Минимальные сети на поверхностях многогранников

PDF-файл Минимальные сети на поверхностях многогранников Физико-математические науки (33516): Диссертация - Аспирантура и докторантураМинимальные сети на поверхностях многогранников: Физико-математические науки - PDF (33516) - СтудИзба2019-03-142019-03-14СтудИзба

Минимальные сети на поверхностях многогранников484

Описание файла

PDF-файл из архива "Минимальные сети на поверхностях многогранников", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "физико-математические науки" из Аспирантура и докторантура, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. , а ещё этот архив представляет собой кандидатскую диссертацию, поэтому ещё представлен в разделе всех диссертаций на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук.

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст из PDF

ÔÃÁÎÓ ÂÏÎ¾ÌÎÑÊÎÂÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒèìåíè Ì. Â. ËÎÌÎÍÎÑÎÂÀ¿¾ÌÅÕÀÍÈÊÎ-ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÔÀÊÓËÜÒÅÒ¿Íà ïðàâàõ ðóêîïèñèÑòðåëêîâàÍàòàëèÿ ÏàâëîâíàÌèíèìàëüíûå ñåòè íà ïîâåðõíîñòÿõ ìíîãîãðàííèêîâÑïåöèàëüíîñòü 01.01.04 ãåîìåòðèÿ è òîïîëîãèÿÄÈÑÑÅÐÒÀÖÈßíà ñîèñêàíèå ó÷¼íîé ñòåïåíè êàíäèäàòà ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóêÍàó÷íûé ðóêîâîäèòåëü:ä.ô.-ì.í., ïðîôåññîð Àëåêñåé Àâãóñòèíîâè÷ ÒóæèëèíÌÎÑÊÂÀ 2013ÎãëàâëåíèåÂâåäåíèå12Ñåòè: îïðåäåëåíèÿ è ïðåäâàðèòåëüíûå ðåçóëüòàòû111.11.21.31.41.51.61113141516Ïîíÿòèå ñåòè. . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Äåôîðìàöèè è ïåðåïàðàìåòðèçàöèÿ ñåòè. . . . . . . . . . . .Îáûêíîâåííûå ñåòè è ñåòè-îòîáðàæåíèÿ . . . . . . . . . . . .Ñõîäÿùàÿñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñåòåé. . . . . . . . . . . . .Âèäû ýêñòðåìàëüíûõ ñåòåé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Êðèòåðèè ëîêàëüíîé ìèíèìàëüíîñòè ñåòåé è çàìêíóòûå ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûå ñåòè íà ïîâåðõíîñòè âûïóêëûõ ìíîãîãðàííèêîâ . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17Óñòîé÷èâîñòü ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûõ ñåòåé192.1192.22.334Ðåçóëüòàòû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1.1 Óñòîé÷èâîñòü ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûõ ñåòåé â ïðîñòðàíñòâàõ íåïîëîæèòåëüíîé êðèâèçíû . . . . . .

. .2.1.2 ¾Óñòîé÷èâîñòü¿ îòíîñèòåëüíî ïîñëåäîâàòåëüíîñòèäåôîðìàöèé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Óñòîé÷èâîñòü ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûõ ñåòåé â ïðîñòðàíñòâàõíåïîëîæèòåëüíîé êðèâèçíû â ñìûñëå À.Ä.Àëåêñàíäðîâà . .¾Óñòîé÷èâîñòü¿ îòíîñèòåëüíî ïîñëåäîâàòåëüíîñòè äåôîðìàöèé . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19202230Çàìêíóòûå ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûå ñåòè íà âûïóêëûõ ìíîãîãðàííèêàõ353.13.2Îïðåäåëåíèÿ è ïðåäâàðèòåëüíûå ðåçóëüòàòû . . . . . . . . .3.1.1 Ìíîãîãðàííèêè, ìíîãîãðàííûå ìåòðèêè è ðàçâ¼ðòêè.3.1.2 Ãåîäåçè÷åñêèå è ìíîãîóãîëüíèêè . . . .

. . . . . . . .Ðåçóëüòàòû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.1 Íåîáõîäèìîå óñëîâèå íà êðèâèçíû âåðøèí. . . . . . .3.2.2 Ðåàëèçàöèÿ ïëîñêèõ ãðàôîâ íà ìíîãîãðàííèêàõ â âèäå ìèíèìàëüíûõ ñåòåé. . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.3 Äâàæäû ïîêðûòûå òðåóãîëüíèêè . . . . . . . . . . . .2353538414142453.2.43.2.53.2.63.2.73.3Ìèíèìàëüíûå ñåòè íà òåòðàýäðàõ . . . . . .

