Математическое моделирование волноводно-резонансных свойств диэлектрической и киральной сред, страница 2

Îáùèé îáúåì äèññåðòàöèè 101 ñòðàíèöà.ÑÎÄÅÐÆÀÍÈÅ ÄÈÑÑÅÐÒÀÖÈÈÂî Ââåäåíèè âûäåëåí êðóã âîïðîñîâ, îõâà÷åííûõ äèññåðòàöèåé;ðàññìîòðåíî ñîâðåìåííîå ñîñòîÿíèå ðàññìàòðèâàåìûõ â äèññåðòàöèîííîé ðàáîòå âîïðîñîâ è îáîñíîâàíà èõ àêòóàëüíîñòü, êðàòêî èçëîæåíîñîäåðæàíèå ðàáîòû, åå öåëè, íàó÷íàÿ íîâèçíà è ïðàêòè÷åñêàÿ öåííîñòü.Ââåäåíî ïîíÿòèå êèðàëüíîé ñðåäû è ðàññìîòðåíû ðàçëè÷íûå ìåòîäû ååîïèñàíèÿ. Ïðîèçâîäèòñÿ îáçîð ëèòåðàòóðû ïî äàííîìó âîïðîñó.Ìàòåðèàëüíûå óðàâíåíèÿ äëÿ êèðàëüíûõ ñðåä èìåþò âèä:´−−→→−→ ³D = εa + µa ξ 2 E − jµa ξca H ,−→−→−→B = µa H + jµa ξca E ,(1)ãäå µa , εa - àáñîëþòíàÿ ìàãíèòíàÿ è äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòè êèðàëüíîé ñðåäû (εa = ερ0 ), ξca àáñîëþòíûé êèðàëüíûé àäìèòàíñ.7Óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà äëÿ êèðàëüíîé ñðåäû â ñëó÷àå ãàðìîíè÷åñêèõïðîöåññîâ âûãëÿäÿò ñëåäóþùèì îáðàçîì:µ−→→−→¶β(ξ) −rot H = jk ρ0 E − jµξ H ,µ−→−→−→¶rot E = −jk µρ0 H + jµξ E ,(2)√ãäåk = ω ε0 µ0 , β(ξ) = ε + µξ 2 , ε, µ -îòíîñèòåëüíûå äèýëåêòðè÷åñêàÿ è ìàãíèòíàÿ ïðîíèöàåìîñòè êèðàëüíîé ñðåäû, ξ = ξca ρ0 îòíîñèòåëüíûé êèðàëüíûé àäìèòàíñ.Ãëàâà 1 ïîñâÿùåíà ìàòåìàòè÷åñêîìó ìîäåëèðîâàíèþ ïðîöåññîâ â âîë-íîâîäå ñ äèýëåêòðè÷åñêèì çàïîëíåíèåì. Ÿ1 ïðîâåäåíà ìàòåìàòè÷åñêàÿ ïîñòàíîâêà çàäà÷, âîçíèêàþùèõ ïðèíàõîæäåíèè ïîñòîÿííûõ ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëí âáëèçè ÷àñòîòû îòñå÷êèè ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò ïîïåðå÷íîãî ðåçîíàíñà â êðóãëîì è êîëüöåâîì ðåçîíàòîðàõ. Ÿ2 ïîëó÷åíî äèñïåðñèîííîå óðàâíåíèå äëÿ ìîä êðóãëîãî öèëèíäðè÷åñêîãî âîëíîâîäà ñ èìïåäàíñíîé áîêîâîé ïîâåðõíîñòüþ.Èñïîëüçóÿ ïðåäñòàâëåíèå ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ ÷åðåç ïîòåíöèàëûÃåðöà, èìïåäàíñíûå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ è ãåîìåòðèþ âîëíîâîäà, ïîëó÷åíîäèñïåðñèîííîå óðàâíåíèå â âèäå:∆(λ) = [Mn (λa) − h1 ] · [Mn (λa) − h2 ] − f (λ) = 0,(3)ãäå ââåäåíû ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ:Mn (λa) =Jn0 (λa)λaJn (λa) ,f (λ) =³´nγ 2,2kaλ(4)1−1,h2 =.(5)ikaZikaYÇäåñü a - ðàäèóñ âîëíîâîäà, Y, Z - ãðàíè÷íûå èìïåäàíñû.

