15 (Ряды (Кузнецов Л.А.))

GTU.ru6 _ 01_15 _1в задачнике до 2005 года издания (в мягкой обложке)∞(1) ∞991 ⎞⎛ 1== ∑⎜−∑∑⎟23n + 5 ⎠n =1 9n + 3n − 20n =1 (3n + 5)(3n − 4)n =1 ⎝ 3n − 4∞k1 ⎞ ⎛ 1 1⎞ ⎛1 1 ⎞ ⎛1 1 ⎞⎛ 1Sk = ∑ ⎜−⎟ =⎜ − ⎟+⎜ − ⎟+⎜ − ⎟+3n + 5 ⎠ ⎝ −1 8 ⎠ ⎝ 2 11 ⎠ ⎝ 5 14 ⎠n =1 ⎝ 3n − 41 ⎞ −3111⎛ 1+−++... + ⎜−⎟=⎝ 3k − 4 3k + 5 ⎠ 10 5k − 3 3k + 2 1 − 3k111 ⎞⎛ −3lim Sk = lim ⎜ +−+⎟ = −3 /10k −>∞k −>∞ 105k − 3 3k + 2 1 − 3k ⎠⎝9(1) Представим дробь( 3x + 5) ⋅ ( 4 x − 4 )отсюда :Antiв виде суммы простых дробей :9AB=+( 3x + 5 ) ⋅ ( 3x − 4 ) 3x + 5 3x − 49 = A ⋅ ( 3x − 4 ) + Β ⋅ ( 3x + 5)подставляя в это соотношение x = −4⇒ 9 = 9B ⇒ B = 13получаем :911=−( 3x + 5 ) ⋅ ( 3x − 4 ) 3x − 4 3x + 5Скачаноспри x =5⇒ 9 = −9 A ⇒ A = −93∞∑nn =10Sk =2GTU.ru6 _ 01_15 _ 2в задачнике 2005 года издания (в твердой обложке)∞( 2) ∞303015 ⎞⎛ 15=∑= ∑⎜−⎟− 14n + 48 n =10 ( n − 8 )( n − 6 ) n =10 ⎝ n − 8 n − 6 ⎠∞⎛ 1515 ⎞⎛ 15 15 ⎞ ⎛ 15 15 ⎞ ⎛ 15 15 ⎞ ⎛ 15 15 ⎞− ⎟+⎜ − ⎟+⎜ − ⎟+⎜ − ⎟+4⎠ ⎝ 3 5⎠ ⎝4 6⎠ ⎝5 7⎠∑ ⎜⎝ n − 8 − n − 6 ⎟⎠ = ⎜⎝ 2n =1015 ⎞ 251515⎛ 15−−−+...

+ ⎜⎟=⎝ k −8 k −6⎠ 2 k −7 k −8∞1515 ⎞ 253025⎛ 25−=⇒∑ 2=lim Sk = lim ⎜ −⎟k →∞k →∞2⎝ 2 k −7 k −8⎠ 2n =10 n − 14n + 4830( 2 ) Представим дробь( x − 8) ⋅ ( x − 6 )отсюда :Antiв виде суммы простых дробей :AB30=+( x − 8) ⋅ ( x − 6 ) x − 8 x − 630 = A ⋅ ( x − 6 ) + Β ⋅ ( x − 8 )подставляя в это соотношение x = 8 ⇒ 30 = 2 A ⇒ A = 15при x = 6 ⇒ 30 = −2 B ⇒ B = −15получаем :Скачанос301515=−( x − 8) ⋅ ( x − 6 ) x − 8 x − 6чаносСкаGTU.ruAnti6 _ 02 _15 _1GTU.ruв задачнике до 2005 года издания (в мягкой обложке) :(1) ∞8n − 1013 ⎞⎛ 2= ∑⎜+−∑⎟n −1 1+ n ⎠n = 3 ( n − 1)( n − 2 )( n + 1)n =3 ⎝ n − 2∞k13 ⎞ ⎛ 2 1 3⎞ ⎛ 2 1 3⎞⎛ 2+−Sk = ∑ ⎜⎟ =⎜ + − ⎟+⎜ + − ⎟+n −1 1+ n ⎠ ⎝ 1 2 4 ⎠ ⎝ 2 3 5 ⎠n =3 ⎝ n − 223313 ⎞ 9⎛2 1 3⎞⎛ 2+ ⎜ + − ⎟ + ...

