Диссертация (Преобразователи амплитудно-фазового распределения полей на многомодовом диэлектрическом волноводе для радиоинтерферометрической диагностики объектов), страница 20

Поскольку поля зависят от поперечной координаты X,примем во внимание только EYin и H Xin , у которых эта зависимость одинакова.Для направляемых волн (явление полного внутреннего отражения)коэффициент отражения равен (см. рис. П1.1) R  e j . Из граничных условийEzin  Ezout 1 и H xin  H xout следует: 1  e j  gU   jTypy 1  e j    jT 1  e j   T  .p yUgy(П1.4)(П1.5)p yUРазделив соотношение (П1.4) на второе (П1.5) получим tg   . 2  g yИз условия периодичности решения следует, что на полном проходе отточки y  b к точке y  b а затем снова к точке y  b набег фазы парциальнойволны должен быть кратен 2 , т.е.

2  g y 4b  2k  или   k   g y 2b .p yUОтсюда дисперсионное уравнение запишется в виде tg  k  g yb  . 2 g yg y tgЭто уравнение можно записать в привычной форме p y  g b  . ТакимU -ctg yобразом, дисперсионные уравнения имеют вид:gˆ y tgpˆ y  gˆ  ,U -ctg y2b 22gˆ y  pˆ y    U  1   R 2 .(П1.6) Эти уравнения описывают гибридные волны НЕnm ПДВ. Они близки по22форме уравнениям ПлДВ [12] , однако, содержат зависимости не только оттолщины волновода, но и от размера сечения b, характерного для ПДВ. Вприведенных дисперсионных уравнениях праметры волн ПДВ выраженыследующим образом.Продольное волновое число1h   U 2  g 2y ,Проекции имеют разный знак для падающей и отраженной парциальной волны.138фазовая скорость Vф hg 2y2 U  2коэффициент замедления U ПДВ  U 2cg 2y2U  2g 2y2, U g 2y22b2 U 2g 2y 2b 2,структурный коэффициентcos2U 2  h2U2VПДВ 1gysinhU ПДВU 2ПДВ gyU 2 1 .Используя выражения полей ПлДВ (П1.3) и параметры волн ПДВ, можнополучить аналитические выражения полей волн ПДВ.

Внутри ПДВ это можносделать единым образом, а снаружи только по областям, которые показаны нарис.П1.2.x2bIIIyIIIIIIIIIIII2aIIIРис. П1.2Внутри стержняcoscosg  sincosE iny gy y g x x  , Ezin  j ygy y gxx ,sinsinsinU ПДВ cos H xin cosU 2 cosgy y gx xsinU ПДВW0 sin ,H xinU2E inyU ПДВW0.139В областях IE yout Ezout  jcoscosgy y   g xa  exp   px  x  a   ,sinsing y  sin g y y  sin  g xa  exp   px  x  a  ,U coscoscosU 2 cosgy y g xa  exp  px  x  a  ,sinU ПДВW0 sinsing cosH zout   j xgy y  g xa  exp   px  x  a   ,W0 sin+cos H xoutH yout  sin g y y  +cos  g xa  exp   px  x  a  .W cosgx g y2U ПДВsin0В областях IIcoscos g yb   g x x  exp   py  y  b   ,sinsing y  sincosEzout  jg yb g x x  exp  p y  y  b ,sinU ПДВ cosE yout  U 2 cosU 2 cosg yb  g x x  exp  p y  y  b  ,sinU ПДВW0 sinsing cosH zout   j xgb   g x  exp   py  y  b   ,W0 sin y +cos x H xoutH yout  gx g ysin2U ПДВW0 cossin  +cos  g x x  exp   px  y  b  .g ybВ областях IIIE yout  U 2Ezout  jH xoutcoscos g yb   g xa  exp   p y  y  b   exp   px  x  a   ,sinsing y  sinU ПДВ g yb sin  g xa  exp   py  y  b  exp   px  x  a  ,coscoscosU 2 cosg yb  g x a  exp  p y  y  b  exp  px  x  a  ,sinU ПДВW0 sin  140H zout   jsing x U ПДВ cosg yb g xa  exp  p y  y  b exp  px  x  a  ,+cosW0 U sinH yout    sin g yb +cos  g xa  exp   px  y  b  exp   px  x  a  .W cosgx g y2U ПДВsin0Норму N волн ПДВ можно записать как N    EH dS   E y H x dxdy .