Ïîëó÷åííîåäèñïåðñèîííîå óðàâíåíèå (3) îòíîñèòåëüíî ôóíêöèè Mn (λa) ÿâëÿåòñÿêâàäðàòè÷íûì àëãåáðàè÷åñêèì è, ñëåäîâàòåëüíî, ðàñïàäàåòñÿ íà äâàóðàâíåíèÿ, îïèñûâàþùèå "êâàçè-H" è "êâàçè-E" ìîäû.Âáëèçèêðèòè÷åñêîé ÷àñòîòû γ → 0 f (λ) → 0, ïîëó÷àåì äâà íåçàâèñèìûõïðåäåëüíûõ äèñïåðñèîííûõ óðàâíåíèÿ:h1 =Mn (λa) = h1 ,Mn (λa) = h2 ,(6)îïðåäåëÿþùèõ êîìïëåêñíûå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ λ ñîîòâåòñòâåííî äëÿEH-ìîä è HE-ìîä.8 Ÿ3 ïîêàçàíî, ÷òî èññëåäîâàíèå ñîáñòâåííûõ êîëåáàíèé ìàãíèòíîãîòèïà (HE-ìîäû) âáëèçè êðèòè÷åñêèõ ÷àñòîò êðóãëîãî è êîàêñèàëüíîãî âîëíîâîäîâ ñ èìïåäàíñíûìè áîêîâûìè ïîâåðõíîñòÿìè ñâîäèòñÿ êòðåòüåé êðàåâîé çàäà÷å íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ äëÿ óðàâíåíèÿ Áåññåëÿâ êðóãå:d2 Rn (λr)dr2µ2¶+ 1r · dRndr(λr) + λ2 − nr2 Rn (λr) = 0,|Rn (0)| < ∞,dRn (λr)− ikYλ2dr |r=a = Rn (λr)|r=a ,r ∈ [0, a],(7)(8)Hz |r=a = Y Eϕ |r=a ,è êîëüöå:µ¶d2 Rn (λr)1 dRn (λr)n22+ r · dr + λ − r2 Rn (λr)dr2a dRn (λr)− ikYλ2dr |r=a = Rn (λr)|r=a ,ikYb dRn (λr)λ2dr |r=b = Rn (λr)|r=b ,Hz |r=a = Ya Eϕ |r=a ,= 0,r ∈ [a, b],Hz |r=b = Yb Eϕ |r=b .(9)(10) Ÿ4 ïðîâåäåíî èññëåäîâàíèå êîëüöåâîãî àêñèàëüíî-ñèììåòðè÷íîãîäèýëåêòðè÷åñêîãî ðåçîíàòîðà.

Ïîäîáíûé âîëíîâîä ìîæåò áûòü çàìåíåíöèëèíäðè÷åñêèì âîëíîâîäîì, íà áîêîâîé ïîâåðõíîñòè êîòîðîãî ïðèr = a ñòàâèòñÿ ýêâèâàëåíòíîå ãðàíè÷íîå óñëîâèå èìïåäàíñíîãî òèïàñ èìïåäàíñîì, ñîîòâåòñòâóþùèì ïëîñêîïàðàëëåëüíîé äèýëåêòðè÷åñêîéïëàñòèíêå:√Ze√ 1 ctg(kδ ε − 1),=iY =W(11)ε−10ε = ε0 + iε00 - äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü ìàòåðèàëà, k− âîëíîâîå÷èñëî â ñðåäå ñ ïðîíèöàåìîñòüþ ε0 . Óñëîâèåì ïðèìåíèìîñòè óêàçàííûõèìïåäàíñíûõ ãðàíè÷íûõ óñëîâèé ÿâëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå: kδ À 1.Èç (7) ñëåäóåò, ÷òî Rn (λr) = Jn (λr) , à èç ãðàíè÷íûõ óñëîâèéíàõîäèì äèñïåðñèîííîå óðàâíåíèå äëÿ λ:(12)Mn (λa) = h1 ,Jn0 (z)¯ = i 1 = i 1 Z e .