. . . . .Ñèñòåìà ðàçðåçîâ: ãåîìåòðè÷åñêîå íåîáõîäèìîå óñëîâèå.Ñâåäåíèå çàäà÷è ê ïðîñòûì ìèíèìàëüíûì ñåòÿì. . .Ôàêòû è ãèïîòåçû î ñóùåñòâîâàíèè ìèíèìàëüíûõ ñåòåé íà ìíîãîãðàííèêàõ . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.8 Ôèçè÷åñêèå ñîîáðàæåíèÿ è òåòðàýäðû ñ êðèâèçíà5πìè { π3 , π3 , 5π3 , 3 } .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Äîêàçàòåëüñòâà òåîðåì ïðî ñåòè íà ìíîãîãðàííèêàõ . . . . .3.3.1 Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû 3.6 î äëèíàõ ñòîðîí ãåîäåçè÷åñêîãî ìíîãîóãîëüíèêà . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3.2 Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 20 î ìíîãîãðàííèêå, íà êîòîðîì ìèíèìàëüíûå ñåòè ðåàëèçóþòñÿ êàê ïðîñòûå. .3.3.3 Ïðèìåð ìíîãîãðàííèêà áåç ìèíèìàëüíûõ ñåòåé, èìåþùåãî ñèñòåìó ðàçðåçîâ (òåîðåìà 18). . . . .

. . . . .3.3.4 Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 21 î ñóùåñòâîâàíèè ìèíèìàëüíûõ ñåòåé íà ïî÷òè âñåõ ìíîãîãðàííèêàõ ñ êðèâèçíàìè, êðàòíûìè π3 . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3.5 Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 22 î òåòðàýäðàõ ñ êðèâèçíà5πìè { π3 , π3 , 5π3 , 3 }. . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ëèòåðàòóðà4750535455565659606472823ÂâåäåíèåÄèññåðòàöèÿ ïîñâÿùåíà òåîðèè ýêñòðåìàëüíûõ ñåòåé (ýòî ¾ðàçâåòâë¼ííûé¿ àíàëîã ãåîäåçè÷åñêèõ) îäíîìó èç àêòèâíî ðàçâèâàþùèõñÿ ðàçäåëîâãåîìåòðèè è òîïîëîãèè. Èññëåäóþòñÿ ãåîìåòðè÷åñêèå ñâîéñòâà çàìêíóòûõëîêàëüíî ìèíèìàëüíûõ ñåòåé íà ïîâåðõíîñòÿõ âûïóêëûõ ìíîãîãðàííèêîâè çàäà÷à îïèñàíèÿ êëàññà âûïóêëûõ ìíîãîãðàííèêîâ, íà ïîâåðõíîñòè êîòîðûõ ñóùåñòâóþò òàêèå ñåòè (ãëàâà 3). Ïðè èçó÷åíèè çàìêíóòûõ ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûõ ñåòåé íà ìíîãîãðàííèêàõ âîçíèê åñòåñòâåííûé âîïðîñîá óñòîé÷èâîñòè òàêèõ ñåòåé.

Îòâåòèòü íà ýòîò âîïðîñ óäàëîñü â ãîðàçäî áîëüøåé îáùíîñòè â äèññåðòàöèè äîêàçàíà òåîðåìà îá óñòîé÷èâîñòèëîêàëüíî ìèíèìàëüíûõ ñåòåé â ïðîñòðàíñòâàõ íåïîëîæèòåëüíîé êðèâèçíûâ ñìûñëå À.Ä. Àëåêñàíäðîâà (ãëàâà 2). Â äàëüíåéøåì çàìêíóòûå ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûå ñåòè íà ìíîãîãðàííèêàõ ìû áóäåì, äëÿ êðàòêîñòè, ÷àñòîíàçûâàòü ïðîñòî ìèíèìàëüíûìè ñåòÿìè.Ñåòüþ ìû íàçûâàåì ãåîìåòðè÷åñêóþ ðåàëèçàöèþ (àáñòðàêòíîãî)ãðàôà, ò.

å. ïðåäñòàâëåíèå âåðøèí ãðàôà òî÷êàìè íåêîòîðîãî ïðîñòðàíñòâà, à ðåáåð êðèâûìè, ñîåäèíÿþùèìè ñîîòâåòñòâóþùèå òî÷êè. Ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûå ñåòè ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé îäèí èç âàðèàíòîâ îáîáùåíèÿïîíÿòèÿ ãåîäåçè÷åñêîé íà ¾ðàçâåòâë¼ííûé¿ ñëó÷àé. À èìåííî, íåôîðìàëüíî ãîâîðÿ, ñåòü íàçûâàåòñÿ ëîêàëüíî ìèíèìàëüíîé, åñëè ëþáîé å¼ äîñòàòî÷íî ìàëûé ôðàãìåíò ÿâëÿåòñÿ êðàò÷àéøåé ñåòüþ.

Ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûå ñåòè ñ ãðàíèöåé â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå âîçíèêàþò ïðè èçó÷åíèèêðàò÷àéøèõ ñåòåé (íàçûâàåìûõ òàêæå ìèíèìàëüíûìè äåðåâüÿìè Øòåéíåðà).Êðàò÷àéøèå è ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûå ñåòè. Ïîèñê êðàò÷àé-øåé ñåòè, ñîåäèíÿþùåé äàííîå ìíîæåñòâî òî÷åê â íåêîòîðîì ïðîñòðàíñòâå îäíà èç êëàññè÷åñêèõ çàäà÷ òåîðèè ýêñòðåìàëüíûõ ñåòåé, ñì., íàïðèìåð, îáçîð â [29], [7] èëè [5]. Íåôîðìàëüíî ãîâîðÿ, ðå÷ü èä¼ò î ïîèñêåêðàò÷àéøåé ñâÿçíîé ñèñòåìû äîðîã, ñîåäèíÿþùåé äàííûå ãîðîäà, íàçûâàåìûå ¾ãðàíè÷íûìè òî÷êàìè¿ äëÿ èñêîìîé êðàò÷àéøåé ñåòè.

Ïðè ýòîìäîðîãè íå îáÿçàíû íà÷èíàòüñÿ è çàêàí÷èâàòüñÿ â äàííûõ ãîðîäàõ, ò.å. ñèñòåìà äîðîã ìîæåò ñîäåðæàòü ïîìèìî èñõîäíûõ ãîðîäîâ (ãðàíè÷íûõ òî÷åê) äîïîëíèòåëüíûå ïåðåêð¼ñòêè (âíóòðåííèå âåðøèíû ñåòè). Çàäà÷à ïîñòðîåíèÿ êðàò÷àéøåé ñåòè â Rd , ñîåäèíÿþùåé äàííûå n òî÷åê, ÿâëÿåòñÿ4N P -òðóäíîé äëÿ âñåõ d ≥ 2; ñì. [24] èëè [25]. Î÷åâèäíî, ÷òî êðàò÷àéøàÿñåòü íå èìååò öèêëîâ, ò.å. ÿâëÿåòñÿ äåðåâîì. Íåñëîæíî äîêàçàòü ñëåäóþùèå ëîêàëüíûå ñâîéñòâà êðàò÷àéøèõ ñåòåé â åâêëèäîâûõ ïðîñòðàíñòâàõ:(1) ð¼áðà ÿâëÿþòñÿ îòðåçêàìè, (2) âåðøèíû èìåþò ñòåïåíü 1, 2 èëè 3, (3)â âåðøèíàõ ñòåïåíè 3 ð¼áðà ñòûêóþòñÿ ïîä óãëàìè ïî 120◦ , à â âåðøèíàõñòåïåíè 2 ïîä óãëàìè íå ìåíüøå 120◦ [26].

Ýòè ëîêàëüíûå ñâîéñòâà ëåãêî ïðîâåðèòü äëÿ äàííîé ñåòè è ëåãêî ñòðîèòü ñåòè ñ òàêèìè ñâîéñòâàìè,íî âûïîëíåíèå ýòèõ ñâîéñòâ íå ãàðàíòèðóåò, ÷òî ñåòü ÿâëÿåòñÿ êðàò÷àéøåé. Ìîæíî óòâåðæäàòü ëèøü, ÷òî ñåòü, îáëàäàþùàÿ ñâîéñòâàìè (1)(3),ÿâëÿåòñÿ ëîêàëüíî ìèíèìàëüíîé. Ñóùåñòâóþùèå àëãîðèòìû òî÷íîãî ïîñòðîåíèÿ êðàò÷àéøåé ñåòè â Rd îñíîâàíû íà ïîñòðîåíèè âñåâîçìîæíûõ ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûõ äåðåâüåâ, ñîåäèíÿþùèõ äàííîå ìíîæåñòâî òî÷åê, èâûáîðå ñðåäè íèõ äåðåâà íàèìåíüøåé äëèíû. Ïðè ýòîì ýêñïîíåíöèàëüíàÿñëîæíîñòü ýòèõ àëãîðèòìîâ îáóñëîâëåíà ïåðåáîðîì âñåâîçìîæíûõ êîìáèíàòîðíûõ ñòðóêòóð ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûõ äåðåâüåâ.

