Диссертация (Совершенствование традиционного и разработка нового методов диагностики остаточных напряжений в сварном соединении), страница 9

2.7 – Теплофизические свойства малоуглеродистой стали с 0,1% углеродаНа этом рисунке, кроме зависимостей ( ), ( ) и 2 ( ), приведена зависимость теплосодержания ( ). Видно, что эти зависимости имеют достаточносложный вид. Поэтому, решение уравнения теплопроводности в широком диапазоне температур должно строиться, строго говоря, с разбивкой по отдельныминтервалам температур, на которых коэффициент температуропроводностиможет считаться постоянным.В дальнейшем будет использоваться не трехмерное, а одномерное уравнение теплопроводности, размерность которого достаточна для описания температурных процесса при контактно-стыковой сварке оплавлением.74§ 2.2.2.

Математическое описание процесса нагреваВ приближениях, описанных в § 2.2, для восстановления процессовнагрева и остывания достаточно рассмотрения одномерной модели, в которойучитываются изменения температуры только по времени и по координате ,перпендикулярной оси шва. Следовательно, процесс нагрева может быть описан решением первой краевой задачи относительно функции температурыℎ (, ), являющейся решением дифференциального уравнения:2Th  x, t 2  Th  x, t atx 2(2.3)с начальными условиямиTh  x,0     x (2.4)и граничными условиямиTh  0, t   1  t Th2, t  2  t (2.5)При этом начало координаты принимается на оси шва и задается в силу симметрии задачи на участке ≤ ℓ⁄2.Без ограничения общности можно принять начальное условие в виде  x  0(2.6)Кинетику нагрева края пластины в области будущего сварного шва (при = 0) примем в виде линейной функции1  t    t(2.7)где параметр определяет скорость достижения температуры плавления в месте нагрева.Ввиду кратковременности нагрева, на свободном краю пластины, параллельном шву, температура остается равной нулю752  t   0(2.8)Решение дифференциального уравнения (2.3), характеризующее распределение температуры в теле в процессе нагрева, выполненное по методике [41],представляется в виде  2 m  a2t  2 m 2  e    1 sinxx Th  x, t    t 1  2   2 3m3a 2 m12(2.9)При этом, в результате уже учтено, что после сварки пластина занимаетобласть − ℓ⁄2 ≤ ≤ ℓ⁄2.Полученная функция представляет собой координатно-временную функцию нагрева шва и околошовной зоны.

В качестве иллюстрации процесса наРис. 2.8 представлен трехмерный график по координате и времени , показывающий изменение температуры участка пластины, примыкающего к центрушва, в течение одной секунды с начала нагрева. При этом, коэффициент температуропроводности 2 принимался равным 0,09см2с– среднему значению изграфика на Рис. 2.7, длина сваренной пластины ℓ равнялась 38 см, а скоростьнагрева задавалась равной 1500 град/сек, что соответствовало реальной скорости достижения температуры плавления при сварке.76Рис. 2.8 – Нагрев в области сварного шваМоментом окончания этапа нагрева будем считать достижение температуры плавления в центре шва; в данном случае это время = 1 = 1 с.

В этотмомент в соответствии с решением (2.9) при выбранных параметрах пластинымаксимальная изотерма 300ºC находится на расстоянии 3.72 мм от центра шва.Для описания дальнейших стадий термического цикла сварки в качественачального условия необходима только функция распределения температуры вмомент окончания нагрева. Эта функция представлена на Рис. 2.9 по обе стороны от центра сварного шва.77Рис.

2.9 – Функция распределения температуры в момент окончания нагреваПри рассмотрении следующих стадий термического цикла – плавление изатвердевание используют обычно не представление функции температуры ввиде ряда, а явные аналитические выражения через функции ошибок [41].Вследствие этого, функцию окончания нагрева удобнее представить в формеаппроксимирующей кривой, также содержащую функцию ошибок.

Для кривой,представленной на Рис. 2.9 в качестве аппроксимирующей функции возьмем: xTa  TmФ *  2a th(2.10)где – температура плавления материала, ℎ – аппроксимирующий параметр.Это представление коррелирует с выражением для функции влияния локализоℓ ℓванного на интервале [− , ] источника, приведенного в [41].2 278Подбор ℎ по методу наименьших квадратов показал что его значениеблизко к 1⁄2 с.Графики функции окончания нагрева и аппроксимирующей функциипредставлены на Рис. 2.10.Рис.

