Минимальные сети на поверхностях многогранников
Описание файла
PDF-файл из архива "Минимальные сети на поверхностях многогранников", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "физико-математические науки" из Аспирантура и докторантура, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. , а ещё этот архив представляет собой кандидатскую диссертацию, поэтому ещё представлен в разделе всех диссертаций на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
ÔÃÁÎÓ ÂÏξÌÎÑÊÎÂÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒèìåíè Ì. Â. ËÎÌÎÍÎÑÎÂÀ¿¾ÌÅÕÀÍÈÊÎ-ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÔÀÊÓËÜÒÅÒ¿Íà ïðàâàõ ðóêîïèñèÑòðåëêîâàÍàòàëèÿ ÏàâëîâíàÌèíèìàëüíûå ñåòè íà ïîâåðõíîñòÿõ ìíîãîãðàííèêîâÑïåöèàëüíîñòü 01.01.04 ãåîìåòðèÿ è òîïîëîãèÿÄÈÑÑÅÐÒÀÖÈßíà ñîèñêàíèå ó÷¼íîé ñòåïåíè êàíäèäàòà ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóêÍàó÷íûé ðóêîâîäèòåëü:ä.ô.-ì.í., ïðîôåññîð Àëåêñåé Àâãóñòèíîâè÷ ÒóæèëèíÌÎÑÊÂÀ 2013ÎãëàâëåíèåÂâåäåíèå12Ñåòè: îïðåäåëåíèÿ è ïðåäâàðèòåëüíûå ðåçóëüòàòû111.11.21.31.41.51.61113141516Ïîíÿòèå ñåòè. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Äåôîðìàöèè è ïåðåïàðàìåòðèçàöèÿ ñåòè. . . . . . . . . . . .Îáûêíîâåííûå ñåòè è ñåòè-îòîáðàæåíèÿ . . . . . . . . . . . .Ñõîäÿùàÿñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñåòåé. . . . . . . . . . . . .Âèäû ýêñòðåìàëüíûõ ñåòåé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Êðèòåðèè ëîêàëüíîé ìèíèìàëüíîñòè ñåòåé è çàìêíóòûå ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûå ñåòè íà ïîâåðõíîñòè âûïóêëûõ ìíîãîãðàííèêîâ . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17Óñòîé÷èâîñòü ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûõ ñåòåé192.1192.22.334Ðåçóëüòàòû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1.1 Óñòîé÷èâîñòü ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûõ ñåòåé â ïðîñòðàíñòâàõ íåïîëîæèòåëüíîé êðèâèçíû . . . . . .
. .2.1.2 ¾Óñòîé÷èâîñòü¿ îòíîñèòåëüíî ïîñëåäîâàòåëüíîñòèäåôîðìàöèé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Óñòîé÷èâîñòü ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûõ ñåòåé â ïðîñòðàíñòâàõíåïîëîæèòåëüíîé êðèâèçíû â ñìûñëå À.Ä.Àëåêñàíäðîâà . .¾Óñòîé÷èâîñòü¿ îòíîñèòåëüíî ïîñëåäîâàòåëüíîñòè äåôîðìàöèé . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19202230Çàìêíóòûå ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûå ñåòè íà âûïóêëûõ ìíîãîãðàííèêàõ353.13.2Îïðåäåëåíèÿ è ïðåäâàðèòåëüíûå ðåçóëüòàòû . . . . . . . . .3.1.1 Ìíîãîãðàííèêè, ìíîãîãðàííûå ìåòðèêè è ðàçâ¼ðòêè.3.1.2 Ãåîäåçè÷åñêèå è ìíîãîóãîëüíèêè . . . .
. . . . . . . .Ðåçóëüòàòû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.1 Íåîáõîäèìîå óñëîâèå íà êðèâèçíû âåðøèí. . . . . . .3.2.2 Ðåàëèçàöèÿ ïëîñêèõ ãðàôîâ íà ìíîãîãðàííèêàõ â âèäå ìèíèìàëüíûõ ñåòåé. . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.3 Äâàæäû ïîêðûòûå òðåóãîëüíèêè . . . . . . . . . . . .2353538414142453.2.43.2.53.2.63.2.73.3Ìèíèìàëüíûå ñåòè íà òåòðàýäðàõ . . . . . .
