Отзыв оппонента 3 (Точные космологические решения в теориях гравитации со скалярными полями и нелокальными взаимодействиями)

ОТЗЫВ официального оппонента о диссертации Вернона Сергея Юрьевича на тему; «Точные космологические решения в теориях гравитации со скалярными полями и нелокальными взаимодействиями», представленной на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.04.02 — теоретическая физика За последние десятилетия наука об эволюции Вселенной — космология — получила мощный импульс, в первую очередь, благодаря появлению новых, более точных, наблюдательных данных.

Эти данные свидетельствуют, что во-первых, в настоящее время Вселенная претерпевает стадию ускоренного расширения, и во-вторых, что горячей стадии развития Вселенной — эпохе Большого взрыва — должна была предшествовать стадия (наиболее вероятно, инфляционная), решающая проблемы Большого взрыва. Оба этих факта говорят о том, что космологическая модель, основанная на общей теории относительности Эйнштейна (ОТО) и включающая материю с «обычным» уравнением состояния, должна быть расширена либо путем добавления новых материальных полей, либо путем модификации теории гравитации, либо за счет использования ооеих этих возможностей.

С другой стороны, до снх пор не построена удовлетворительная теория квантовой гравитации. Существует надежда, что теория струн позволит решить эту последнюю проблему. Однако неясно, как из действия теории струн получается низкоэнергетическое действие, описывающее поля Стандартной модели и гравитацию. Тем не менее не вызывает сомнения тот факт, что струнная теория должна приводить к нелокальным поправкам к действию ГильбертаЭйнштейна и к появлению новьи, в первую очередь, скалярных полей с необычными свойствами.

Такая модификация могла бы помочь решению проблем космологии, но, как уже отмечалось, неизвестно, каким именно образом струнная теория модифицирует низкоэнергетическое действие известных полей. Указать путь решения этой проблемы может помочь так называемые "довп-гор' подход, т.е. можно попытаться по известным космологическим решениям, в той или иной мере хорошо описывающим наблюдаемую эволкщию Вселенной, восстановить низкоэнергетичес кое модифицированное действие. Этому вопросу и связанным с ним проблемам посвящена диссертация С.Ю. Вернона.

Без сомнения, выбранная тема является актуальной, так как результаты, полученные в диссертации, могут указать путь к построению теории квантовой гравитации и объединению взаимодействий. Диссертация состоит из введения, шести глав„заключения, трех приложений и списка литературы. Во введении дан краткий обзор современного состояния проблемы, обосновывается ее актуальность, сформулирована цель исследования. Также во введении перечислены используемые методы и подходы, описана структура диссертации и дано краткое содержание ей глав. В первой главе исследован класс космологических моделей с одним нелокальным скалярным полем, минимально взаимодействующим с гравитацией.

Рассмотрение такого поля мотивированно теорией открытых струн, Показано, что при определенных условиях (квадратичный потенциал поля) такие модели порождают множество локальных моделей со скалярными и фантомными скалярными полями. При этом решения полученных локальных моделей являются частными решениями исходной нелокальной системы. Таким образом, найден метод поиска решений нелокальных уравнений путем анализа локальных космологических моделей. Этот метод обобщен на модели ф5) гравитации. Кроме того, в случае произвольного потенциала предложен метод поиска точных решений нелокальных уравнений.

Точные решения были найдены для степенного (в том числе мотивированного теорией струн кубического), экспоненциального н логарифмического потенциалов. Показано, что за счет добавления вспомогательного скалярного поля можно получить точное решение всех уравнений Эйнштейна. Во второй главе рассматривается модель нелокальной гравитации, мотивированной теорией струн, действие которой включает в себя аналитическую функцию оператора Даламбера. Найдено точное решение уравнений движения.

не требующее введения материи с уравнением состояния излучения. Кроме того, показано, что используемый подход позволяет связать рассматриваемую модель с моделью Я гравитации. Третьи глава посвящена изучению моделей пело кальной модифицированной гравитации, действие которой включает функцию от обратного оператора Даламбера, действующего на скаляр кривизны. Развит метод реконструкции, позволяющий по заданному поведению параметра Хаббла восстановить эту функцию.

