Диссертация (Методика расчёта пульсаций давления в шнекоцентробежном насосе жрд трехмерным акустико-вихревым методом), страница 6

В качестве пространственногомасштаба и характерной скорости возьмем радиус R2 и окружную скоростьu2 на выходном диаметре центробежного колеса. Тогда безразмерныевеличины запишутся в следующем виде:35Uxtxɶ = ; U = ; tɶ =R2u2( 2π R2 )( z1u2 )i= tfb1 ; ɶi = 2u2 ;(2.23)Введем Λ -- безразмерную частоту:Λ=R2λf RR2u f R= b1 2 = 2 b1 2 = M ⋅ St ;aaa u2f b1=(2.24)Как правило, в центробежных насосах Λ < 0,3, поэтому для низкихгармоник амплитуд пульсаций давления ЧСЛ конвективные члены вволновом уравнении можно не учитывать:∂ 2 ɶiΛ− ∆ɶi = S2;ɶ∂t2(2.25)Для невозмущенного потока акустический потенциал ϕ=0 иɶi o = ɶjo;(2.26)Функции i и j можно выразить через средние величины ипульсационные составляющиеɶi = ɶi o + h; ɶj = ɶj + go;(2.27)Амплитуда пульсаций давления в отводе шнекоцентробежного насосана порядок ниже среднего давления, поэтому для колебаний энтальпииможно приближенно записатьh≈( P − P0 ) =ρ0 u22P′ρ0 u22 ;(2.28)Аналогично для колебаний вихревой моды gg≈Pv'ρ0 u22 ;(2.29)Учитывая соотношения (2.27) -- (2.29), можно преобразовать формулу(2.18) к видуP′ = Pv' − ρ0dϕ= Pv' + Pa';dt(2.30)36Последнее выражение наглядно показывает, что пульсации давлениярабочей жидкости в отводе шнекоцентробежного насоса равны суммепульсаций от нестационарного вихревого движения (как несжимаемойсреды) – "псевдозвука" и акустических колебаний.Принимая во внимание формулы (2.28) -- (2.29), из (2.25) получимуравнение первого приближения для колебаний давленияΛ2∂ 2 hɶ− ∆ hɶ = Sɶ ′2;ɶ∂t(2.31)~где S ′ = −∆g -- нестационарная часть функции S.Для упрощения записи далее знак "ɶ" в формулах опускается, и везде,где это не оговорено особо, рассматриваются безразмерные переменные.Решение уравнения (2.31) разделяется на две задачи – расчетнестационарноготечениядлямоделинесжимаемойсреды,котороеопределяет источниковую функцию, и решение неоднородного волновогоуравнения относительно пульсаций давления h.

В 2015 году появиласьпубликация, в которой используется аналогичный подход для численногоисследования пульсаций давления, возникающих в отрывных течениях втрубопроводе [79].2.1.2 Вывод источниковой функцииВыражаемисточниковуюфункциючерезполескоростейнесжимаемого течения из формулы:(S = ∇ U ∇UUxS = ∇ Ux);∂U x∂x∂U y∂x∂U zUx∂x(2.32)UyUy∂U x∂y∂U y∂y∂U zUy∂yUzUz∂U x∂z∂U y∂z ;∂U zUz∂z(2.33)37После преобразований на основе соотношений векторной алгебры,получаем:2∂U ∂U ∂U ∂ 2U∂ 2U x ∂U z ∂U x∂ 2U x+⋅+Uzs =  x  + U x 2x + y ⋅ x + U y∂x∂x ∂ y∂ x∂ y ∂ x ∂ z∂ x∂ z ∂x 2∂ 2U y  ∂U y ∂ 2U y ∂U z ∂U y∂ 2U y∂Uy ∂U x+⋅+Ux++⋅+Uz +U y∂x ∂ y∂ x∂ y  ∂ y ∂ y2∂ y ∂z∂ z∂ y(2.34)2∂U x ∂U z∂ 2U z ∂U y ∂U z∂ 2U z  ∂U z ∂ 2U zU;+⋅+Ux+⋅+U y++z∂z ∂x∂ x∂ z ∂ z ∂ y∂ y∂ z  ∂ z ∂ z2Учитывая уравнение неразрывности для несжимаемой среды,∂ 2U y∂ 2U y∂ 2U x∂ 2U x∂ 2U z∂ 2U z++=0;++= 0;UxUUUUUxxyyy∂ x2∂ x∂ y∂ x∂ z∂ x∂ y∂ y2∂ y∂ z(2.35)∂ 2U y∂ 2U x∂ 2U z+Uz+Uz= 0;Uz∂ z∂ x∂ z∂ y∂z2Окончательно получаем следующее выражение: ∂U y ∂U x ∂U z ∂U x ∂U z ∂U y ∂U x ∂U y ∂U x ∂U z ∂U y ∂U zS = 2⋅+⋅+⋅−⋅−⋅−⋅∂x ∂z∂ y ∂z∂x ∂ y∂x ∂z∂ y ∂z ∂x ∂ y (2.36)2.1.3 Вывод конечно-разностного аналога акустико-вихревого уравненияЗапишемакустико-вихревоеуравнениевдекартовойсистемекоординат:∂2h ∂2h ∂2h ∂2hΛ−−−=S';∂t 2 ∂ x 2 ∂ y 2 ∂ z 22(2.37)Источниковая функция в правой части уравнения представляет собойнестационарную часть функции S (2.36).Конечно-разностныеаналогидифференциальныхуравненийвдекартовой системе координат получаются интегрированием акустиковолнового уравнения по пространству и времени с введением конечныхобъемов.Все поле течения покрывается прямоугольной сеткой.