+ ⎜+−− −⎟= −⎝3 4 6⎠⎝ k − 2 k −1 1+ k ⎠ 2 k −1 k 1+ klim S n = 9 / 2n →∞(1) Представим дробь8n − 10( n − 1) ⋅ ( n − 2 ) ⋅ ( n + 1)в виде суммы простых дробей :Отсюда :AntiABC8n − 10=++.( n − 1) ⋅ ( n − 2 ) ⋅ ( n + 1) n − 2 n − 1 n + 18n − 10 = A ⋅ ( n − 1) ⋅ ( n + 1) + B ⋅ ( n − 2 ) ⋅ ( n + 1) + C ⋅ ( n − 2 ) ⋅ ( n − 1)Подставим в это соотношение :n = −1 ⇒ −18 = 6С ⇒ С = −3n = 1 ⇒ − 2 = −2Β ⇒ B = 1n = 2 ⇒ 6 = 3АЗначит :⇒A=2Скачанос8n − 10213=+−( n − 1) ⋅ ( n − 2 ) ⋅ ( n + 1) n − 2 n − 1 1 + n∞∑3 − cos n4n=2n31∞сравним этот ряд с ∑n=20<∞∫x21n3/ 413/ 4∞⇒∑≤3 − cos n4n3∞n3/ 4GTU.ru6 _ 02 _15 _ 2в задачнике 2005 года издания (в твердой обложке) :для любых n = 2,3,...

( т.к. cos n < 1) , то 2 < 3 − cos ( n ) < 4dx = 4 x1/ 4 | = ( 4 ⋅ ∞ − 4 ⋅ 21/ 4 ) = ∞ ⇒ интеграл расходитсся ⇒21расходится ( по интегральному признаку Коши ) ⇒n∞3 − cos n⇒∑тоже расходится4 3n=2n(по допредельному признаку сравнения )СкачаносAntin=23/ 4чаносСкаGTU.ruAnti(1e1n+3∞∑n =1n)−11n =1 n∞сравним данный ряд с рядом ∑GTU.ru6 _ 04 _15в задачнике до 2005 года издания (в мягкой обложке) :так как при α → 0 eα − 1 ∼ α , то при α =1n1/ ne1/ n − 1nlim n + 3 = lim n + 3 = lim= 1 ≠ 0, ∞2n −>∞n −>∞ 1/ nn −>∞1/ nn + 3n∞1∞∫ x dx = ln x | = ∞ ⇒ нтеграл расходится ⇒11⇒∑Anti1расходится ( по интегральному признаку Коши ) ⇒n =1 n⇒ исходный ряд тоже расходится ( по предельному признаку сравнения )∞в задачнике 2005 года издания (в твердой обложке) :1 ⋅ 3 ⋅ 5...(2n − 1)3n ( n + 1) !n =1∞∑limun +1unчаносn −>∞1⋅ 3 ⋅ 5...(2n − 1)(2n + 1)3n +1 ( n + 2 ) !2n + 1 2= lim= lim= <1⇒−>∞n −>∞n1⋅ 3 ⋅ 5...(2n − 1)3(n + 2) 33n ( n + 1) !Ска⇒ ряд сходится по признаку ДаламберачаносСкаGTU.ruAntin5=0limn →∞ ( 2n ) !n5n =1 ( 2n ) !∞рассмотрим ряд ∑un +1= limn −>∞ un −>∞nlim(n + 1)5( 2n + 2 ) !n5( 2n ) !GTU.ru6 _10 _15 _1в задачнике до 2005 года издания (в мягкой обложке) :5⎛ n +1⎞⎜⎟5(n + 1) ⋅ (2n)!⎝ n ⎠= lim==limn −>∞( 2n + 2 )!⋅ n5 n −>∞ (2n + 1)(2n + 2)n5n5сходится ⇒ lim=0= 0 <1⇒ ∑n →∞ ( 2n ) !n =1 ( 2n ) !