. 318{328.[2] H. Montgomery, R. Routley, Noncontingency axioms for S4 and S5, Logique et analyse, vol. 11 (1968),pp.
422{424.3 [3] H. Montgomery, R. Routley, Modalities is a sequence of normal non-contingency modal systems,Logique et analyse, vol. 12 (1969), pp. 225{227.4 [4] C.Mortensen, A sequence of normal modal systems with non-contingency bases, Logique et Analyse,vol. 19 (1976), pp. 341{344.5 [5] M.J. Cresswell, Necessity and contingency, Studia Logica, vol.
47 (1988), pp. 145{149.6 [6] I.L. Humberstone, The logic of non-contingency, Notre Dame Journal of Formal Logic, 1995,36(2):214{229.21¬ «¼®© «®£¨ª¨ ° §°¥¸¨¬®±²¨ (². ¥. «®£¨ª¨ KB). ¯®±«¥¤³¾¹¥© ° ¡®²¥ [7]7 ½² ª±¨®¬ ²¨ª ¡»« ³¯°®¹¥ , ² ª¦¥ ¡»« ª±¨®¬ ²¨§¨°®¢ «®£¨ª ° §°¥¸¨¬®±²¨ ¤ K4.¯°¥¤¥«¥»© ¨²¥°¥± ª ¨§³·¥¨¾ ¬®¤ «¼®© «®£¨ª¨ ±¢¿§ ± ¢®§¬®¦®±²¼¾ ¨±¯®«¼§®¢ ²¼ ¥¥ ¢ ª ·¥±²¢¥ ¨±²°³¬¥² ¨±±«¥¤®¢ ¨¿ ¯®¿²¨¿ ´®°¬ «¼®© ¤®ª §³¥¬®±²¨. ²¨ ¨±±«¥¤®¢ ¨¿ ¢®±µ®¤¿² ª ° ¡®² ¬. °«®¢ [8]8 ¨ . ¥¤¥«¿ [9]9 . ®°¬³«¨°®¢ª "¯° ¢¨«¼®©\ «®£¨ª¨ ¤®ª §³¥¬®±²¨ ¢ °¨´¬¥²¨ª¥ ¥ ®, ¨§¢¥±²®© ±¥©· ± ª ª «®£¨ª ¥¤¥«¿{¥¡ GL, ¯®¿¢¨« ±¼ ¯®§¤¥¥ ¢ ° ¡®²¥ .
¥¡ [10]10 ; ¯¥°¢®¥ ¤®ª § ²¥«¼±²¢® °¨´¬¥²¨·¥±ª®© ¯®«®²» «®£¨ª¨ GL ¯°¨ ¤«¥¦¨² . ®«®¢½¾ [11]11. GL¿¢«¿¥²±¿ ¬¨¨¬ «¼®© «®£¨ª®© ¤®ª §³¥¬®±²¨: ® ®¯¨±»¢ ¥² ¬®¤ «¼»¥§ ª®», ª®²®°»¬ ¯®¤·¨¿¥²±¿ ¯°¥¤¨ª ² ¤®ª §³¥¬®±²¨ ¢ "®¡º¥ª²®©\ ²¥®°¨¨ PA ± ²®·ª¨ §°¥¨¿ "¬¥² ²®°¨¨\ PA. ±«¨ ¦¥ ¢ °¼¨°®¢ ²¼ "¬¥² ²®°¨¾\ ¢ ª« ±±¥ ° ±¸¨°¥¨© PA, "®¡º¥ª²³¾\ ²¥®°¨¾ | ¢ ª« ±±¥ ¯¥°¥·¨±«¨¬»µ ° ±¸¨°¥¨© PA, ²® ¯®«³·¨²±¿ ±¥¬¥©±²¢® «®£¨ª ¤®ª §³¥¬®±²¨(¨¬¥¾¹¥¥ ¬®¹®±²¼ ª®²¨³³¬ ), ¯®«®±²¼¾ ®¯¨± ®¥ .