ЕслиSпринять во внимание связь внешнего и внутреннего поперечных волновых чисел,то условные нормы по координате x и y Nx  gx  N y g yможно записать вкомпактной формеsin  2 g x  1 cos 2 g ,2gxpx sin 2 xsin  2 g y  U 2 cos 2Ny  gy   1 g .2g yp y sin 2 yNx  gx   1 После ряда последовательных преобразований над ними получим:1cos 21 3и Ny  gy   1Nx  gx   1 1  U  1 2  g y   .pxUp y sinС учетом этого поля внутри ПДВ имеют вид:coscosg y  sinU ПДВ cosg y b   g y х  ,Ezin  jC g y b   g y х  ,U sinU cossinsin1где коэффициент C .U ПДВ abN x  g x  N y g yE iny  C  Расчет компонент электрического поля Ey и дисперсионных зависимостейволн ШПДВ с помощью пакета Mathcad представлен в разделе 2.2.2.141ПриложениеП2.Решениеуравнениясвязанныхмодширокоформатного ПДВ с локальными неоднородностямиПредставленное в разделе 3.1 численное решение УСМ, необходимое дляпроцедуры синтеза АФР, позволяет найти размеры элемента связи и егоместоположение на ШПДВ с точностью, удовлетворяющей предъявляемымтребованиям.

Однако для этого, как всегда при использовании численныхметодов, потребуется провести многократные решения УСМ. В этот отношениеаналитическое решение уравнений, несмотря на его приближенный характер,ускоряет и упрощает процедуру синтеза АФР. Полученные на основе такогорешения результаты можно при необходимости уточнить, проводя численноерешение УСМ в более узком диапазоне его параметров. Аналитическое решениетакже полезно для выявления наиболее важных закономерностей, полезных длярешения практических задач.Решим описанную выше проблему на основе приближенного подхода.Подробная запись системы дифференциальных УСМ (соотношение (3.2) вразделе 3.1.1) для трехмодового режима выглядит следующим образом:dA1 j C11 A1  C13 A3 exp  j 2U13 z   C15 A5 exp  j 2U15 z  ;dzdA3 j C31 A1 exp  j 2U 31z   C33 A3  C35 A5 exp  j 2U 35 z  ;dzdA5 j C51 A1 exp  j 2U 51z   C53 A3 exp  j 2U 53 z   C55 A5  ,dzгде U mn  U m  U nЕсли представить амплитуды мод в видеAi  ai exp( jCii z ) ,то диагональные слагаемые в УСМ исчезают.dam jCmn an exp j Cnn  Cmm  2U mn  zdz142Введем новую переменную   C33  C11  2U13  z .

Тогда УСМ примет видdam jcmn an exp  j mn  .d(П2.1)ЗдесьcmnCmn C33  C11  2U13двух;  mn mn0ДляmnвозмущенийодинаковойCnn  Cmm  2U mn.C33  C11  2U13конфигурации,расположенныхсимметрично относительно продольной оси ШПДВ, коэффициенты связи надоудвоить. В этом случаеcmnCmn U13  C33  C11mn;  mn mn0U mn  Cnn  Cmm.U13  C33  C11Система уравнений (П2.1) была решена методом Рунге-Кутты с граничнымиусловиями a1  1 , a3  0 , a5  0 при   0 . Пример численного решения УМСпоказан на рис. П2.1.Зависимостиамплитудмодотпродольнойкоординатыимеютквазипериодический вид.

Квазипериодичность является следствием того, чтокоэффициенты замедления волн не находятся в кратных соотношениях. Такимобразом, практический интерес представляют только длины элементов связи, непревосходящие четверти квазипериода. Это ограничение позволяет надеяться навозможность использования приближенного решения УСМ вместо численного.Такое приближенное решение УМС можно найти следующим образом.143Рис. П2.1 Зависимость модулей комплексных амплитуд мод от продольной координатывозмущения: 1 – HE11 , 2 – HE13 , 3 – HE15 .Как видно на рис. П2.1 амплитуда a5 мала по сравнению с a1 и a3 . Квадратa5 приблизительно на два порядка меньше квадрата суммы амплитуд. Поэтому вкачестве нулевого приближения можно использовать УСМ для пары модda1 jc13a3 exp  j  ;d(П2.2)da3 jc31a1 exp   j  .dСистема уравнений (П2.2) хорошо известна и применяется при решениимногих практических задач.

