Отзыв оппонента (Оптимальное восстановление решения задачи Дирихле по неточным данным)

ОТЗЫВ ОФИЦИАЛЬНОГО ОППОНЕНТА ГОЛЬДМАНА МИКАИЛА ЛЬВОВИЧА о диссертации Абрамовой Елены Владимировны «Оптимальное восстановление решения задачи Дирихле по неточным данным» на соискание у~с~ой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02- «дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управлениев Диссертация Е. В. Абрамовой посвящена проблеме оптимального восстановления решения задачи Дирихле на прямой в верхней полуплоскости по приближенным измерениям этого решения на других параллельных прямых и по неточно заданным граничным данным. Проблема оптимального восстановления функций, операторов и функционалов, решений дифференциальных уравнений по неполной и / или неточной информации об обьекте является весьма актуальной с точки зрения развития общей теории оптимизации, а также ее приложений в различных областях анализа, теории приближений и теории дифференциальных уравнений.

Более широко, решение подобных задач лежит в основе разнообразных применений математических методов в инженерных науках, информатике, численных расчетах и т.д. Постановке задач и развитию методов оптимального восстановления были посвящены исследования ряда ведущих специалистов в области математического анализа, дифференциальных уравнений, теории вероятностей и их приложений. Постановка проблемы оптимального восстановления берет начало с работ А. Н.. Колмогорова о наилучших методах приближения, исследований С. М. Никольского оптимальных квадратурных формул. К ним тесно примыкают исследования по методам регуляризации, проводимые представителями школ, созданных А.

Н. Тихоновым, В. К. Ивановым, работы по оптимальным методам С. А. Смоляка и др. Диссертация Е. В. Абрамовой находится в русле актуальных современных исследований по методам оптимизации, предпринимаемых школой В. М. Тихомирова и, в первую очередь, работ по проблемам оптимального восстановления Г. Г. Магарил — Ильяева, К. Ю. Осипенко и их учеников.

Таким образом, тема диссертации Е. В. Абрамовой актуальна и в теоретическом плане и с точки зрения дальнейших приложений. Диссертация Е В. Абрамовой состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, содержащего 63 наименования. Обгций объем работы составляет 87 стр. Введение содержит подробный обзор известных результатов и методов теории, связанных с темой работы. В нем дан обстоятельный и полезный анализ достижений теории и важных проблем ее развития, обоснована актуальность поставленных в диссертации задач.

Сформулированы основные результаты диссертации. Глава 1 посвящена вопросам оптимального восстановления решения задачи Дирихле для оператора Лапласа в верхней полуплоскости на прямой, параллельной оси абсцисс по неточной информации о решении на двух других параллельных прямых, находящихся по разные стороны от данной прямой. Для заданных погрешностей в средней квадратичной норме находится оптимальная погрешность восстановления и строится оптимальный метод восстановления с помощью взвешенного среднего преобразований Фурье известных приближенных решений. Эта нетривиальная конструкция основана на общем методе оптимального восстановления, развитого в работах Г.

Г. Магарил — Ильяева, К. Ю. Осипенко и их учеников. В главе 2 рассмотрена более общая задача о восстановлении решения на прямой по неточной информации о приближенных решениях на конечном наборе прямых, параллельных данной. Установлено, что решение такой задачи определяется результатами отсчетов на двух ближайших прямых к данной. Оптимальный метод восстановления линеен и сглаживает наблюдения. В итоге, задача сводится к той, которая была решена в главе 1. Третья глава посвящена проблеме наилучшего восстановления решения задачи Дирихле в квадратичной норме, если известно, что граничная функция принадлежит соболевскому пространству и известно приближенное значение ее преобразования Фурье в равномерной метрике на конечном отрезке, симметричном относительно нуля.

Здесь также найдена оптимальная погрешность восстановления и построен метод оптимального восстановления. Отмечено, что при определенных соотношениях для погрешностей оптимальный алгоритм использует информацию о преобразовании Фурье решения лишь на части отрезка. Аналогичная задача рассмотрена в 4 главе, где погрешность приближенного решения измеряется в квадратичной норме.

В ней рассмотрена задача о наилуч1пем восстановлении решения задачи Дирихле по точно или приближенно известному значению преобразования Фурье граничной функции в средне квадратичной метрике на конечном отрезке. Здесь также найдена оптимальная погрешность восстановления и предложен линейный оптимальный алгоритм восстановления. Оценивая диссертацию Е. В. Абрамовой в целом, отметим, что она представляет собой законченное научное исследование, выполненное на высоком уровне. Решения всех поставленных задач снабжены полными, математически корректными обоснованиями.

Незначительные неточности и опечатки в тексте легко устраняются и не затрудняют его понимание. Постановки задач новые, интересные и соответствуют тем, которые возникают в различных вопросах теории обработки сигналов. Считаю, что решенные в диссертации Е. В. Абрамовой задачи найдут полезные применения в этой теории. Предложенные в диссертации алгоритмы оптимального восстановления достаточно прозрачны и могут быть использованы специалистами при решении конкретных задач восстановления.

При чтении работы возникает одно замечание общего характера. Стремление к получению абсолютно точных оптимальных погрешностей удается реализовать лишь при специальном выборе норм, в которых измеряются эти погрешности: это средне-квадратичные или равномерные отклонения в исходных переменных или в преобразованиях Фурье. Это несколько сужает класс задач, для которых применимы полученные результаты. Автору можно пожелать расширить классы задач в дальнейших исследованиях за счет более общих постановок.

Например, представляют теоретический и практический интерес задачи оптимального восстановления в случае весовых норм при различных условиях на вес. Кстати, весовые оценки отклонений в преобразованиях Фурье могут хорошо согласовываться с классами Соболева, которым принадлежат граничные функции. Если при более общих постановках методы восстановления будут пусть не оптимальные, но близкие к ним, это позволит получать с их помощью новые полезные приложения в теории приближений и теории обработки сигналов.

Это замечание носит характер пожелания для дальнейших исследований и не умаляет высокой общей оценки научного уровня диссертации Е. В. Абрамовой. Диссертация написана ясным языком, все ее положения четко изложены, все новые результаты подробно обоснованы. Они представляют собой новые достоверные факты теории оптимального восстановления.

Общие положения подкреплены интересными примерами их применения. Автореферат правильно отражает основные результаты диссертации. Они своевременно опубликованы в 3 работах автора в изданиях, рекомендованных ВАК, и 2 материалах конференций. Все работы выполнены автором лично. По теме диссертации Е. В. Абрамова неоднократно выступала на различных научных конференциях и семинарах. На.основании изложенного считаю, что диссертация «Оптимальное восстановление решения задачи Дирихле по неточным данным» удовлетворяет всем требованиям ВАК к кандидатским диссертациям по специальности 0 1 .01.02, а ее автор, Абрамова Елена Владимировна, заслуживает присуждения ей искомой степени. Доктор физико- математических наук, профессор ГОЛЬДМАН М.

Л Личную подпись проф, Гольдмана М. Л. заверяю. Ученый секретарь Ученого Совета РУДН, проф. С .