26 (Ряды (Кузнецов Л.А.)), страница 2
Описание файла
PDF-файл из архива "Ряды (Кузнецов Л.А.)", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "остальное", в предмете "кузнецов (высшая математика)" в общих файлах.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 2 страницы из PDF
2 ~2' -( — -)!о(! - — „),при — „! <1<=>! х )> ~2 и не существует х 1х! при всех осттзз|ьных х. Г х 2 1 2 „' . (- --)1п(1 — — ) ! х !> ъ~'2 Ответ: ,') — ---(-,-)' = ( 2 х Он — 1 х' ~,! х !<Я 16 3адлча 13 ! 1айти сумму ряда: (и+ 3)х" ' Разложим этот ряд на сумму двух более простых рядов: (и+3)х" ' = ~>,(п+6)х" = ~~,пх" -б~ х' !зайдем А(х) = ~~~ пх" .
Заметим, что А(х) есть производная от функиии В(х) = ~ х', умноженная иа х: В'(х) = ~~,пх' Л(х) = х В'(х) Сумма ряда В(х) есть сумма убывающей геометрической х прогрессии и поэтому равна В(х) = -, при условии, что 1 — х !х!ч!. Тогда производная от В(х) такова: х'(1- х) — х(1 — х)' 1 — х+ х 1 В'1х) —— (1 — х) (1 — х)" (1" х) х Тогда А(х) =- х В'(х) = х,. = — — „-при !хвс1 и ие (1 — х)' (! — х)" суиествует ррй ! х ~>1: У (и+3)х" ' = ~~1,пх" +б~,х" = 1 х ч- б(1 — х) б — 5х — "'„+ 6 (1 — х) 1- х (1 — х) (1 — х) ' б — 5х ;,! х !<! Ответ: ~ (и+ 3)х" ' — -((1 — х) 3 ' сс,' х !? 1 Задача 14 Разложи >ь функцию в ряд 1 сйлора по стез!елям х.' 6- х-х' Чтобы решить зту задачу, следует воспользоваться табличными разложениями в степенные ряды.
Приведем функцию к виду. удобном> для разложения: 6 — х — х' 6 х +х 1 6 1 Воспользуемся ! абличным разложением для —: ! — х , й О 5 1 5 "'х'+х' 5 5 '!х +х> — —:-== Х~ — ' —,'! =--- Х~' 6 х' х 6,,-„~ 6 > 6 6 ..,.! 6 1- -'- 6 Ряд, полученный камы, еше не является рядом '!'ейлора по >оленям, х. С.'ледуез воспользоваться табличными разложениями еще раз, Для агой преобразуем функцию слсдутотц>зя> образом: '5', '5 '-" х' ~-х! 5 5 ' ! — — — — — '!х - х) 6:,6, ', б,! 6 6 „>,б" Воспользусх>ся ! абли'>ным раз>южением для (а ьЬ) 5 5 .
1, "» 5 5 ': '-' ° С(,х ~х' Х вЂ” ~'' х~"= .— Х1--"--„— = 6 6 „,6'' 6 6 „(~.я 6" 5 5,-"- ~- С ", х "' 6 6 „,„, 6" Положим (и . Е + и. Т.к. 1,пн 1г(, то О < к < пз, О < и < пь Из определения 1 следует, что ~( < и. Теперь найдем все возможные комбинации 1 н и, чтобы тп =- 1с -(- и, где п(- произвольное фиксированное число, пзнХ, Т.к. Е < и, то 1(<~пь(2), т.е. К„,„:--~Ы2).
'Гогда: 5 5 " ' Сх"'~ 5 5 йх)= — +-,> ~~( -"'- — =--т (-- .~> С„,х'" :-( (=я 6 6 6 1=( 5 6 .ю ~(~;~ + -'~1 ~ -" —; — С,, 1х" 6„, ((~,;, 6"' ' 6-,'-х — х- 6 6„,, „6'" ' Найдем коэффициент перед х"'; так как и( раскладывается 1 на сумму и и 1с несколькими способами, то С„,= ~~ — С,',, нссо 6 где суммирование ведется по всем допустимым парам ~п,1с). Выразим индексы и и 1 через гп: п = гп — 1с Итого; Зада га 15 Вь чнслшть интеграл с точностью ло 0,001: О5 1= ) — —: —...
с1х а ъ1+х' Разложим подьштегральное выражение в ряд Тейлора по х: )-,=- —.=4х =- )11- 2 ( — 1)»---П! — + и! х'" Мх а 4!+ х',.ь:-: и'»; о1.3 Так как интеграл суммы раасн сумме интегралов, то возьмем приведенный выше интеграл почленно. Результат будет выглядеть следующим образом; „1»- Г! 3 ь,3 11+ ~~> ( — 1)" — Щ - + п~ ~ х ь' ~дх =- к, „п~...о~3 /' »-~ г! -!х.Х1-1) --, П1.; ~ .х — 1~ = и! „»...~3, !Зп,»1)3! :» ! 1)»»-! 2 ~н 2 и'. „,1,3 ! 2" (3п ~1) : У нас получился знаконсременный ряд. Чтобы вычислить интеграл с заданной точностью, досгаточпо найти сумму »гого ряда до члена. по модулю меньшего, чем 0,001.
! аким об!згсзом. нам нужно найти Х, удовлстворягонпсе следуюн!ему неранено гву: .