. ¥ª«¥¬¨¸¥¢»¬ [12]12 (´®°¬ «¼»¥ ®¯°¥¤¥«¥¨¿ ±¬. ² ¬ ¦¥). °¿¤³ ± ¤®ª §³¥¬®±²¼¾, ¯®¿²¨¥ ° §°¥¸¨¬®±²¨ ¢ ´®°¬ «¼®© ²¥®°¨¨ ¿¢«¿¥²±¿ ®¤¨¬ ¨§ ¶¥²° «¼»µ ¢ ²¥®°¨¨ ¤®ª § ²¥«¼±²¢. ª, ¯¥°¢ ¿²¥®°¥¬ ¥¤¥«¿ ® ¥¯®«®²¥ ³²¢¥°¦¤ ¥², ·²®, ¢ ®¯°¥¤¥«¥»µ ¯°¥¤¯®«®¦¥¨¿µ ®²®±¨²¥«¼® ¥¯°®²¨¢®°¥·¨¢®±²¨ PA, ±³¹¥±²¢³¾² ¨±²¨»¥¥° §°¥¸¨¬»¥ ¢ PA ¯°¥¤«®¦¥¨¿.
¤¥±¼ ¥±²¥±²¢¥»¬ ®¡° §®¬ ¢®§¨ª ¥² ¨²¥°¥± ¿ ¯°®¡«¥¬ ®¯¨± ¨¿ ±¥¬¥©±²¢ ¯°®¯®§¨¶¨® «¼»µ «®£¨ª °¨´¬¥²¨·¥±ª®© ° §°¥¸¨¬®±²¨, «®£¨· ¿ ³¯®¬¿³²®© ¢»¸¥.°³£¨¬ ±¯¥ª²®¬, ®¡º¿±¿¾¹¨¬ ¨²¥°¥± ª ¬®¤ «¼®© «®£¨ª¥, ¿¢«¿¾²±¿ ¢»° §¨²¥«¼»¥ ¢®§¬®¦®±²¨ ¥¥ ¿§»ª , ± ²®·ª¨ §°¥¨¿, ¯°¨¬¥°,±¥¬ ²¨ª¨ °¨¯ª¥. §¢¥±²® (±¬. [13]13 , [14]14 ), ·²®, ± ®¤®© ±²®°®»,¬®¤ «¼»© ¿§»ª ¥ ±° ¢¨¬ ¯® ¢»° §¨²¥«¼»¬ ¢®§¬®¦®±²¿¬ ± ¿§»ª®¬¯¥°¢®£® ¯®°¿¤ª , ± ¤°³£®©, ® ¢ª« ¤»¢ ¥²±¿ ¢ ¿§»ª ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª .®±ª®«¼ª³ ¨¬¥¥²±¿ ¥±²¥±²¢¥®¥ ¢«®¦¥¨¥ B-¿§»ª ¢ -¿§»ª, ¢»° 7234.[7] S.T. Kuhn, Minimal non-contingency logic, Notre Dame Journal of Formal Logic, 1995, 36(2):230{8 [8] I.E. Orlov, The calculus of compatibility of propositions, Mathematics of the USSR, Sbornik, vol.
35(1928), pp. 263{286 (in Russian).9 [9] K. Godel, Eine Interpretation des intuitionistischen Aussagenkalkuls, Ergebnisse Math. Colloc., Bd. 4(1933), S. 39{40.10 [10] M.H. Lob, Solution of a problem of Leon Henkin, Journal of Symbolic Logic, 20 (1955), 115{118.11 [11] R. Solovay, Provability interpretations of modal logics, Israel Journal of Mathematics, vol. 25 (1976),pp. 287{304.12 [12] .