Ôóíêöèÿh̄,h=h̄+iMn (z) = zJ1(z)kaYka W0nMn (z) îáëàäàåò òàê íàçûâàåìûì äèôôåðåíöèàëüíî-ïàðàìåòðè÷åñêèìñâîéñòâîì :ãäåMn0 (z) = −[ λMn2 (z) + z2 Mn (z) + z1 −9n2z3] = P (Mn (z)),(13)òî åñòü âîçìîæíîñòüþ ïðåäñòàâëåíèÿ ïðîèçâîäíîé ýòîé ôóíêöèè â âèäåíåêîòîðîãî ïîëèíîìà P îò ñàìîé ôóíêöèè è åå àðãóìåíòîâ. Ïðèìåíÿÿìåòîä äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ïî ïàðàìåòðó, ïðèõîäèì ê çàäà÷å Êîøè:βh dβ = −dt1+2ht+(βht)2 −n2 /β 2 , β(0) = j 0 ,β = λa,n,m(14)0Jn0 (jn,m) = 0. Èíòåãðèðóÿ ýòî óðàâíåíèå, íàõîäèì λ è äîáðîòíîñòüRe(λ).ïîïåðå÷íîãî ðåçîíàíñà ïî èçâåñòíîé ôîðìóëå: Q = 2Im(λ)Ïðîèçâîäÿ ÷èñëåííî óêàçàííîå èíòåãðèðîâàíèå, íàéäåíî îïòèìàëüíîåçíà÷åíèå kδ , ïðè êîòîðîì âåëè÷èíà äîáðîòíîñòè ìàêñèìàëüíà. Ÿ5 ïðîâåäåíî èññëåäîâàíèå êîàêñèàëüíîãî ìåòàëëî- äèýëåêòðè÷åñêîãî ðåçîíàòîðà.Ðàññìîòðèì äâóìåðíûé êîàêñèàëüíûé ðåçîíàòîð, ïðåäñòàâëÿþùèéñîáîé äèýëåêòðè÷åñêîå êîëüöî r ∈ [a−δ, a] è àêñèàëüíî- ñèììåòðè÷íûéàçèìóòàëüíî-ãðåáåí÷àòûé ýêðàí ðàäèóñà r = b .

Âûñîòà ãðåáåíêèD, ïåðèîä ãîôðà d, äåéñòâèòåëüíàÿ ÷àñòü ïîâåðõíîñòíîãî èìïåäàíñàìåòàëëà ReZs . ïðèáëèæåíèè èìïåäàíñíîé ìîäåëè ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ çàäà÷è (9)çàïèøåì äëÿ èìïåäàíñà:Yb =ReZs1W0 cos2 (kD)·1+Ddµ1−sin(2kD)2kD¶¸− i · tg(kD),(15)ãäå W0 - âîëíîâîå ñîïðîòèâëåíèå âàêóóìà è èìïåäàíñà Ya , îïðåäåëÿåìîãî ïî ôîðìóëå (11). Ìåòîä ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è âî ìíîãîì àíàëîãè÷åíìåòîäó, èñïîëüçóåìîìó â ïðåäûäóùåì ïóíêòå.011n (Z)Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ: Mn (z) = RRn (Z) , Γi = − ikYa , Γe = ikYb .Çàìåòèì, ÷òî óðàâíåíèå Áåññåëÿ äëÿ Rn³(z) , çàïèñûâàåòñÿâ òåðìèíàõ´1022 2Mn (z): Mn (z) = −Mn (z) − z Mn (z) − 1 − n /z , òî åñòü Mn (z)îáëàäàåò óæå âñòðå÷àâøèìñÿ íàì äèôôåðåíöèàëüíî-ïàðàìåòðè÷åñêèìñâîéñòâîì.