Она имеет аналитическое решение.Система двух связанных уравнений первого порядка преобразуется в одноуравнение второго порядкаd 2 a3da3j c132 a3  0 .2ddРешение, удовлетворяющее граничным условиям при   0 , имеет вид22 jc13 j   1  4c13 (П2.3)a3 exp    sin .2221  4c13Подставляя решение (П2.3) в первое уравнение системы (П2.2), находимамплитуду моды HE11144 1  4c 2  1  4c 2  1  j 1313  (П2.4)a1  exp    cos   jsin 222 2 1  4c13Теперь используем полученные выражения (П2.3) и (П2.4) для вычисленияамплитуды моды HE15 . Для этого используем третье уравнение УСМ00a5  jc51  a1    exp  j51  d   jc53  a3    exp  j53  d  .После интегрирования получаемc51  51  1exp  j  51  0.5     1  4c 2 13  cos   2  1  2c 2    1  4c 2  13  1351 sin j 12 2  51  1 1  4c13 (П2.5) exp   j  53  0.5  c53c1322 1  4c  22  53  0.5  1  4c13   2 1353  53  c13 cos   jsin   12 22 1  4c13  Поскольку решалась укороченная система уравнений (П2.2), то сохраняетсяa5 2251 51  c13только сумма квадратов модулей комплексных амплитуд мод HE11 и HE1322A1  A3  1 , в то время как в точном решении сохраняется сумма квадратовамплитуд трех мод (см.

рис. П2.1). Ошибка, как уже указывалось выше, невелика.На рис. П2.2 приведено сравнение численного и приближенного решенияУСМдля ШПДВ сечением 2b  2a  4  0,31 . В расчетах элемент связипредставлял собой пару сквозных щелей шириной 2B  0,08b  0,16 (для   3,2мм 2B  0,51 мм). Продольная ось в сечении расположена на расстоянииY0  0,24b  0,48 (для   3,2 мм Y0 =1,54 мм) от продольной оси ШПДВ.145ai10.810.620.40.230012354Рис. П2.2 Зависимость модулей комплексных амплитуд мод отпродольной координаты: 1 – HE11 , 2 – HE13 , 3 – HE15 ;точное решение – сплошная кривая, приближенное – точки3.211.62031.63.2012345Рис. П2.3 Зависимость фаз комплексных амплитуд мод отпродольной координаты: 1 – HE11 , 2 – HE13 , 3 – HE15 ;точное решение – сплошная кривая, приближенное – точкиСовпадение на отрезке 0    5 следует считать очень хорошим.

Фазовыехарактеристики для двух способов вычислений также хорошо совпадают (см. рис.П2.3).С увеличением ширины элемента связи 2В ошибка приближенного решениявозрастает. Однако даже при 2B   3 (для   3,2 мм 2B  1 мм) относительнаяошибка в пределах четверти квазипериода не превышает 2%. Таким образом,146приближенное решение УСМ можно использовать для ускорения процедурысинтеза АФР при проектировании преобразователей на ШПДВ с локальныминеоднородностями.147Приложение П3.

Аппаратные средства для экспериментальныхисследований волновых преобразователейДляизмерениясоответствующейАФРтиповымзондирующегоусловиямполяВПвзонеФренеля,диагностики,примененавтоматизированный измерительный комплекс [А6,А7].Структурная схема ИК приведена на рис. П3.1 (а). Он состоит изкогерентногоприемо-передатчика,позиционирующегоустройства,обеспечивающего двухкоординатное перемещение измерительного зонда и ЭВМдля управления перемещением зонда, обработки результатов измерений.Рис. П3.1 Структурные схемы измерительного комплекса (а),приемо-передатчика комплекса (б)148В качестве приемо-передатчика применен разработанный в ФНПЦ НИИИСрадиоинтерферометр 3 мм диапазона [А7].