. ¥ª«¥¬¨¸¥¢, ª« ±±¨´¨ª ¶¨¨ ¯°®¯®§¨¶¨® «¼»µ «®£¨ª ¤®ª §³¥¬®±²¨, §¢. ,¥°¨¿ ¬ ²¥¬., ². 53, 5 (1989), ±. 915{943.13 [13] G.Boolos, The Logic of Provability. Cambridge University Press, 1993.14 [14] P.Blackburn, M. de Rijke and Y. Venema. Modal Logic. A Textbook. Cambridge Univercity Press,Cambridge, 2001.2§¨²¥«¼»¥ ¢®§¬®¦®±²¨ ¯¥°¢®£® ¥ ¡®«¼¸¥, ·¥¬ ¯®±«¥¤¥£®. ±² ²¼¥ [6]¡»«® ®¡ °³¦¥®, ·²® ®¨ ¤ ¦¥ ±³¹¥±²¢¥® ¬¥¼¸¥: ¬®£¨¥ ª« ±±»¸ª «, ®¯°¥¤¥«¨¬»¥ ¢ -¿§»ª¥, ² ª¨¥ ª ª ª« ±±» °¥´«¥ª±¨¢»µ, ±¥°¨ «¼»µ, ²° §¨²¨¢»µ, ±¨¬¬¥²°¨·»µ, ¥¢ª«¨¤®¢»µ ¸ª «, ®ª §»¢ ¾²±¿ ¥®¯°¥¤¥«¨¬»¬¨ ¢ B-¿§»ª¥.
±²®¿¹¥¥ ¢°¥¬¿ ¢®¯°®± ® ²®·»µ £° ¨¶ µ¢»° §¨²¥«¼»µ ¢®§¬®¦®±²¥© B-¿§»ª ®±² ¥²±¿ ¯®ª ¬ «® ¨§³·¥»¬.¥«¼ ° ¡®²». ¨±±¥°² ¶¨¿ ¨¬¥¥² ¶¥«¼¾ ° §° ¡®² ²¼ ²¥µ¨ª³ ¯®±²°®¥¨¿ ª±¨®¬ ²¨·¥±ª¨µ ±¨±²¥¬ £¨«¼¡¥°²®¢±ª®£® ²¨¯ ¨ ±¥ª¢¥¶¨ «¼»µ ¨±·¨±«¥¨© ¤«¿ ¬®¤ «¼»µ «®£¨ª ± ®¯¥° ²®°®¬ ° §°¥¸¨¬®±²¨, ² ª¦¥ ¨±±«¥¤®¢ ²¼ ¢»° §¨²¥«¼»¥ ¢®§¬®¦®±²¨ ¬®¤ «¼®£® ¿§»ª ± ®¯¥° ²®°®¬ ° §°¥¸¨¬®±²¨.¥²®¤» ¨±±«¥¤®¢ ¨¿. ° ¡®²¥ ¨±¯®«¼§®¢ ²¥µ¨ª ¯®±²°®¥¨¿ª ®¨·¥±ª¨µ ¬®¤¥«¥© ¤«¿ ¤®ª § ²¥«¼±²¢ ¯®«®²» ±¨±²¥¬ £¨«¼¡¥°²®¢±ª®£® ²¨¯ , ¤ ¯²¨°®¢ ¿ ¤«¿ ¯°¨¬¥¥¨¿ ª «®£¨ª ¬ ° §°¥¸¨¬®±²¨ ¢° ¡®² µ [6], [7], ² ª¦¥ ¬¥²®¤ ¯®¯®«¥¨¿ ±¥ª¢¥¶¨© ¨ ¥£® ¬®¤¨´¨ª ¶¨¿| ¬¥²®¤ ±»¹¥¨¿ ±¥ª¢¥¶¨© ¤«¿ ¤®ª § ²¥«¼±²¢ ¯®«®²» ±¥ª¢¥¶¨ «¼»µ ¨±·¨±«¥¨©. ³· ¿ ®¢¨§ .