Для наиболее важных космологических решений показано, что простейшей такой функцией является экспонента. Рассматривая этот случай и включая в модель идеальную космологическую жидкость и космологическую постоянную, автор нашйл все решения типа решений де Ситтера н проанализировал их стабильность относительно малых, зависящих только от времени, возмущений в изотропной метрике Фридмана-Леметра-Робертсона-Уокера и анизотропной метрике Бьянки 1.

Это позволило получить достаточные условия стабильности полученных решений. В четвертой главе исследованы модели с двумя скалярными полями, одно из которых является фантомным, минимально взаимодействующими с гравитацией. Рассмотрение таких моделей мотивировано теорией струн. При этом форма потенциала взаимодействия палей считается заданной: потенциал представляет собой четный полипом шестой степени, переходящий в пределе плоского пространства-времени в потенциал типа Хиггса. Для окончательной фиксации вида потенциала пспользуется "дожи-гор'* подход: потенциал должен приводить к уравнениям движения, допускакнпим наличие точных частных решений с требуемыми асимптотическими свойствами.

С этой целью в диссертации развит метод суперпотенциала, ключевой особенностью которого является то, что параметр Хаббла рассматривается как функция скалярного поля, а не времени. Это позволяет восстановить потенциал без априорно заданной зависимости параметра Хаббла от времени. Благодаря развитому методу построены космологические модели ('как в случае двух полей, так и в случае, когда обычное поле равно нулю), допускающие семейство точных решений. Проанализирована устойчивость этих решений относительно малых возмущений, зависящих только от времени.

В питой главе изучены модели скалярного поля с неминимальной связью с гравитацией. С помощью метода суперпотенциала были получены потенциалы скалярного поля, приводящие к решениям типа де Ситтера, в том числе немоното иным, но асимптотически стремящимся к решению де Ситтера, а также с параметром Хаббла, обратно пропорциональным времени. Большинство таких потенциалов при определенных условиях являются полиномами. В диссертации изучены модели индуцированной гравитации с потенциалами скалярного поля, являющимися полиномамн шестой степени. Показано, что таким моделям присущи решения, стремящиеся к неподвижным стабильным точкам.

Исследованы условия стабильности таких решений относительно малых возмущений, зависящих только от времени. В частности, найдены условия, при которых решения с немо потопным параметром Хаббла, стремящимся к неподвижной точке, являются аттракторами. Кроме того, получено соответствие между интегрируемыми космологическими моделями с минимально и неминимально связанными скалярными полями.

Получены явные формы потенциалов скалярного поля для целого ряда интегрируемых моделей, Ддя модели индуцированной гравитации со степенным потенциалом скалярного поля, являющейся интегрируемой, получено точное общее решение. Шестая глава посвящена развитию методов поиска решений неинтегрируемых систем. В частности, развит метод построения эллиптических частных решений неинтегрируемых систем с помощью анализа Пенлеве и поиска решений в виде рядов Лорана.

Благодаря этому методу в двух неинтегрируемых случаях обобщйнной системы ХенонаХейлеса найдены трйхпараметрические решения в виде сходящихся рядов Лорана и новое точное двухпараметрическое семейство решений, представляющих собой эллиптические функции четвертого порядка. Также получено волновое эллиптическое решение уравнения Гинзбурга-Ландау пятой степени и найдены условия на параметры, необходимые для существования эллиптических решений.

Для уравнения Гинзбурга-Ландау третьей степени доказано отсутствие эллиптических решений в виде стоячих волн. Кроме того, развитый метод был автоматизирован и обобщен на многозначные решения, разложимые в ряд Пюизе. В заключении автор формулирует основные результаты, выносимые на защиту. В приложениях приведены основные обозначения, перечислены свойства эллиптических функций н дано описание пакета процедур, используемых для получения частных эллиптических решений неинтегрируемых систем.

Достоверность результатов и выводов автора обеспечена корректностью построения математических моделей, самосогласованностью и согласием полученных автором результатов с известными результатами других исследователей. Результаты С.Ю.Вернона имеют несомненную новизну н научно-практическую ценность. Полученные результаты и развитые методы и подходы могут быть использованы при построении и анализе космологических моделей и сравнении их с наблюдательными данными. Они могут найти применение в исследованиях по космологии и гравитации, а также в других областях математической и теоретической физики. Материалы диссертации полностью изложены в 35 опубликованных научных работах автора, 23 из которых опубликованы в ведущих реферируемых журналах, рекомендованных ВАК.