СкачаносAnti∞6 _10 _15 _ 2( −1)nx + 6)∑n (n =1 ( 3n + 1) ⋅ 3n∞Согласно признаку Даламбера :( −1)n +1x + 6)n +1 (( 3n + 4 ) ⋅ 3n( −1)nx + 6)n (( 3n + 1) ⋅ 3n +1ulim n +1 = limn →∞ un →∞n=x+63limn →∞x+63n + 1=3n + 43x+6=GTU.ruв задачнике 2005 года издания (в твердой обложке) :( 3n + 1) ⋅ 3nx + 6 limn →∞ 3n + 4 ⋅ 3n +1()=a ) x = −9Anti< 1 ⇒ x ∈ (−9; −3) сходится абсолютно.3проведем исследование на границе∞∞( −1)( −1)1nn−+=−=963()()∑∑∑nnn =1 ( 3n + 1) ⋅ 3n =1 ( 3n + 1) ⋅ 3n =1 3n + 1n∞∞1n1∞∫ 3x + 1 dx = 3 ln 3x + 1 | = ∞ ⇒ интеграл расходится ⇒111расходится по интегральному признаку Кошиn =1 3n + 1b) x = −3∞⇒∑∞( −1)( −1)n36−+=()∑∑nn =1 ( 3n + 1) ⋅ 3n =1 3n + 1nnчанос∞данный ряд − ряд Лейбница, так как u1 > u2 > ...

ulim un = limn →∞n →∞1= 0 ⇒ по признаку Лейбница ряд сходится3n + 1ответ : область абсолютной сходимости : x ∈ (−9; −3)Скасходится условно при х = −3.чаносСкаGTU.ruAnti6 _11_15∞∑(n + x)nnnСогласно признаку Коши :n =1limnn −>∞un = lim n(n + x)n −>∞при x < 0при x = 0nn= limnn −>∞n+ xnn+ x< 1 ⇒ ряд сходитсяn∞∑( n + 0)nnn =1n∞GTU.ruв задачнике до 2005 года издания (в мягкой обложке) := ∑1 − ряд расходитсяn =1n+ x> 1 ⇒ ряд расходитсяnобласть абсолютной сходимости x ∈ (−∞;0)Antiпри x > 0в задачнике 2005 года издания (в твердой обложке) :1 x −n 24∑n =1 nОДЗ : x ≠ 2Согласно признаку Даламбера :∞11⎛ x −1 2 1 ⎞1 x −n 21x−2x −2nlim un = lim4 = lim ⎜⎜ 4=4⎟ = 4 limn →∞n →∞n →∞n →∞ n nnn ⎟⎠⎝nчаносn14 x −2 < 1 ⇒ x < 2Скаответ : область абсолютной сходимости : x < 2чаносСкаGTU.ruAnti1∞∑ n⋅9n =1GTU.ru6 _14 _15 _1в задачнике до 2005 года издания (в мягкой обложке) :n( x − 1)2n1(n + 1) ⋅ 9n +1 ( x − 1)ulim n +1 = limn →∞ un →∞1n2nn ⋅ 9n ( x − 1)2n+2= limn →∞n ⋅ 9n ( x − 1)2n(n + 1) ⋅ 9n +1 ( x − 1)2n+2=(1)n111=⋅=<1⇒x ∈ (−∞; 2 / 3) ∪ (4 / 3; ∞)lim19 ⋅ ( x − 1) 2 n →∞ n + 1 9 ⋅ ( x − 1) 29 ⋅ ( x − 1) 2абсолютно сходится согласно признаку Даламбера.проведем исследование на границеa)при x = 2 / 3=1n =1n( 2 / 3 − 1)1∞2n=∑n =1∞1∞n ⋅ 9 ( −1/ 3)n2n=∑1n =1 n∞19n=∑Anti∞∑ n⋅9n =1n ⋅ 9n ⋅∞1dx=ln| = ∞ ⇒ интеграл расходится ⇒x∫1 x11расходится (по интегральному признаку Коши )n =1 nb)при x = 4 / 3∞⇒∑1∞∑ n⋅9( 4 / 3 − 1)2n=∑n =11n ⋅ 9 (1/ 3)n1= ∑ − этот ряд расходится1nn =1n ⋅ 9n ⋅ n n =19∞2n=∑чаносn =1n∞1∞область сходимости x ∈ (−∞; 2 / 3) ∪ (4 / 3; ∞) абсолютно сходится.11< 1 ⇒ 1 < 9( x − 1) 2 ⇒ x − 1 > ⇒239( x − 1)ответ : на интервале x ∈ (−∞; 2 / 3) ∪ (4 / 3; ∞) ряд абсолютно сходится.Ска(1)∞(1)arcsinx−1=x(2n-1)!!∑ (2n)!!