26 (509772)
Текст из файла
11айти сумму ряда "=' и — и — 2 11роизведем эквивалентные преобразования ряда: 2 '1'ак как и -и-2 = (и-2)!и+1), то получаем, что исходный ряд мы можсм переписать в следующем виде: !8 !! ""и' — и-2 ""'(и 1)1и — 2) !и+! и — 2 1 1 1 1 - 1 1 1 — — — !8- ! — — -)= 3 и — 2 и+11' "" 3 и — 2 п+1 1 1 .:- 1 «1 —.б~' < — — — -)=б!, '', "=* п — 2 и+1 ""'и — 2 ""'п~! 1 Рассмотрим ряп ~ "'и — 2 11роизведсж,замену ~и-2 = Е), инда суммирование будет 1 1 производиться от Е -'= и-2 -- (и=3 ! = 3 — 2 =!., н — — .-- — .
и — 2 ! Дозтетаиим полученные значения в ряд~> " 'и — 2 1,: 1 11ропзведсм аналогичные преобразования и с рядом Х„., 1 - . !'огда для него замена (и+1=!с(: " 'л-;1 1 начальное ь =- п+1 =,' и =3 (::- 3+1=4, а и+! 1 Подставим данные в,Г '=' и+! Хп-.з ! Х~=.
! Итак, мы получили, что исходный ряд равен разности двух рядов: ,'Г', --= У' у 18 ~-. 1 ту 1 -- =6(У вЂ” -У' "'и — и — 2 1 ! 1 ° . 1 11 =6((1+- .- 1-Х 1-,У...-) =-6 — =11 !8 Ответ: ~~ь, .; — - — — =11 " 'и — и-2 Задача 2 Исследовать ряд на сходимосттс 2+ соя п (и — 1)' 2+ сояп Обозначим а„= (и' -1)' Для всех и верно следулокдсе утверхклеии: а„» —, .
- —,так как2+соьп >1 для всех и. 1 1 1 (и" — и)" (и ) и 1 Ряд у — является расходяшимся по признаку ~ ='п %-Ж 1 сравнения: (говоряшему, что ряд вида т — сходится а=! только прн условии, что а строко больше 1, т.е. а>1 и 1 расходится в ккроткквном слу кае, при а < 1) ряд ~ ' П расходится, так как ~а(зукпается условие схолимости. 2+ сояп Поотому и исходный ряд з — ' ... также расходится, ~,1м ( .~ 1)~ 4 1 так как.'сто сумма заведомо больше суммы ряда ~ "1и Оувст; ряд 2 1засходится. 2 ь сояп "'-'(и" — 1)' " За га га 3 ИсследОва1ь )эяд на сходимосгь: Зт7п „.,5' ~-и Обозначим а„= 3+ 7п 5" +и !Оп !Оп 10 2" 2 „ а„« — - — -- <-- — ". =-10(-)" 5" ~ и 5' 5" 5 Х' =;" 2 1--)" есэь сумма бесконечной убывающей э еоме э ри чес кой прогрессии.
Сумма бесконечной тбьэваэошей геометрической Ь, = — ' —, а в данном 1 — ц прогрессии !ээ!вна э (1э,с)") — !! о !<)э 2,, 2.'5 3 слячас'.- э ( ) ''5 1 — 275 2 <'-: ° 3 э 7п ' .Тогда исходный ряд э — — - тоже сходится. — '3 7П Отээеп ряд,э — — сходится. Фэ Докажем сходимость ряда 10~ ( )" . Тогда из его %-~Ю 2 ""' 5 сходимосэи будет следовать сходимость исходного ряда, так как согда он будет ограничен сходящимся рядом сверху и нулем снизу (вес члены ряда неотрицательны).