¥§³«¼² ²» ¤¨±±¥°² ¶¨¨ ¿¢«¿¾²±¿ ®¢»¬¨ ¨ ±®±²®¿² ¢ ±«¥¤³¾¹¥¬:1) ®±²°®¥» £¨«¼¡¥°²®¢±ª¨¥ ±¨±²¥¬» ¤«¿ «®£¨ª ° §°¥¸¨¬®±²¨ ¤«®£¨ª ¬¨ B, K5, K45, "½¯¨±²¥¬¨·¥±ª®©\ «®£¨ª®© KD45, «®£¨ª®©¦¥£®°·¨ª Grz, «®£¨ª®© °¨´¬¥²¨·¥±ª®© ¤®ª §³¥¬®±²¨ GL.2) ®±²°®¥» ±¥ª¢¥¶¨ «¼»¥ ¨±·¨±«¥¨¿ (± ±¥·¥¨¥¬) ¤«¿ «®£¨ª ° §°¥¸¨¬®±²¨ ¤ «®£¨ª ¬¨ K, K4, GL, ² ª¦¥ ±¥ª¢¥¶¨ «¼»¥ ¨±·¨±«¥¨¿ ± «¨²¨·¥±ª¨¬ ¯° ¢¨«®¬ ±¥·¥¨¿ ¤«¿ «®£¨ª ° §°¥¸¨¬®±²¨ ¤ °¥´«¥ª±¨¢»¬¨ «®£¨ª ¬¨ T, S4, B, S5, Grz. ®ª § ®, ·²® ¯®±«¥¤¨¥ «®£¨ª¨ ®¡« ¤ ¾² ¨²¥°¯®«¿¶¨®»¬ ±¢®©±²¢®¬ °¥©£ .3) ±² ®¢«¥®, ·²® ¢ ±¥ª¢¥¶¨ «¼»µ ¨±·¨±«¥¨¿µ ¤«¿ °¥´«¥ª±¨¢»µ«®£¨ª ° §°¥¸¨¬®±²¨ ±¥·¥¨¥ ¥³±²° ¨¬®; ¢ ²® ¦¥ ¢°¥¬¿, ¤®ª § ®,·²® ¤ »¥ ¨±·¨±«¥¨¿ ¤«¿ «®£¨ª ° §°¥¸¨¬®±²¨ ¤ T, S4, S5 ¨Grz ®¡« ¤ ¾² (±« ¡»¬ ¢ ±«³· ¥ Grz) ±¢®©±²¢®¬ ¯®¤´®°¬³«¼®±²¨.4) ®ª § ®¯°¥¤¥«¨¬®±²¼ ¢ ½«¥¬¥² °®¬ ¿§»ª¥ ª« ±±®¢ ¸ª «, § ¤ ¢ ¥¬»µ ¥ª®²®°»¬¨ ¨§ ª±¨®¬ ° ±±¬®²°¥»µ «®£¨ª ° §°¥¸¨¬®±²¨.5) ®±²°®¥ ¯®« ¿ ª±¨®¬ ²¨ª «®£¨ª ¤®ª § ²¥«¼±²¢ ± ®¯¥° ²®°®¬±¨«¼®© ° §°¥¸¨¬®±²¨, ®²¢¥· ¾¹¨µ ¥ª®²®°»¬ ¥±²¥±²¢¥»¬ ª« ±± ¬ ¯°¥¤¨ª ²®¢ ¤®ª § ²¥«¼±²¢ ¢ °¨´¬¥²¨ª¥.36) ©¤¥ ¨´¨¨² °»© ®¯¥° ²®° ¥®¡µ®¤¨¬®±²¨, ®¯°¥¤¥«¨¬»© ·¥°¥§ ®¯¥° ²®° ° §°¥¸¨¬®±²¨, ¨ ¨§³·¥» ¢»° §¨²¥«¼»¥ ¢®§¬®¦®±²¨ ¿§»ª ± ½²¨¬ ®¯¥° ²®°®¬ ¢ ±¬»±«¥ ±¥¬ ²¨ª¨ °¨¯ª¥.¥®°¥²¨·¥±ª ¿ ¨ ¯° ª²¨·¥±ª ¿ ¶¥®±²¼.
