КГД уравнения и алгоритмы их решения на неструктурированных сетках

На правах рукописиСЕРЁГИН Вадим ВалерьевичКГД УРАВНЕНИЯ И АЛГОРИТМЫ ИХ РЕШЕНИЯ НАНЕСТРУКТУРИРОВАННЫХ СЕТКАХСпециальность 05.13.18Математическое моделирование, численные методы и комплексы программАВТОРЕФЕРАТдиссертации на соискание ученой степеникандидата физико-математических наук.Москва2005Работа выполнена на кафедре математики физического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова.Научный руководитель:докторфизико-математическихнаук,профессор Т. Г. ЕлизароваОфициальные оппоненты:доктор физико-математических наук,профессор В.Ф. Тишкиндоктор физико-математических наук,Н.

В. АрделянВедущая организация:Институт теплофизики экстремальныхсостояний Российской Академии НаукЗащита диссертации состоится «___» _______________ 2005 г. в ____часов на заседании Диссертационного Совета К 501.001.17 приМосковском государственном университете имени М.В. Ломоносова поадресу:119992, Москва, Ленинские горы, МГУ, физический факультет, ауд.№______.С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физическогофакультета МГУ.Автореферат разослан «___» _______________ 2005 г.Ученый секретарьДиссертационного Совета К 501.001.17,доктор физико-математических наук_________________П.А. Поляков2Общая характеристика работыАктуальность.

Разработка новых подходов к численному решению задачгазовой динамики является актуальной проблемой. Успех решения задач газовойдинамики во многом зависит от качества используемых в расчетах сеток.Исследования газодинамических течений в областях с криволинейной границейоколо тел сложной формы требуют применения специальных сеточных разбиенийрасчетной области. В последнее время получили все большее распространениенеструктурированные сетки.

Такие сетки позволяют хорошо аппроксимироватьграницы области расчета и характерные особенности течений.Нетрадиционным подходом к построению алгоритмов расчета вязких теченийявляется использование квазигазодинамических (КГД) уравнений, которыеотличаются от уравнений Навье-Стокса дополнительными диссипативнымислагаемыми с малым параметром в качестве коэффициента1,2.

КГД уравнениярасширяют возможность классической модели Навье-Стокса в случае описаниятечений вязкого сжимаемого газа. В области применимости уравнений НавьеСтокса дополнительная диссипация, входящая в КГД уравнения, слабо влияет нарешение, но обеспечивает устойчивость численных алгоритмов.Цель работы состоит• в создании численного алгоритма расчета течений вязкого сжимаемого газа,основанных на КГД уравнениях, на неструктурированных (треугольных)сетках;• в написании комплекса программ, реализующий этот алгоритм;• в апробации программ на тестовых задачах и сравнении результатов симеющимися данными, полученными на основе системы уравнений Эйлера,Навье-Стокса и метода прямого моделирования Монте-Карло.Научная новизна.

На основе предложенных ранее подходов КГД уравненияпредставлены в виде локальных законов сохранения для немоноатомного газа, тоесть газа, обладающего внутренними степенями свободы. В этом случаевыделение диссипативных слагаемых типа Навье-Стокса приводит к построениюприближенной формулы для коэффициента объемной вязкости.Построены аппроксимации КГД уравнений на неструктурированных(треугольных) сетках для двумерных расчетных областей в цилиндрической идекартовой системах координат.

Разностные аппроксимации строятся в потоковойформе непосредственно для векторов плотности потока массы, теплового потокаи тензора вязких напряжений, что соответствует записи КГД уравнений в видезаконов сохранения. На основе предложенных аппроксимаций строятся явныеразностные схемы для решения нестационарных задач газовой динамики.Елизарова Т.Г., Четверушкин Б. Н.

// ЖВМ и МФ. 1985. Т. 25, №10. С. 1526.Шеретов Ю. В. Математическое моделирование течений жидкости и газа на основеквазигидродинамических и квазигазодинамических уравнений. Тверь, 2000.123Практическаяценность.Построенныйалгоритмрешенияквазигазодинамической системы уравнений реализован в виде программ,написанных на языке C# и снабжены комментариями.