. . . . .Ñèñòåìà ðàçðåçîâ: ãåîìåòðè÷åñêîå íåîáõîäèìîå óñëîâèå.Ñâåäåíèå çàäà÷è ê ïðîñòûì ìèíèìàëüíûì ñåòÿì. . .Ôàêòû è ãèïîòåçû î ñóùåñòâîâàíèè ìèíèìàëüíûõ ñåòåé íà ìíîãîãðàííèêàõ . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.8 Ôèçè÷åñêèå ñîîáðàæåíèÿ è òåòðàýäðû ñ êðèâèçíà5πìè { π3 , π3 , 5π3 , 3 } .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Äîêàçàòåëüñòâà òåîðåì ïðî ñåòè íà ìíîãîãðàííèêàõ . . . . .3.3.1 Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû 3.6 î äëèíàõ ñòîðîí ãåîäåçè÷åñêîãî ìíîãîóãîëüíèêà . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3.2 Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 20 î ìíîãîãðàííèêå, íà êîòîðîì ìèíèìàëüíûå ñåòè ðåàëèçóþòñÿ êàê ïðîñòûå. .3.3.3 Ïðèìåð ìíîãîãðàííèêà áåç ìèíèìàëüíûõ ñåòåé, èìåþùåãî ñèñòåìó ðàçðåçîâ (òåîðåìà 18). . . . .
. . . . .3.3.4 Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 21 î ñóùåñòâîâàíèè ìèíèìàëüíûõ ñåòåé íà ïî÷òè âñåõ ìíîãîãðàííèêàõ ñ êðèâèçíàìè, êðàòíûìè π3 . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3.5 Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 22 î òåòðàýäðàõ ñ êðèâèçíà5πìè { π3 , π3 , 5π3 , 3 }. . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ëèòåðàòóðà4750535455565659606472823ÂâåäåíèåÄèññåðòàöèÿ ïîñâÿùåíà òåîðèè ýêñòðåìàëüíûõ ñåòåé (ýòî ¾ðàçâåòâë¼ííûé¿ àíàëîã ãåîäåçè÷åñêèõ) îäíîìó èç àêòèâíî ðàçâèâàþùèõñÿ ðàçäåëîâãåîìåòðèè è òîïîëîãèè. Èññëåäóþòñÿ ãåîìåòðè÷åñêèå ñâîéñòâà çàìêíóòûõëîêàëüíî ìèíèìàëüíûõ ñåòåé íà ïîâåðõíîñòÿõ âûïóêëûõ ìíîãîãðàííèêîâè çàäà÷à îïèñàíèÿ êëàññà âûïóêëûõ ìíîãîãðàííèêîâ, íà ïîâåðõíîñòè êîòîðûõ ñóùåñòâóþò òàêèå ñåòè (ãëàâà 3). Ïðè èçó÷åíèè çàìêíóòûõ ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûõ ñåòåé íà ìíîãîãðàííèêàõ âîçíèê åñòåñòâåííûé âîïðîñîá óñòîé÷èâîñòè òàêèõ ñåòåé.
Îòâåòèòü íà ýòîò âîïðîñ óäàëîñü â ãîðàçäî áîëüøåé îáùíîñòè â äèññåðòàöèè äîêàçàíà òåîðåìà îá óñòîé÷èâîñòèëîêàëüíî ìèíèìàëüíûõ ñåòåé â ïðîñòðàíñòâàõ íåïîëîæèòåëüíîé êðèâèçíûâ ñìûñëå À.Ä. Àëåêñàíäðîâà (ãëàâà 2).  äàëüíåéøåì çàìêíóòûå ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûå ñåòè íà ìíîãîãðàííèêàõ ìû áóäåì, äëÿ êðàòêîñòè, ÷àñòîíàçûâàòü ïðîñòî ìèíèìàëüíûìè ñåòÿìè.Ñåòüþ ìû íàçûâàåì ãåîìåòðè÷åñêóþ ðåàëèçàöèþ (àáñòðàêòíîãî)ãðàôà, ò.
å. ïðåäñòàâëåíèå âåðøèí ãðàôà òî÷êàìè íåêîòîðîãî ïðîñòðàíñòâà, à ðåáåð êðèâûìè, ñîåäèíÿþùèìè ñîîòâåòñòâóþùèå òî÷êè. Ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûå ñåòè ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé îäèí èç âàðèàíòîâ îáîáùåíèÿïîíÿòèÿ ãåîäåçè÷åñêîé íà ¾ðàçâåòâë¼ííûé¿ ñëó÷àé. À èìåííî, íåôîðìàëüíî ãîâîðÿ, ñåòü íàçûâàåòñÿ ëîêàëüíî ìèíèìàëüíîé, åñëè ëþáîé å¼ äîñòàòî÷íî ìàëûé ôðàãìåíò ÿâëÿåòñÿ êðàò÷àéøåé ñåòüþ.
Ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûå ñåòè ñ ãðàíèöåé â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå âîçíèêàþò ïðè èçó÷åíèèêðàò÷àéøèõ ñåòåé (íàçûâàåìûõ òàêæå ìèíèìàëüíûìè äåðåâüÿìè Øòåéíåðà).Êðàò÷àéøèå è ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûå ñåòè. Ïîèñê êðàò÷àé-øåé ñåòè, ñîåäèíÿþùåé äàííîå ìíîæåñòâî òî÷åê â íåêîòîðîì ïðîñòðàíñòâå îäíà èç êëàññè÷åñêèõ çàäà÷ òåîðèè ýêñòðåìàëüíûõ ñåòåé, ñì., íàïðèìåð, îáçîð â [29], [7] èëè [5]. Íåôîðìàëüíî ãîâîðÿ, ðå÷ü èä¼ò î ïîèñêåêðàò÷àéøåé ñâÿçíîé ñèñòåìû äîðîã, ñîåäèíÿþùåé äàííûå ãîðîäà, íàçûâàåìûå ¾ãðàíè÷íûìè òî÷êàìè¿ äëÿ èñêîìîé êðàò÷àéøåé ñåòè.
Ïðè ýòîìäîðîãè íå îáÿçàíû íà÷èíàòüñÿ è çàêàí÷èâàòüñÿ â äàííûõ ãîðîäàõ, ò.å. ñèñòåìà äîðîã ìîæåò ñîäåðæàòü ïîìèìî èñõîäíûõ ãîðîäîâ (ãðàíè÷íûõ òî÷åê) äîïîëíèòåëüíûå ïåðåêð¼ñòêè (âíóòðåííèå âåðøèíû ñåòè). Çàäà÷à ïîñòðîåíèÿ êðàò÷àéøåé ñåòè â Rd , ñîåäèíÿþùåé äàííûå n òî÷åê, ÿâëÿåòñÿ4N P -òðóäíîé äëÿ âñåõ d ≥ 2; ñì. [24] èëè [25]. Î÷åâèäíî, ÷òî êðàò÷àéøàÿñåòü íå èìååò öèêëîâ, ò.å. ÿâëÿåòñÿ äåðåâîì. Íåñëîæíî äîêàçàòü ñëåäóþùèå ëîêàëüíûå ñâîéñòâà êðàò÷àéøèõ ñåòåé â åâêëèäîâûõ ïðîñòðàíñòâàõ:(1) ð¼áðà ÿâëÿþòñÿ îòðåçêàìè, (2) âåðøèíû èìåþò ñòåïåíü 1, 2 èëè 3, (3)â âåðøèíàõ ñòåïåíè 3 ð¼áðà ñòûêóþòñÿ ïîä óãëàìè ïî 120◦ , à â âåðøèíàõñòåïåíè 2 ïîä óãëàìè íå ìåíüøå 120◦ [26].
Ýòè ëîêàëüíûå ñâîéñòâà ëåãêî ïðîâåðèòü äëÿ äàííîé ñåòè è ëåãêî ñòðîèòü ñåòè ñ òàêèìè ñâîéñòâàìè,íî âûïîëíåíèå ýòèõ ñâîéñòâ íå ãàðàíòèðóåò, ÷òî ñåòü ÿâëÿåòñÿ êðàò÷àéøåé. Ìîæíî óòâåðæäàòü ëèøü, ÷òî ñåòü, îáëàäàþùàÿ ñâîéñòâàìè (1)(3),ÿâëÿåòñÿ ëîêàëüíî ìèíèìàëüíîé. Ñóùåñòâóþùèå àëãîðèòìû òî÷íîãî ïîñòðîåíèÿ êðàò÷àéøåé ñåòè â Rd îñíîâàíû íà ïîñòðîåíèè âñåâîçìîæíûõ ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûõ äåðåâüåâ, ñîåäèíÿþùèõ äàííîå ìíîæåñòâî òî÷åê, èâûáîðå ñðåäè íèõ äåðåâà íàèìåíüøåé äëèíû. Ïðè ýòîì ýêñïîíåíöèàëüíàÿñëîæíîñòü ýòèõ àëãîðèòìîâ îáóñëîâëåíà ïåðåáîðîì âñåâîçìîæíûõ êîìáèíàòîðíûõ ñòðóêòóð ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûõ äåðåâüåâ.