⋅ (2n+1) xn=0x(2n-1)!!x 2nn =1 (2n)!! ⋅ (2n+1)∞=∑2n+1GTU.ru6 _14 _15 _ 2в задачнике 2005 года издания (в твердой обложке) :(2n-1)!!x 2n − 1 =n = 0 (2n)!! ⋅ (2n+1)∞−1 = ∑( 2n − 1)!! 2 nxn = 0 ( 2n ) !!1− xx ∞∞( 2n − 1)!! 2 n( 2n − 1)!!⋅ x 2 n+1( x < 1) ⇒ arcsin ( x ) = ∫ ∑ 2n !! x dx = ∑ 2n !!⋅ 2n + 1)) ()n =0 (0 n=0 ((1) ( arcsinx )`=( x < 1)1∞2=∑Область сходимости : ряд Маклорена функции arcsin ( x ) сходится абсолютноAntiпри x < 1 ⇒Скачаносданный ряд сходится абсолютно при x < 1 .чаносСкаGTU.ruAnti6 _15 _15 _1∞GTU.ruв задачнике до 2005 года издания (в мягкой обложке) :xn( −1)∑8n − 12n =1при любом фиксированном x ∈ [0,1] ряд является знакочередующимся,nчлены которого убывают и lim un = 0 ⇒ ряд сходится и сумма егоn −>∞остатка не превосходит первого члена этого остатка по модулю.n +1x(−1) n x nRn ( x) = ∑≤8(n + 1) − 12k = n +1 8n − 12∞значит при x ∈ [0,1]Rn ( x) ≤18(n + 1) − 12взяв любое ε > 0 потребуем, чтобы11 + 4ε<ε ⇒n>8(n + 1) − 128εAnti1 + 4εмы убеждаемся, что при n > N8εRn ( x) < ε на отрезке [0,1].

Тем самым равномерная сходимостьПоложив таким образом N >ряда доказанат.к. для любого x ∈ [0,1]1≤ 0,1 ⇒ n = 2,3, 4,5,... − при этих n абсолютная8(n + 1) − 12величина остатка не превосходит 0,1 для все х ∈ [0,1]СкачаносRn ( x) ≤GTU.ru6 _15 _15 _ 2в задачнике 2005 года издания (в твердой обложке) :Ряд маклорена функции е х можно почленно интегрировать по любому отрезку.0,3∫e−2 x 200,3 ∞∞(−2 x 2 ) kdx = ∫ ∑dx = ∑k!k =00 k =02 k +1 0,3(−1) ⋅ 2 ⋅ x(2k + 1) ⋅ k !k =0∞=∑kk∫00,3∞(−2 x 2 ) k(−1) k ⋅ 2k ⋅ x 2 kdx =dx = ∑ ∫k!k!k =0 0(−1) ⋅ 2k ⋅ (0,3) 2 k +1=(2k + 1) ⋅ k !k =0∞| =∑00,3k(−1) k ⋅ 2k ⋅ (0,3) 2 k +1− знакочередующийся ряд, для которого выполняются условия :(2k + 1) ⋅ k !k =0∞=∑1) un > un +12) lim un = 0 Значит, ряд удовлетворяет условиям теоремы Лейбница.n →∞0,3∫e−2 x 2dx ≈ 0.2820AntiПоэтому если сумму знакочередующегося ряда заменить суммой первых k членов,то погрешность не превышает по абсолютной величине первого отброшенного члена39972u0 => α ; u1 => α ; u2 =<α ⇒105001000000∞1(−1) k ⋅ 2k ⋅ (0,3) 2 k +1(−1) k ⋅ 2k ⋅ (0,3) 2 k +139⇒∑≈∑= −= 0.3 − 0.018 = 0.282(2k + 1) ⋅ k !(2k + 1) ⋅ k !10 500k =0k =0СкачаносОценим погрешность.Она складывается из1) погрешность замены суммы бесконечного ряда на суммy первых k членов2) погрешность округления ( но в данном случае она равна 0, т.к.