À äëÿ çàäàííîéêîìáèíàòîðíîé ñòðóêòóðû ëîêàëüíî ìèíèìàëüíîå äåðåâî â Rd ñ äàííîéãðàíèöåé åñëè ñóùåñòâóåò, òî åäèíñòâåííî [26], è â ñëó÷àå ïëîñêîñòè åãîïîñòðîåíèå ìîæåò áûòü âûïîëíåíî çà ëèíåéíîå âðåìÿ ñ ïîìîùüþ ïðåäëîæåííîãî Õâàíãîì àëãîðèòìà [28], ïðåäñòàâëÿþùåãî ñîáîé óëó÷øåíèå àëãîðèòìà Ìåëçàêà [32].Íàïðèìåð, äëÿ âåðøèí ïðÿìîóãîëüíèêà,èçîáðàæ¼ííîãî íà ðèñ. 1, ñóùåñòâóþò äâå ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûå ñåòè.

Ïóíêòèðíàÿ ñåòü êîðî÷å,îíà è ÿâëÿåòñÿ êðàò÷àéøåé ñåòüþ, ñîåäèíÿþùåé÷åòûðå äàííûå òî÷êè.Êðàò÷àéøèå ñåòè, à â ñâÿçè ñ íèìè è ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûå ñåòè, âîçíèêàþò â ïðèëîæåÐèñ. 1: Äâå ëîêàëüíî ìèíèíèÿõ è àêòèâíî èññëåäóþòñÿ íå òîëüêî â Rd , íî è â ìàëüíûå ñåòè, çàòÿãèâàþùèåäðóãèõ ïðîñòðàíñòâàõ (ñì., íàïðèìåð, îáçîð [29]), âåðøèíû ïðÿìîóãîëüíèêà.â òîì ÷èñëå íà ðèìàíîâûõ ìíîãîîáðàçèÿõ (íàïðèìåð, ñì.

[7]) è â ïðîñòðàíñòâàõ îãðàíè÷åííîé êðèâèçíû â ñìûñëå À.Ä. Àëåêñàíäðîâà [30], [18]. Èìååòìåñòî ñëåäóþùèé êðèòåðèé.Òåîðåìà (ñì. [7, òåîðåìà 3.1]). Ñåòü Γ íà ðèìàíîâîì ìíîãîîáðàçèè ëî-êàëüíî ìèíèìàëüíà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíà (âîçìîæíî, ïîñëåïåðåïàðàìåòðèçàöèè) óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì óñëîâèÿì :• âñå ðåáðà ãåîäåçè÷åñêèå,• óãëû ìåæäó ñîñåäíèìè ðåáðàìè íå ìåíüøå 120◦ ,• âñå âåðøèíû ñòåïåíè 1 ãðàíè÷íûå,• âî âñåõ âíóòðåííèõ âåðøèíàõ ñòåïåíè 2 óãîë ìåæäó ðåáðàìè ðàâåí180◦ .5Â ñòàòüå [4] ïîêàçàíî, ÷òî òå æå ñàìûå óñëîâèÿ, çà èñêëþ÷åíèåì ÷åòâåðòîãî, íåîáõîäèìû äëÿ ëîêàëüíîé ìèíèìàëüíîñòè ñåòè â ïðîñòðàíñòâàõÀ.

Ä. Àëåêñàíäðîâà îãðàíè÷åííîé êðèâèçíû.Óñòîé÷èâîñòü ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûõ ñåòåé. Â ãëàâå 2 äèñ-ñåðòàöèè äîêàçûâàåòñÿ óñòîé÷èâîñòü ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûõ ñåòåé â ïðîñòðàíñòâàõ À.Ä. Àëåêñàíäðîâà íåïîëîæèòåëüíîé êðèâèçíû. Òàê æå, êàê èâ ñëó÷àå ãåîäåçè÷åñêèõ, ëîêàëüíî ìèíèìàëüíàÿ ñåòü âîîáùå ãîâîðÿ ìîæåòäîïóñêàòü ãëîáàëüíóþ äåôîðìàöèþ, óìåíüøàþùóþ åå äëèíó (ïðèìåð íåêðàò÷àéøàÿ ãåîäåçè÷åñêàÿ íà ñôåðå). Îäíàêî èçâåñòíî, ÷òî íà ðèìàíîâûõ ìíîãîîáðàçèÿõ íåïîëîæèòåëüíîé ñåêöèîííîé êðèâèçíû (è âîîáùå âïðîñòðàíñòâàõ À. Ä. Àëåêñàíäðîâà íåïîëîæèòåëüíîé êðèâèçíû) äëèíà ãåîäåçè÷åñêîé íå ìîæåò áûòü óìåíüøåíà íèêàêîé äåôîðìàöèåé.

Поделитесь ссылкой:

Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.

Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.

Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.

Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.

Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.

Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.

Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.

Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.

Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.

Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.

Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.

Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.