Òîãäà (9) ïðèìåò âèä:³´Mn0 (z) = −Mn2 (z) − z1 Mn (z) − 1 − n2 /z 2 ,Mn (λa) + Γi λ = 0,Mn (λb) + Γe λ = 0.z = λr,(16) ïîëíîé àíàëîãèè ñ èçëîæåííûì â ïðåäûäóùåì ïóíêòå, ïàðàìåòðèçóåì êàæäîå èç ãðàíè÷íûõ óñëîâèé ñèñòåìû (16), íàïðèìåð, ñëåäóþùèìñïîñîáîì:Mn (λ(t)r) + λ(t)tΓi,e = 0, r = a, b.(17)10Ïóòåì äèôôåðåíöèðîâàíèÿ (17), ñ÷èòàÿ èçâåñòíûì ñîáñòâåííîå çíà÷åíèåλ0 çàäà÷è:³´Mn0 (z) = −Mn2 (z) − z1 Mn (z) − 1 − n2 /z 2 ,Mn (λa) = 0,Mn (λb) = 0,z = λr,(18)êîòîðàÿ ñîîòâåòñòâóåò êîàêñèàëüíîìó ðåçîíàòîðó ñ áåñêîíå÷íî ïðîâîäÿùèìè ñòåíêàìè, è, ó÷èòûâàÿ äèôôåðåíöèàëüíî-ïàðàìåòðè÷åñêîåñâîéñòâî ôóíêöèè Mn (z) , ïðèõîäèì ê ñëåäóþùèì çàäà÷àì Êîøè:dζdt=−Γi ζ22Γi t−a[ (ζΓi t)2 +1−(m/ka)],(19)ζ(0) = λ0 ,dλdt=−Γe λ22Γe t−b[ (λΓe t)2 +1−(m/kb)],(20)λ(0) = ζ(1),ïîñëåäîâàòåëüíî ðåøàÿ êîòîðûå, íàõîäèì ñíà÷àëà ñîáñòâåííîå çíà÷åíèåçàäà÷è³´Mn0 (z) = −Mn2 (z) − z1 Mn (z) − 1 − n2 /z 2 ,Mn (λa) + Γi λ = 0,Mn (λb) = 0,z = λr,(21)ôèçè÷åñêè ÿâëÿþùååñÿ ïîïåðå÷íûì âîëíîâûì ÷èñëîì êîàêñèàëà ñ äèýëåêòðè÷åñêèì öèëèíäðîì âíóòðè è áåñêîíå÷íî ïðîâîäÿùèì ýêðàíîìñíàðóæè, à çàòåì è èíòåðåñóþùåå íàñ ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå äëÿ (16),ñîâïàäàþùåå ñ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì äëÿ (9).Ðàñ÷åòû ïðîâîäèëèñü äëÿ âîëí ñ âûñîêèìè àçèìóòàëüíûìè ÷èñëàìè(âîëíû òèïà "øåï÷óùåé ãàëåðåè")Ïîêàçàíî, ÷òî âàðèàöèåé ðàçìåðà ãîôðà ìîæíî äîáèòüñÿ óâåëè÷åíèÿäîáðîòíîñòè â 103 ðàç ïî ñðàâíåíèþ ñ ãëàäêîñòåííûì ðåçîíàòîðîì.

Ýòîóáåäèòåëüíî ïîäòâåðæäàåò ýôôåêòèâíîñòü èñïîëüçîâàíèÿ ãîôðèðîâàííîé áîêîâîé ïîâåðõíîñòè, äëÿ êîòîðîé ïðè îïðåäåëåííîé åå ãåîìåòðèèäëÿ ìîä òèïà "øåï÷óùåé ãàëåðåè" äîñòèãàåòñÿ ýôôåêò àíîìàëüíîìàëîãî ïîãëîùåíèÿ â ìåòàëëè÷åñêîì ýêðàíå. Ÿ6 ðàññìàòðèâàåòñÿ îïðåäåëåíèå ïàðàìåòðîâ ðåçîíàòîðà ïî åãîýëåêòðîäèíàìè÷åñêèì õàðàêòåðèñòèêàì.Ðàññìîòðåí öèëèíäðè÷åñêèé ðåçîíàòîð ðàäèóñà a, âûñîòû l ñèìïåäàíñíûìè ñòåíêàìè ( Y1 = −Z = Zs ).11 ïðåäïîëîæåíèè ìàëîñòè àáñîëþòíîé âåëè÷èíû èìïåäàíñà íàéäåíààñèìïòîòèêà ïðîäîëüíîãî âîëíîâîãî ÷èñëà:γ = γ0 −2i kl γ0 Zs .(22)Çäåñü γ0 = πnl ñîîòâåòñòâóåò ïðîäîëüíîìó âîëíîâîìó ÷èñëó öèëèíäðè÷åñêîãî ðåçîíàòîðà áåç ïîòåðü.Çíàÿ ãåîìåòðèþ âîëíîâîäà, ìîæíî ïîëó÷àòü îöåíêè ïîâåðõíîñòíîãîèìïåäàíñà ñòåíîê, òî åñòü èññëåäîâàòü è ñ âûñîêîé òî÷íîñòüþ îïðåäåëÿòüôèçè÷åñêèå ñâîéñòâà ìàòåðèàëà. Ÿ7 ðàññìàòðèâàåòñÿ ñõåìà ìåòîäà Ãàëåðêèíà äëÿ ðàñ÷åòà ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ â âîëíîâîäå, çàïîëíåííîì äèýëåêòðè÷åñêîé ñðåäîé.Ñ÷èòàåì, ÷òî âíå äèýëåêòðè÷åñêîãî òåëà çàïîëíåíèå âîëíîâîäàîäíîðîäíî è èçîòðîïíî.