Зада ьа 4 Исследовать ряд на сходимость: 2п! /2" +3 2п! Обозначим а„=...- Д:,'3 2п! 2п! !.2 3 4" п аг ~2" +3 2"" 2.2 2.2" 2 Рял расходится, так как нарушается необходимое условие сходимости ряда: а„должно стремится к нулю при и — + ~ . 2п! Ответ: ~~ —,... расходится. .=~ ъ'2" +3 )адана 5 Исследова ~ ь ряд иа сходимос гь: и"' ... (2п ь1)"' Воспользуемся признаком Коши: Если 1пп" Ь~ <1, зо ряд ~~~ а„- сходится. \ Если )пп а„> 1, то ряд З а„- расходится. пФп 1 )цпп)а — 11пз — к 1 1зп +1)" Д Таким образом, по признаку Коши исходный ряд является сходящимся. Ответ: З - — ", —;-; сходится.
„).(2п' -1)'"' .'1адача 6 11сслсдоваз ь рял иа сходимостьч п , . (и ' + 5) !п л Воспользуемся предсльнмм признаком сходнмости. 1:ели два ряда ) а„и ~ 6„удовлетворяют условикк ю-~ д„ 1(п> —" = Л, где Л вЂ” конечное число, не равное О, то ряды Ь„ а и > Ь, сходятся иля расходятся одновременно.
и лч 1'ассмотрим следук>щий ряд: а 1пп —" =1 —. ~то конечное число, не равное О (>, Значит, ряды ~ а„и ~ (> „сходятся или расходятся одновременно. 'Для исследования сходимости второго ряда воспользуемся :-ЮЙтсгральнмм п1>нзнаком сходимости рядов. Если некоторая функция ((х) удовлетворяет условию )'(и) =- Ь„, то если ~('(х)с1х сходится, то и ряд 2 1 сходится, а если ~('(х)с(х расходится„то и ряд ~~ Ь„ 2 расходится. Рассмотрим следуюшую функцию: 1 !'(х) =: —— х1пх Если ~Г(х)дх сходится, та и ряд,"» Ь„сходится, если О 2 интеграл расходится, то и ряд «» Ь„расходится.
дх 'гд1п х — — — = ! — = 1п'!пх:; ~ =со „х!пх .. 1пх Интеграл расходится, значит и ряд «» Ь, расходится. Из д~ Э этого следует, что исходный ряд тоже расходится. и Ответ: ~ —; — - — — расходится. „,(и +5)!пп З!!»»и !а 7 1)сс!!е»»опять ряд нв сходимость< ~~! ( - 1) '!п 2п % . ) Л рассмотрим ряд 2 я!п"— 2п и л . к Так как О « — —, то в|п--- > О 2п 2 2п Воспользуемся признаком Коши: Если 1пп " 'а„< 1, то ряд ) а, - сходится. Если 1!»и!1)а, >1,то ряд ~а„- расходится.
п Найдем 1ип ",'а„: к 1!»и."„~а „вЂ” - 1»!ъз!и' ' - = О <1 2п %, л Значи»,- рял ~ я!и' — сходится, а следовательно ряд 2п Х 6 т,— 1) а»п ' — сходится, причем абсолютно. ~'-3 "' и з и О!всг: ряд ~1-1)' а1п" -- схолнтся. 2п Запинка 8 Вычисли гь сумму ряда с точностью се (-1)' — — (х = 0,001 „, (и 1)" Обозначим и-ный член ряда, как а„: Чтобы вычислить сумму ряда с заданной точностью, следует принять во внимание то, что члены ряда с ростом и мо!ихтонно убыва!от. Тогда нам требуется найти сумму ряда до )Ч-го члена, где )ч' таково„что для любых п>гя выполняется неравенство !а„,'.йс Найдем )х): !а,~ =0,5 > а ~а,~ = 0,1 1 1 1 > а 1а,!= 0,015б > гх ~~а,1=- 0,0016"» и !а.,! = 0,00013 < а -о Я =5 Найдем сумму ряда до 5-! о члена: ,х а, = -0,403 Отвег: х — - - - — - — 0,403 л 0,001 ( — 1)" (и -'!)' За!сача 9 Нг!Йти Ооласть схолнмос'и! ряда.