¡®² ®±¨² ²¥®°¥-²¨·¥±ª¨© µ ° ª²¥°. ¥ ¬¥²®¤» ¨ °¥§³«¼² ²» ¬®£³² ¡»²¼ ¯®«¥§» ±¯¥¶¨ «¨±² ¬ ¯® ¬®¤ «¼®© «®£¨ª¥ ¨ ²¥®°¨¨ ¤®ª § ²¥«¼±²¢ ®±ª®¢±ª®£®£®±³¤ °±²¢¥®£® ³¨¢¥°±¨²¥² , ®¢®±¨¡¨°±ª®£® £®±³¤ °±²¢¥®£® ³¨¢¥°±¨²¥² , ª²-¥²¥°¡³°£±ª®£® £®±³¤ °±²¢¥®£® ³¨¢¥°±¨²¥² , ²¥¬ ²¨·¥±ª®£® ¨±²¨²³² ¨¬. . . ²¥ª«®¢ .¯°®¡ ¶¨¿ ° ¡®²». ¥§³«¼² ²» ¤¨±±¥°² ¶¨¨ ¤®ª« ¤»¢ «¨±¼ ¨ ®¡±³¦¤ «¨±¼ ±¥¬¨ °¥ \®¤ «¼ ¿ ¨ «£¥¡° ¨·¥±ª ¿ «®£¨ª " (¯®¤ °³ª®¢®¤±²¢®¬ . . ¥µ²¬ ¨ . . ¥²³± ), ±¥¬¨ °¥ \«£®°¨²¬¨·¥±ª¨¥ ¢®¯°®±» «£¥¡°» ¨ «®£¨ª¨" (¯®¤ °³ª®¢®¤±²¢®¬ ¯°®´.
. . ¤¿ )¨ ³·®-¨±±«¥¤®¢ ²¥«¼±ª®¬ ±¥¬¨ °¥ ¯® ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª®© «®£¨ª¥¬¥µ ¨ª®-¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª®£® ´ ª³«¼²¥² (¯®¤ °³ª®¢®¤±²¢®¬ ¯°®´.. . ¤¿ ¨ ¯°®´. . . ±¯¥±ª®£®), ±¥¬¨ °¥ ¯® ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª®© «®£¨ª¥ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª®£® ´ ª³«¼²¥² ¢¥°±ª®£® £®±³¤ °±²¢¥®£® ³¨¢¥°±¨²¥² (¯®¤ °³ª®¢®¤±²¢®¬ ¯°®´. . . £°®¢ ).³¡«¨ª ¶¨¨. ±®¢»¥ °¥§³«¼² ²» ¤¨±±¥°² ¶¨¨ ®¯³¡«¨ª®¢ » ¢ ¯¿²¨ ° ¡®² µ ¢²®° , ¯¥°¥·¨±«¥»µ ¢ ª®¶¥ ¢²®°¥´¥° ² .²°³ª²³° ¨ ®¡º¥¬ ° ¡®²». ¨±±¥°² ¶¨¿ ±®±²®¨² ¨§ ¢¢¥¤¥¨¿ ¨¯¿²¨ £« ¢.