2.10 – Распределение температуры в момент окончания процесса нагрева всравнении с аппроксимирующей функциейЗдесь, сплошной линией показана точная функция распределения температуры в момент окончания нагрева, штриховой – аппроксимирующая функция. Прямыми штриховыми линиями отмечено положение максимальной изотермы 300 ºC. Видно, что аппроксимирующая функция с таким параметром ℎблизка к функции (2.9) при = 1с.79§ 2.2.3. Математическое описание процесса плавления ипроцесса затвердеванияПри изменении температуры тела может происходить изменение его физического состояния, в частности при переходе температуры через точку плавления - переход из твердой фазы в жидкую или обратный процесс.

На границефазового перехода все время сохраняется постоянная температура. При движении границы фазового перехода происходит выделение скрытой теплоты плавления - дополнительной тепловой энергии в расчете на 1 кг твердого вещества,которая не повышает температуру расплавляемого тела, а идет на разрушениекристаллической структуры [27, 34, 43].Задача о распределении температуры при наличии фазового переходасводится к решению уравнений2T12  T1 a1 2 , 0  x  tx2T22  T2 a2 2 ,xtx(2.11)где 1 (, ) и 2 (, ) – функции распределения температур в жидкой и твердойфазах вещества соответственно.В качестве граничных условий для первого уравнения (2.11) используемравенстваT1  Tm , x  0, (2.12)Для второго уравнения очевидным граничным условием будетT2  Tm , x   ,(2.13)а, в качестве начального условия примем распределение температуры в моментокончания стадии нагрева.Положение границы раздела фаз = ( ) определяется из условия Стефана [41]801T1x 2x T2x x dξdt(2.14)где – скрытая теплота плавления.В связи с тем, что рассматривается температурное поле вблизи точкиплавления, можно принять равенство коэффициентов теплопроводности и температуропроводности разных фаз: 1 = 2 = и 1 = 2 = .Решение задачи (2.11) - (2.14) будем искать в виде, коррелирующим с известным решением задачи Стефана [3, 14, 41]:T1  Tm x  T2  TmФ *  2a t (2.15)В решении (2.15), удовлетворяющем уравнениям (2.11) и граничнымусловиям (2.12), (2.13) единственной неизвестной функцией является = ( ).Подставляя (2.15) в условие Стефана (2.14) получим явное уравнениеTma  t ddt(2.16)из которого прямым интегрированием находим t  2Tm t C1a (2.17)Определив постоянную 1 из условия совпадения функции распределениятемпературы в твердой фазе с функцией распределения температуры принагреве в момент его окончания, получим окончательно 2Tm t  th  a x  T2  TmФ * 22a   t(2.18)Завершение процесса плавления определим по достижению границы раздела фаз точки, соответствующей границе шва.

График распределения темпера-81туры в момент окончания плавления для шва шириной 4 мм представлен наРис. 2.11.Рис. 2.11 – Распределение температуры при достижении края сварного шва( = 2 мм)На этом рисунке, также как и на Рис. 2.10, отмечено положение изотермы300ºC. В процессе плавления она отодвинулась от центра шва по сравнению смоментом окончания процесса нагрева на величину 2.81 мм.Следующий за процессом плавления процесс остывания состоит из двухчастей: процесса затвердевания и непосредственно остывания.Как было отмечено выше, процесс затвердевания является обратным процессу плавления; поэтому для описания распределения температуры в процессезатвердевания можно воспользоваться теми же условиями, что и для процессаплавления, взяв только в уравнении (2.14) знак минус при производной отфункции ( ):82T1  T2  Tm , x  1T1x 2x T2x x dξdt(2.19)С учетом (2.15), дифференциальное уравнение (2.19) принимает видTma  t ddt(2.20)Решением этого уравнения является функция: t   2Tm t C2a (2.21)где 2 - константа.Для определения константы 2 , используется условие, в соответствии скоторым в момент начала процесса затвердевания (или - окончания процессаплавления) функция ( ) равняется величине – ширине зоны плавления содной стороны от центра сварного шва:  tm   2Tm tma  C2  wm .Таким образом,C2 a wm   2Tm tm(2.22)a В итоге, функция ( ) принимает вид: t  2Tmtm  ta wmа распределение температуры в процессе затвердевания:(2.23)83 w  x Tm tm  t  T2  Tm 1  Ф  m2 2a ta   t  (2.24)Завершение процесса затвердевания определим по достижению границыраздела фаз точки центра шва.

График распределения температуры в моментокончания процесса затвердевания для шва шириной 4 мм представлен на Рис.2.12.Рис. 2.12 – Распределение температуры в момент окончания процесса затвердеванияПолученную функцию 2 (, ) в момент окончания процесса затвердевания можно использовать как начальную функцию для последующего процесса остывания пластины.Интересно отметить положения окончания процессов нагрева, плавленияи затвердевания на одном графике (Рис.