й' Х (3 1)'4 в-"! 1 Обозначим а„=-(3+ — )" 4 ", а искомую область п сходимости ряда — Х, 1 Прн п -+ со: (1+ — )" = (1г = Зп) =- (1 + - -) ' -+ с Зп Необходимым условием сходимости ряда является стремление к нулю а„при стремлении и к бесконечности: 1 „— „1 а,, = (3-' — )" 4 " = ((1 ч - )"')"'.3" .4 " -+ с"е ' Устремим а„к бесконечное ги: ! с' 3'4 ' =е '(3 4 ')' >О=Ф Исходя 'нз этого„найдем область схолимосзи: п 11рн л -> ьс: ( — — — > ао) сэ (х» 0) х , .
)'(случаем, что область схолнмости Х = 1х» О) О!лег: облг!сзь схолимости Х = (х =» 01. Задана 10 Най ги Ооласть сходимости ряда: ('-!)" ~> " ----- — — --(х+ 2)' "" (4п — !)2" Приведем этот ряд к степенному: 4 ,У (х+2)" =,),а„(х+2)", " '(4п — 1)2' (-1)' Где а„= (4п — 1)2" Используем формулу для нахождения радиуса сходимости, основанную на применснии признака Коши: 1 . 11(4п — 1)2" ! К =:1пп —,.—., = !1тп:!' — - — —; = 2 ' " .фа„~ ™ '11 ( — 1)' '1'аким образом, интервал сходимости ряда буде г выглядеть следукэптнм образом: -- 2 «х ~ 2 '< 2 .=> х н (-4;О) Отвез; область сходимости Х = (х е (-4;0)) Задача 11 Найти Ооласт!» скопи»»»ости ряда 1 =1!о х)' " 'п3' ' Приведем этот ряд к стеленному, т.е, к виду; Ъ, а,,.т~ „ з-а» где а, не зависит от х и является постоянной величиной, 1 Положим а„=- — —,,;, тонна исхолиь~Й рял ь~ожно п ' переписать в виде: 1 ,—,—,—,~!~х)" = У,а„(!ох)" и Теперь нам требуется найти 1йп "~', а, ! =- 1: Н вЂ” — 1 ..
1 1 1 1 1ип '/', а „1 = 1пп», ', — —, ! =- 1пп — =- —. " "1 п3" " '-'-3 ~/и' ь'3 11пз" (!/и) Воспользуемся следующим равенством 11п! "ча1С+ Ь'=1 . где а и 1~ постоянные числа, а>О. — ! !пп ",/!»з» ! =- 1" Рахим образом, по теореме Коп1и-Адамара. облас гь 1 схолимости Х = (! 1фх ~~ 1. Решим неравенство, чтобы в явном виде записать область сходиыости: 1~ух <Д, $ях.'« ~~3 =.~ ~ ~фх > — Д и х е ~ — --+ яп,+ — + хп),п е Х 3 3 Ответ: область сходимости Х = ~-.
— + яп,+ — + ьтп), и с-: тч . 3 3 Найти сумму ряда: 1 2 Оп + 1 х4 Произведем ~амену переменной: 1, 1 . 1,.„! ". 1 А!.у)=) — у =-К вЂ” -у' =-Х ~=о +! °, к=о~ +! 1 Найдем сумму ряда ~~ — у 1!~ Рассмотрим ироизводную ~~ -- у !Сумма убывающей геометрической иро~ рессии) Произйедем обратные преобразования для нахождения т - 1 суймй ряда 7 — у, то есть возьмем интеграл: 1 — — оу = — 1п!1 — у) ~-С 1! — у) Чтобы найти константу С„найдем знансннс ряда в некоторой фиксированной го ~ке у, возьмем у =- О, тонна: - о'=о= ! (1--о) сзхс —..о Е-~ й 1 2 Гак им образом, сумма ряда ~~) — ( — „)" есть "' и+! х' х' .
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
