Методы экстраполяции нерегулярных временных рядов

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТим. М.В. ЛОМОНОСОВАФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТНа правах рукописиКотляров Олег ЛеонидовичМетоды экстраполяции нерегулярных временных рядовСпециальность 01.04.02 – «Теоретическая физика»Авторефератдиссертация на соискание ученой степени кандидатафизико-математических наукМосква – 2006Работавыполненанафизическомфакультетегосударственного университета им. М.В. ЛомоносоваМосковскогоНаучный руководительдоктор физ.-мат. наук, профессор А.Ю.

ЛоскутовОфициальные оппоненты:доктор физ.-мат. наук, профессор Г.Э. Нормандоктор физ.-мат. наук, профессор А.И. ЧуличковВедущая организацияРоссийская экономическая академия им. Г.В. ПлехановаЗащита состоится «___» ________ 2006 года в _____ часов на заседаниидиссертационного совета К 501.001.17 физического факультета МГУим. М.В. Ломоносова по адресу 119992, Москва, МГУ, физический факультет,ауд. _________.С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультетаМГУ им. М.В. Ломоносова.Автореферат разослан «___» ________ 2006 года.Ученый секретарьдиссертационного советадоктор физ.-мат. наукП.А.

ПоляковОбщая характеристика работыАктуальность темыОценка результатов любого эксперимента базируется на обработкеполученных данных. В этих условиях обработка временных рядов с цельюизвлечения из них полезной информации становится одной из важнейших задачлюбого исследования. Но этим цели обработки временных рядов неограничиваются.

Достаточно часто определяющим является не только изучениесвойств системы, породившей временной ряд, но – иногда и в первую очередь –прогноз дальнейшей динамики временного ряда, т.е. его экстраполяция. Вметеорологии практический интерес представляет прогноз погоды наближайшее время. В геофизике задача, имеющая на сегодня наибольшуюобщественную значимость, – это предсказание землетрясений. Подобное задачипрогнозирования возникают при изучении солнечной активности вастрофизике, в финансовом анализе при прогнозе курсов акций, биржевыхиндексов, а также во многих других областях исследований и научныхдисциплинах.С другой стороны, стремление заглянуть в будущее возникло учеловечества очень давно, а вместе с ним возникли и различные способыпостижения будущего.

Однако область приложения методов и моделей,рассматриваемых в работе, далека от сфер приложения астрологии ихиромантии, а цели применения этих методов и моделей не столь глобальны.Основная задача, на которую они ориентированы, – исходя из имеющихсяданных в предположении неизменности характера динамики системы,построить прогноз поведения наблюдаемой.В основе большинства методов, связанных с обработкой временных рядов,лежит использование многомерного представления временного ряда в видематрицы задержек – набора копий временного ряда, взятых с определеннымилагами.

Новым результатом теории динамических систем явилось установлениефакта, что пространство задержек при соблюдении определенных условийможет рассматриваться как реконструкция фазового пространства нелинейнойдинамической системы, породившей временной ряд. Таким образом, быладоказана возможность описания динамики многомерной системы повременному ряду наблюдаемой. В свою очередь, возможность описания иреконструкции динамики системы при определенных условиях позволяетпрогнозировать ее дальнейшее поведение.В рамках теории динамических систем было разработано достаточно многометодов анализа и прогнозирования временных рядов.

В представленной1работе подробно рассмотрены два из них, отражающие два основных подхода кописанию динамики временных рядов: глобальный – метод сингулярногоспектрального анализа – и локальный – метод локальной аппроксимации.Метод сингулярного спектрального анализа позволяет сгладить исходный ряд,снизить уровень случайных возмущений, выявлять периодическиесоставляющие ряда и во многих случаях прогнозировать дальнейшее изменениеизучаемой временной зависимости. Преимущества локальной аппроксимациипроявляются в первую очередь при прогнозировании нерегулярных(хаотических и квазипериодических) стационарных временных рядов.На сегодняшний день существует несколько вариантов метода локальнойаппроксимации, которые различаются конкретным видом используемыхмоделей, способом прогнозирования на несколько шагов вперед иособенностями численных расчетов.

Также имеется несколько модификацийсингулярного спектрального анализа. Однако, в отличие от вариантов методалокальной аппроксимации, они различаются не столь принципиально идостаточно подробно рассмотрены в литературе.Таким образом, в первую очередь возникает задача систематизациисуществующих разновидностей метода локальной аппроксимации и выбора изних наиболее оптимальной в каждом конкретном случае.