Каждому узлусетки ставится в соответствие три числа (i, j, k), которые определяютпорядковый номер конечного объема (ячейки) на Х- , Y- и Z- координатных38осях. Границы между соседними ячейками проходят через середины шаговсетки.Кроме того введем временную сетку с верхним индексом (m) иравномерным шагом по времени ∆t, в которой каждому моменту временисоответствует номер m так, чтоt + ∆t = (m + 1)∆t .(2.38)Рассмотрим вывод конечно-разностных уравнений для внутреннихузлов сетки (ячейка 1 на рисунке 2.1). Для уравнения (2.37) используеминтегральный метод [80] Проинтегрируем уравнение (2.37) по пространствуи времени в пределах одной ячейки и одного шага по времени:t+∆t2 x2 y2 z2 2 ∂ 2h ∂2h ∂2h ∂ 2h∫∆t x∫ y∫ ∫z  Λ ∂t 2 − ∂ x 2 − ∂ y 2 − ∂ z 2 − S ′  ∂t ∂ x∂ y ∂ z = 0 ;1 1 1t−(2.39)2здесь для внутренней ячейки 1 пределы интегрирования по объему:x1 = x − 12 ∆x, y1 = y − 12 ∆y, z1 = z − 12 ∆z, x2 = x + 12 ∆x, y2 = y + 12 ∆y, z 2 = z − 12 ∆z(2.40)Будем считать, что давление, его вторая производная по времени иисточниковая функция постоянны внутри объема ячейки.

Тогда можнозаписать для каждой гармоники ЧСЛt+∆t22∂hΛl ∫∂t ∫ d x ∫ d y ∫ d z −2x1y1z1∆t ∂ t2 2t−∆tt+2−∫∆tt−2x2y2z22t+∆t2 x2 y2 z2  ∂ 2 h ∂ 2 h ∂ 2 h −−dxdydzdt∫∆t  ∫x1 ∫y1 ∫z1  ∂ x 2 ∂ y 2 ∂ z 2 t−2(S ' ∫x2x1y2z2y1z1)(2.41)d x ∫ d y ∫ d z dt = 0;С учетом формул для конечно-разностных аналогов производныхt+∆t2t+∆tm +1mmm −1himjk+1 − 2himjk + himjk−1∂ 2h∂ h 2 hi jk − hi jk hi jk − hi jk;∫∆t ∂t dt = ∂t ∆t = ∆t − ∆t =∆tt−t−22(2.42)уравнение (2.41) преобразуется к видуhijkm+1 = 2hijkm − 2hijkm−1 +∆tΨc;Λ 2l 2V(2.43)39Здесь l – номер гармоники ЧСЛ, V – объем ячейки.

Функция Ψc (c -- типячейки) определяется выражениемt+∆t2 y2 z 2  ∂ 2 hΨc = ∫ ∫ ∫  2y1 z1  ∂ x∆t t− 2∆tt+2 y2 x2  ∂ 2 h+ ∫ ∫ ∫  2y1 x1  ∂ z∆t t− 2z2x2∆tt+22 z2 x2  ∂ h∂2h − 2 d y dz  d t + ∫  ∫ ∫  2z1 x1  ∂ y∂x x ∆t 1 t− 2y2−∂ 2h∂ y2d zd x  d ty1 (2.44)∆tt+2x2y2z2∂2h − 2 d yd x  d t + ∫ S ' ∂t ∫ d x ∫ d y ∫ d z = 0;x1y1z1∂z z ∆t1 t−2и зависит от типа ячейки, т.к. x1, y1, z1, x2, y2, z2 различны для разныхтипов ячеек.Рисунок 2.1.