Öåëüþ ÿâëÿåòñÿ ïîñòðîåíèå àëãîðèòìà äëÿîïðåäåëåíèÿ àìïëèòóä îòðàæåííûõ è ïðîøåäøèõ âîëí, ðàññåÿííûõãèðîòðîïíûì âêëþ÷åíèåì, ïðè ïàäåíèè íà íåãî ïðîèçâîëüíîé âîëíûíåçàïîëíåííîãî âîëíîâîäà.  êà÷åñòâå ñïîñîáà âîçáóæäåíèÿ âûáðàíàíîðìàëüíàÿ âîëíà áåñêîíå÷íî óäàëåííîãî ó÷àñòêà, ðàñïðîñòðàíÿþùàÿñÿèç −∞.

 òàêîé ïîñòàíîâêå çàäà÷à çàêëþ÷àåòñÿ â ðåøåíèè ñèñòåìûóðàâíåíèé Ìàêñâåëëà:·−→ →−¸→−∇ × H = −ik D ,·−→ →−¸−→∇ × E = ik B ,−→−→ −→(23)−→ãäå D = ε̂ E , B = µ̂ H , k = wc ( âðåìåííàÿ çàâèñèìîñòü âçÿòà â âèäåe−iwt ) ñ îäíîðîäíûì ãðàíè÷íûì óñëîâèåì íà ñòåíêå âîëíîâîäà:·→− ¸¯¯¯−→n 0, E ¯Σ S0= 0,→(−n 0 - íîðìàëü ê ΣS0 ), è óñëîâèÿìè ñîïðÿæåíèÿ íà ãðàíèöå äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîáêè, çàêëþ÷àþùèìèñÿ â òðåáîâàíèè íåïðåðûâíîñòèòàíãåíöèàëüíûõ ñîñòàâëÿþùèõ âåêòîðîâ íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãîè ìàãíèòíîãî ïîëåé, óñëîâèÿìè íà áåñêîíå÷íîñòè:−→E−→H−→E−→Hz→−∞z→+∞−→(1) E −m (M )=Rm e+ Aeihm0 z −→m=1H −m (M ) →−∞(2)  EPm (M )=Tm eihm z  →−m=1H m (M ),∞P(1)−ihm z12−→E m (M )−→ 0H m0 (M ),(24)½¾(1,2)−→→−ãäå E m (M ), H m (M ) eihm - íîðìàëüíûå âîëíû ïóñòîãî âîëíîâîäà, ñîîòâåòñòâóþùèå áåñêîíå÷íî óäàëåííûì ó÷àñòêàì âîëíîâîäà. Ýòóçàäà÷ó áóäåì íàçûâàòü çàäà÷åé (A) .Çàäà÷à (A) (ìåòîäîì Ãàëåðêèíàñâåäåíà ê çàäà÷å (B) äëÿ ïðèáëèæåí)→−N →−Níîãî ðåøåíèÿ H , E :−→NE t (M, t) =−→NH t (M, t) =d Ndz Am (z)=NPn=1NPn=1NP−→AN(z)E nt (M ),nEzN→− −̃H1 →= − ik  ∇, εtz−→BnN (z) H nt (M ),HzN =1ikN,−̃→N−→E  ∇, t  ,µzbnm BnN (z),n=1NPdNB(z)=anm ANmn (z),dzn=1NANm (0) + Bm (0) = 2Aδmm0 ,NANmm (d) − Bm (d) = 0,=∈ [1, N ],amn , bmn âû÷èñëÿþòñÿ ÷åðåçïî ïîïåðå÷íîìó ñå÷åíèþ âîë½ èíòåãðàëû−→ −→ ¾íîâîäà îò ôóíêöèé ïîëåé E nt , H mt .