Программный комплексимеет модульную структуру и допускает дальнейшее дополнение и развитие.На основе построенных алгоритмов проведено численное моделированиехарактерныхнестационарныхтечений,которыедемонстрируютработоспособность и точность построенного алгоритма.Проведено численное исследование задачи о возможности формированииударной структуры в атмосфере кометы Хуакутаке (Hyakutake).Апробацияобсуждались:работы.Основныерезультатыработыдокладывалисьи— на Международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальнымнаукам "Ломоносов-2004", секция "Физика", Физический факультет МГУ, 2004;— на II Международной конференции "Математические идеи П.Л.

Чебышева и ихприложение к современным проблемам естествознания", Обнинск, 2004;— на Международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальнымнаукам "Ломоносов-2005", секция "Физика", Физический факультет МГУ, 2005.(доклад признан лучшим в секции «физика»)— на научном семинаре в Институте теплофизики экстремальных состоянийРАН. Москва (14 июля, 2005 г).— на научном семинаре в Институте математического моделирования РАН (отдел№6).

Москва (23 августа, 2005 г).Работа выполнена при поддержке гранта Президента РФ №НШ-1918.2003.1 ипроекта РАН № 29.Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 6 работах.Список публикаций приведен в конце автореферата.Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав,заключения, списка литературы и приложений.

Текст изложен на 119 страницах,диссертация содержит 61 иллюстрацию. Список литературы включает 70наименований.4Содержание работыВо введении обоснована актуальность темы диссертации,характеристика работы и краткое изложение содержания по главам.даетсяВ первой главе КГД уравнения, полученные на основе кинетической модели,представлены в виде законов сохранения для немоноатомного газа.Дифференциальная форма законов сохранения в обычных обозначениях имеетвид:⎧ ∂ρ⎪ + div jm = 0,⎪ ∂t⎪ ∂ρ u+ div( jm ⊗ u) + ∇p = div Π ,⎨⎪ ∂t⎪ ∂E⎡j⎤+ div ⎢ m ( E + p ) ⎥ + div q = div ( Π u ) ,⎪⎣ρ⎦⎩ ∂t(1)где ρ , u , p , T - плотность, скорость и давление газа, E - полная энергия, jm вектор плотности потока массы, Π - тензор вязких напряжений, q - вектортеплового потока.

Конкретный вид потоков системы (1) определяется изсопоставления системы КГД уравнений, основанных на кинетической модели, исистемы КГД уравнений, записанной на основе законов сохранения (параграфы1.1 – 1.3). Получившийся результат имеет вид:jm = jNS −τ ( div( ρu⊗u) +∇p) ,Π=ΠNS +τu⊗⎡⎣ρ ( u⋅∇) u+∇p⎤⎦ +τI ⎡⎣( u⋅∇) p+γ pdivu⎤⎦ ,⎡⎛ 1 ⎞⎤q=qNS −τρu⎢( u⋅∇) ε + p( u⋅∇) ⎜ ⎟⎥.⎝ ρ ⎠⎦⎣Слагаемые с индексом NS соответствуют выражениям в системе уравненийНавье-Стокса. Выделение диссипативных слагаемых типа Навье-Стокса приводитк построению приближенной формулы для коэффициента второй (объемной)вязкости, входящей в тензор вязких напряжений Навье-Стокса Π NS (параграф 1.4).Эту формулу можно представить в виде:⎛5⎞ζ = µ ⎜ −γ ⎟,⎝3⎠здесь µ – динамическая вязкость, γ – показатель адиабаты.