во время округлениячленов ряда нет отброшенных цифр)972972< 0.001∂ = ∂ зам + ∂ окр =+ ( 0 + 0) =10000001000000чаносСкаGTU.ruAnti1 ⋅ 3 ⋅ 5...(2n − 1)3n ( n + 1) !n =1∞∑un +1n −>∞ unlimGTU.ru6 _ 05 _15в задачнике до 2005 года издания (в мягкой обложке) :1 ⋅ 3 ⋅ 5...(2n − 1)(2n + 1)3n +1 ( n + 2 ) !2n + 12= lim= lim= <1⇒n −>∞n −>∞ 3( n + 2)1 ⋅ 3 ⋅ 5...(2n − 1)3n3 ( n + 1) !⇒ ряд сходится по признаку Даламберав задачнике 2005 года издания (в твердой обложке) :∞⎛ n ⎞∑⎜⎟n =1 ⎝ 3n + 1 ⎠2 n +12 n +12 n +1СкачаносAnti1 1⎛ n ⎞⎛ n ⎞ nlim n ⎜= lim ⎜= 2 = <1⇒⎟⎟n −>∞n−>∞93⎝ 3n + 1 ⎠⎝ 3n + 1 ⎠⇒ по радикальному признаку Коши ряд сходитсячаносСкаGTU.ruAnti6 _ 06 _15∞⎛ n ⎞∑⎜⎟n =1 ⎝ 3n + 1 ⎠2 n +12 n +12 n +1GTU.ruв задачнике до 2005 года издания (в мягкой обложке) :1 1⎛ n ⎞⎛ n ⎞ n== 2 = <1⇒lim n ⎜lim⎟⎜⎟n −>∞n−>∞93⎝ 3n + 1 ⎠⎝ 3n + 1 ⎠⇒ по радикальному признаку Коши ряд сходитсяв задачнике 2005 года издания (в твердой обложке) :1∞∑ ( n + 3) ln ( 2n )2n=21n = 2 n ln (2n )∞сравним этот ряд с ∑2∞Anti1( n + 3) ln 2 ( 2n )= 1 ≠ 0, ∞limn −>∞1n ln 2 (2n)−1 ∞11=⇒ интеграл сходится ⇒dx|=∫2 x ln 2 (2 x)ln(2 x) 2 ln 41сходится ( по интегральному признаку Коши ) ⇒n = 2 n ln (2n)∞⇒∑21тоже сходится2n = 2 ( n + 3 ) ln ( 2n )∞чанос⇒∑Ска(по предельному признаку сравнения )чаносСкаGTU.ruAnti6 _ 07 _151∞∑ ( n + 3) ln ( 2n )2n=21n = 2 n ln (2n )∞сравним этот ряд с ∑21( n + 3) ln 2 ( 2n )= 1 ≠ 0, ∞limn −>∞1n ln 2 (2n)∞GTU.ruв задачнике до 2005 года издания (в мягкой обложке) :−1 ∞11=⇒ интеграл сходится ⇒dx|=∫2 x ln 2 (2 x)ln(2 x) 2 ln 41сходится ( по интегральному признаку Коши ) ⇒n = 2 n ln (2n)∞⇒∑21тоже сходится2n = 2 ( n + 3 ) ln ( 2n )∞Anti⇒∑(по предельному признаку сравнения )в задачнике 2005 года издания (в твердой обложке) :( −1)∑2nn =1 ( n + 1) 2n −1∞этот ряд знакочередующийся,чаносu1 > u2 > u3 > ...