À äëÿ çàäàííîéêîìáèíàòîðíîé ñòðóêòóðû ëîêàëüíî ìèíèìàëüíîå äåðåâî â Rd ñ äàííîéãðàíèöåé åñëè ñóùåñòâóåò, òî åäèíñòâåííî [26], è â ñëó÷àå ïëîñêîñòè åãîïîñòðîåíèå ìîæåò áûòü âûïîëíåíî çà ëèíåéíîå âðåìÿ ñ ïîìîùüþ ïðåäëîæåííîãî Õâàíãîì àëãîðèòìà [28], ïðåäñòàâëÿþùåãî ñîáîé óëó÷øåíèå àëãîðèòìà Ìåëçàêà [32].Íàïðèìåð, äëÿ âåðøèí ïðÿìîóãîëüíèêà,èçîáðàæ¼ííîãî íà ðèñ. 1, ñóùåñòâóþò äâå ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûå ñåòè.
Ïóíêòèðíàÿ ñåòü êîðî÷å,îíà è ÿâëÿåòñÿ êðàò÷àéøåé ñåòüþ, ñîåäèíÿþùåé÷åòûðå äàííûå òî÷êè.Êðàò÷àéøèå ñåòè, à â ñâÿçè ñ íèìè è ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûå ñåòè, âîçíèêàþò â ïðèëîæåÐèñ. 1: Äâå ëîêàëüíî ìèíèíèÿõ è àêòèâíî èññëåäóþòñÿ íå òîëüêî â Rd , íî è â ìàëüíûå ñåòè, çàòÿãèâàþùèåäðóãèõ ïðîñòðàíñòâàõ (ñì., íàïðèìåð, îáçîð [29]), âåðøèíû ïðÿìîóãîëüíèêà.â òîì ÷èñëå íà ðèìàíîâûõ ìíîãîîáðàçèÿõ (íàïðèìåð, ñì.
[7]) è â ïðîñòðàíñòâàõ îãðàíè÷åííîé êðèâèçíû â ñìûñëå À.Ä. Àëåêñàíäðîâà [30], [18]. Èìååòìåñòî ñëåäóþùèé êðèòåðèé.Òåîðåìà (ñì. [7, òåîðåìà 3.1]). Ñåòü Γ íà ðèìàíîâîì ìíîãîîáðàçèè ëî-êàëüíî ìèíèìàëüíà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíà (âîçìîæíî, ïîñëåïåðåïàðàìåòðèçàöèè) óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì óñëîâèÿì :• âñå ðåáðà ãåîäåçè÷åñêèå,• óãëû ìåæäó ñîñåäíèìè ðåáðàìè íå ìåíüøå 120◦ ,• âñå âåðøèíû ñòåïåíè 1 ãðàíè÷íûå,• âî âñåõ âíóòðåííèõ âåðøèíàõ ñòåïåíè 2 óãîë ìåæäó ðåáðàìè ðàâåí180◦ .5 ñòàòüå [4] ïîêàçàíî, ÷òî òå æå ñàìûå óñëîâèÿ, çà èñêëþ÷åíèåì ÷åòâåðòîãî, íåîáõîäèìû äëÿ ëîêàëüíîé ìèíèìàëüíîñòè ñåòè â ïðîñòðàíñòâàõÀ.
Ä. Àëåêñàíäðîâà îãðàíè÷åííîé êðèâèçíû.Óñòîé÷èâîñòü ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûõ ñåòåé.  ãëàâå 2 äèñ-ñåðòàöèè äîêàçûâàåòñÿ óñòîé÷èâîñòü ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûõ ñåòåé â ïðîñòðàíñòâàõ À.Ä. Àëåêñàíäðîâà íåïîëîæèòåëüíîé êðèâèçíû. Òàê æå, êàê èâ ñëó÷àå ãåîäåçè÷åñêèõ, ëîêàëüíî ìèíèìàëüíàÿ ñåòü âîîáùå ãîâîðÿ ìîæåòäîïóñêàòü ãëîáàëüíóþ äåôîðìàöèþ, óìåíüøàþùóþ åå äëèíó (ïðèìåð íåêðàò÷àéøàÿ ãåîäåçè÷åñêàÿ íà ñôåðå). Îäíàêî èçâåñòíî, ÷òî íà ðèìàíîâûõ ìíîãîîáðàçèÿõ íåïîëîæèòåëüíîé ñåêöèîííîé êðèâèçíû (è âîîáùå âïðîñòðàíñòâàõ À. Ä. Àëåêñàíäðîâà íåïîëîæèòåëüíîé êðèâèçíû) äëèíà ãåîäåçè÷åñêîé íå ìîæåò áûòü óìåíüøåíà íèêàêîé äåôîðìàöèåé.