Кроме того, приисследовании реальных систем, как правило, приходится иметь дело сзашумленными данными, что может затруднять использование методалокальной аппроксимации. Решение перечисленных задач, как представляется,должно способствовать расширению сферы применения рассматриваемыхметодов экстраполяции временных рядов.Цели диссертационной работы¾¾¾¾Разработка математической модели метода локальной аппроксимации,позволяющей выбирать оптимальный вариант метода исходя изхарактеристик исследуемого временного ряда.Анализ особенностей применения различных вариантов методов локальнойаппроксимации и сингулярного спектрального анализа.Исследование возможностей применения методов локальной аппроксимациии сингулярного спектрального анализа при обработке временных рядов саддитивным шумом.Разработка алгоритма выбора параметров локальной аппроксимации, нетребующего визуального контроля и принятия решения исследователем.2Научная новизна1.

Исследован,2.3.4.5.расширен и систематизирован набор вариантов методалокальной аппроксимации.Оценено качество прогнозов, получаемых различными вариантами методалокальной аппроксимации.Предложен способ выбора оптимального варианта метода локальнойаппроксимации.Разработан метод снижения влияния шума на результаты прогноза.Предложен критерий выбора параметров локальной аппроксимации.Научная и практическая ценность1. Предложен математический аппарат для аналитического исследованиярезультатов прогноза.2. Разработан программный комплекс, реализующий методы локальнойаппроксимации и сингулярного спектрального анализа, в том числе савтоматическим выбором параметров и контролем получаемых результатов.3. Выработаны рекомендации по численной реализации методов локальнойаппроксимации и сингулярного спектрального анализа для обработкивременных рядов.Защищаемые положения1.

Общая математическая модель метода локальной аппроксимации и ееследствия.2. Принцип предварительной SSA-фильтрации временного ряда дляэкстраполяции ряда по методу локальной аппроксимации.3. Способ автоматического выбора параметров локальной аппроксимации.ПубликацииОсновные результаты диссертационной работы изложены в восьмипубликациях, в том числе пяти рецензируемых, перечень которых приведен взаключительной части автореферата, и доложены на ряде научных семинаров, атакже на XI Всероссийской научной школе «Нелинейные волны – 2002»,Нижний Новгород, «The 2nd Shanghai International Symposium on NonlinearScience and Applications», 2005, Shanghai, China и «2nd International NonlinearScience Conference», 2006, Heraklion, Crete, Greece.3Содержание работыДиссертационная работа состоит из введения, 4 глав и заключения,включает 21 рисунок, список литературы из 114 наименований и одноприложение.Во Введении обосновывается актуальность темы работы, сформулированыцели работы, кратко охарактеризованы научная новизна и практическаяценность полученных результатов и разработанных методик.

Дана краткаяаннотация каждой главы диссертационной работы.Первая глава представляет собой основную часть литературного обзораработы. Здесь, в частности, проводится сравнение двух крайних подходов кописанию нерегулярности во временных рядах – описания в предположениинелинейного детерминированного поведения и линейного стохастическогоповедения. Эти два подхода рассматриваются наиболее часто из-за их ясногоматематического представления и наибольшего понимания и определяютграницы проявления свойств нелинейности и стохастичности. На практике этиподходы оказываются взаимодополняющими: реальный мир временных рядовсодержит все виды смесей нелинейности и стохастичности.

Многие реальныеисточники нерегулярных сигналов, например, земная атмосфера, какустановлено, являются принципиально нелинейными, но в некоторых случаяхих эволюция может в результате усреднения сводиться к величинам, хорошоаппроксимируемым моделями типа ARMA. Для выявления «нелинейности»могут применяться специальные статистические тесты, которые заключаются,как правило, в формулировке некоторой нулевой гипотезы для порождающегопроцесса, которая может быть принята либо отклонена исходя из оценоквыбранного нелинейного параметра.Первая глава включает в себя также краткое изложение базовыхпринципов, подходов и определений теории динамических систем, в рамкахкоторой рассматриваются теоретические основы обработки временных рядов.Почти все методы анализа временных рядов, стандартные линейные илинелинейные, работают только для стационарных рядов. Это связано с тем, чтолюбые изменения в динамике процесса во время измерений обычно сильнозатрудняют анализ результатов.

Тем самым вводятся определенныеограничения на обрабатываемые временные ряды. Для проверкистационарности ряд могут применяться специальные тесты на стационарность(нестационарность).Использование теоретически обоснованных подходов при обработкереальных временных рядов сталкивается с весьма серьезной проблемой. Дело в4том, что все теоретические результаты получены в предположениидостижимости сколь угодно малых масштабов длины.