Для одноатомного газаγ = 5 3 и ζ = 0 , в противном случае, при наличии колебательных и вращательныхстепеней свободы молекулы, γ < 5 3 и ζ > 0 .5Параметр τ характеризует масштаб временного сглаживания и может бытьвычислен по формуле τ = µ ( Sc ⋅ p ) , где µ - коэффициент динамическойвязкости, Sc - число Шмидта.В последнем параграфе этой главы для стационарного случая показано, чтоКГД добавки имеют порядок малости O(τ 2 ) .Во второй главе система КГД уравнений выписана в произвольнойортогональной системе координат, а также в декартовой и цилиндрическойсистемах координат, которые в дальнейшем используются для построенияразностных схем.Третья глава посвящена аппроксимации системы КГД уравнений натреугольной сетке, построению и тестированию алгоритма решенияполучившихся разностных уравнений.Сетка строится исходя из принципа триангуляции Делоне, а число ее узловвыбирается достаточным для обеспечения нужной точности решения.

Дляпостроения разностной схемы используется интегро-интерполяционный метод.Система КГД уравнений интегрируется по контрольной ячейке (см рис. 1).Контрольнаяячейкаограниченаконтуром,соединяющимцентрысоответствующих треугольников сетки. Центры треугольников выбираются какточки пересечения медиан. Газодинамические величины определяются в узлахсетки.Рис. 1. Сетка и контрольная ячейкаВ обобщенном виде получившуюся явную по времени разностную схемуможно записать в виде:∆tUˆ i = U i − ∑ ⎡⎣Wx ( Pk +1/ 2 )nx ( Pk +1/ 2 ) + Wy ( Pk +1/ 2 )n y ( Pk +1/ 2 ) ⎤⎦Lk ,S kздесь6(2)⎛⎞⎛ρ ⎞⎜ −j⎟⎜⎟m⎜⎟uρx ⎟, W = ⎜ Π − jm ⊗ u − pe ⎟ ,U=⎜⎜ ρu y ⎟⎜⎟E+ p ⎟⎜⎜⎟⎟⎜⎜ Π u − q − ρ jm ⎟⎝E ⎠⎝⎠Uˆ i - значение U i на следующем слое по времени, e - базисный вектор, L – контурячейки, по которой ведется интегрирование, Lk -отрезки, из который состоитконтур L, Pk +1/ 2 - серединный узел отрезка Lk, n = ( nx , ny ) - вектор нормали к контуруL, S- площадь области, ограниченной контуром L, ∆t - шаг по времени.Частные производные, входящие в разностную схему (2), определяются наоснове производных по направлению или с использованием формулы Грина(параграф 3.3).В параграфе 3.5 проведено тестирование алгоритма на задаче о распадесильного разрыва.

В параграфе 3.6 решается задача о точечном взрыве (см. рис.2). Обе задачи имеют автомодельное решение.1100011000rho1.341.281.211.151.091.020.960.900.830.770.710.650.580.520.46900080007000r6000500040003000100009000800070006000r100005000400030002000200010001000005000z01000005000z10000Рис. 2. Распределение плотности (слева) и картины течения (справа) для задачио точечном взрывеВ параграфе 3.7 рассматривается дозвуковове обтекание круговогоцилиндра. При маленьких числах Рейнольдса Re < 20 в следе за цилиндромобразуется стационарное течение (см. рис.

3). При Re > 20 наблюдается дорожкаКармана (см. рис. 4).7108y642005x1015Рис. 3. Распределение линий тока для числа Рейнольдса Re=10108y642005x1015Рис. 4. Распределение линий тока в автоколебательном процессе для числаРейнольдса Re=50В четвертой главе проведено исследование задачи о возможностиформировании ударной структуры в атмосфере кометы Хуакутаке (Hyakutake).Комета рассматривается как двухядерное образование (см.

рис. 5).8Рис. 5. Постановка задачи и область расчетаМоделирование газодинамического течения в атмосфере кометы, состоящей изводяного пара, представляет собой сложную задачу, основными аспектамикоторой являются значительный перепад плотности частиц и их температуры вблизи ядра плотность окружающего газа составляет 3.3 10-7 кг/м3, температураоколо 200 градусов Кельвина, на расстоянии около 2 000 км - соответственно, 1.410-13 кг/м3 и при температуре около 5 градусов Кельвина. Число Маха варьируетсяот 1 вблизи поверхности ядра до 50 вдали от ядра.Рассматривается течение, образующееся в окрестности двух ядер кометы(рис.5).