¥ª±² ¤¨±±¥°² ¶¨¨ ¨§«®¦¥ 100 ±²° ¨¶ µ. ¯¨±®ª «¨²¥° ²³°» ±®¤¥°¦¨² 33 ¨¬¥®¢ ¨¿. ® ¢¢¥¤¥¨¨ ¯°¨¢¥¤¥ ®¡§®° °¥§³«¼² ²®¢ ¯® ¨±±«¥¤³¥¬®© ¯°®¡«¥¬¥ ¨ª° ²ª® ´®°¬³«¨°³¾²±¿ ®±®¢»¥ °¥§³«¼² ²» ¤¨±±¥°² ¶¨¨. ¯¥°¢®© £« ¢¥ ¢¢®¤¿²±¿ ®±®¢»¥ ®¯°¥¤¥«¥¨¿ ¨ ´®°¬³«¨°³¾²±¿¨§¢¥±²»¥ ´ ª²», ¨±¯®«¼§³¥¬»¥ ¢ ¤ «¼¥©¸¥¬ ¨§«®¦¥¨¨.¯°¥¤¥«¥¨¥ 1. «´ ¢¨² ¯°®¯®§¨¶¨® «¼®£® ¬®¤ «¼®£® ¿§»ª (¨«¨-¿§»ª ) ±®¤¥°¦¨² ¯¥°¥¬¥»¥ Var = fp0; p1 ; : : :g, ±¢¿§ª¨ ? («®¦¼),! (¨¬¯«¨ª ¶¨¿) ¨ ®¤®¬¥±²»© ¬®¤ «¼»© ®¯¥° ²®° . ®¦¥±²¢®´®°¬³« ½²®£® ¿§»ª (-´®°¬³« ), ®¯°¥¤¥«¿¥¬®¥ ±² ¤ °²»¬ ®¡° §®¬,®¡®§ ·¨¬ Fm .
(« ±±¨·¥±ª®© ¬®¤ «¼®© ) «®£¨ª®© (¨«¨ -«®£¨ª®© ) §»¢ ¥²±¿ ¯°®¨§¢®«¼®¥ ¬®¦¥±²¢® -´®°¬³«, ±®¤¥°¦ ¹¥¥ ª« ±±¨·¥±ª¨¥4(AT) p ! p(AD) p ! p(AB) p ! p(A4 ) p ! p(A5 ) p ! p(A1 ) p ! p(AL ) (p ! p) ! p(AG) ((p ! p) ! p) ! p¨±. 1.(°¥´«¥ª±¨¢®±²¼)(±¥°¨ «¼®±²¼)(±¨¬¬¥²°¨·®±²¼)(²° §¨²¨¢®±²¼)(¥¢ª«¨¤®¢®±²¼)( ª±¨®¬ ªª¨±¨)( ª±¨®¬ ¥¡ )( ª±¨®¬ ¦¥£®°·¨ª )ª±¨®¬» ®°¬ «¼»µ «®£¨ª.² ¢²®«®£¨¨ ¢ -¿§»ª¥ ¨ § ¬ª³²®¥ ®²®±¨²¥«¼® ¯° ¢¨« modus ponens,¯®¤±² ®¢ª¨ ¨ ½ª¢¨¢ «¥²®© § ¬¥»:(MP) A A ! BB(Sub)AA[B=p](RE) A $ BA $ B(§¤¥±¼ A[B=p] ¥±²¼ ´®°¬³« , ¯®«³·¥ ¿ ¨§ A ¯®¤±² ®¢ª®© ´®°¬³«» B¢¬¥±²® ¢±¥µ ¢µ®¦¤¥¨© ¯¥°¥¬¥®© p). ®£¨ª K § ¤ ¥²±¿ ±«¥¤³¾¹¨¬¨ ª±¨®¬ ¬¨ ¨ ¯° ¢¨« ¬¨ (MP), (Sub) ¨ (Nec):A(A>) ª« ±±¨·¥±ª¨¥ ² ¢²®«®£¨¨ ¢ -¿§»ª¥(Nec)(AK) (p ! q) ! (p ! q) (¤¨±²°¨¡³²¨¢®±²¼)A®£¨ª §»¢ ¥²±¿ ®°¬ «¼®©, ¥±«¨ ® ±®¤¥°¦¨² K ¨ § ¬ª³² ®²®±¨²¥«¼® ¯° ¢¨« ¨±·¨±«¥¨¿ K.