Типы ячеек: 1) внутренняя, 2) стенка, 3) импеданснаяграницаДля внутренних ячеек типа 1 (рисунок 2.1)∂h∂xx1=Дляhim+1, j , k − him, j ,k∆xячеек∂h∂x=him, j ,k − him−1, j ,kx2находящихся∆xна;стенке,(2.45)нормальнойкосиX,получаем(ячейка 2 на рисунке 2.1)∂h∂xx1=him, j ,k − him+1, j ,k∆x∂h∂x= 0;x2(2.46)а для ячеек находящихся на входной границе с нормалью n40n∂hl  h m +1 − h m −1  ∂ g l ∂ g=− +;+∂nZl 2∆t ∂ n Zl ∂ t(2.47)Таким образом, соответствующая производная от h по нормали кграничной поверхности определяется через производную по времени иудельный комплексный акустический импедансна данной границе длясоответствующей гармоники ЧСЛ. Производные от колебаний вихревоймоды известны из решения для нестационарного течения несжимаемойвязкой среды.2.2 Методика расчёта пульсаций давления в шнекоцентробежномнасосе трехмерным акустико-вихревым методомАлгоритмрешениятрехмерногоакустико-вихревогоуравненияприменительно к высокооборотному шнекоцентробежному насосу ЖРДреализован в так называемой «акустической модели» вета –версии пакетаприкладного программного обеспечения FlowVision.

Схема получениярешения c помощью акустической модели показана на рисунке 2.2. Решениеразделенонамоделированиедвашага.Нанестационарногопервомшагетурбулентноговыполняетсятечениячисленноенесжимаемойжидкости. На втором шаге выполняется решение волнового уравнения. Обаэтапа решения проводятся в среде программного комплекса FlowVision [81].41Ввод исходных данныхгеометрия, обороты,расход и свойства рабочего тела,количество лопаток.Расчёт поля скоростейОпределение источниковой функции.Достижение сходимости понапору.Определение гармонических амплитуд источниковойфункции и сохранение этих значений в памяти.Задание акустическогоимпеданса на граничныхусловиях.Решение волнового уравнения.Контроль сходимости поколичеству оборотов валаВывод значений амплитуд.Рисунок 2.2 Блок схема42Длячисленногомоделированиянестационарноготурбулентноготечения несжимаемой жидкости (вихревой моды) используется технология«скользящих сеток».

Вся область расчета подразделяется на несколькоподобластей, часть из которых входит в ротор, то есть вращающуюся часть.Передача параметров потока из ротора в неподвижные области расчета(статор)производитсячерезспециальныйинтерфейс«скользящаяповерхность», который обеспечивает интерполяцию параметров потока сучетом «виртуального» углового смещения сеток ротора и статора.Для численного моделирования используется математическая модельнесжимаемой жидкости с применением k-ε модели турбулентности [81].В модели используются уравнения Навье-Стокса (осредненные пообъему ячейки конечно-разностной сетки) (2.48) с учетом уравнениянеразрывности (2.49) :∂V∇P 1+ ∇ (V ⊗ V ) = −+ ∇(( µ + µ t )(∇V + (∇V ) T )ρ ρ∂t(2.48)∇⋅V = 0;(2.49)Эти уравнения дополнены соответствующими уравнениями моделитурбулентности.Расчетыпроведеныспомощью(турбулентная энергия-скорость диссипации)которой турбулентная вязкостьµtстандартнойk-εмодели турбулентности, ввыражается через величины k-εследующим образомµt = Cµ ρk2ε(2.50)Уравнения модели турбулентности:µ∂k1 + ∇(Vk ) = ∇  µ + t∂tρ σk  G∇k  + − (ε − ε ini )  ρ(2.51)1 µ∂ε+ ∇(Vε ) = ∇  µ + tσε∂tρ   ε G∇ε  +  C1 − C2 (ε − ε ini )  k ρ (2.52)43где ε ini – начальное значение турбулентной диссипации.

Через Gобозначено выражениеG = µ eff ∂Vi ∂V j + ∂x∂xi  j∂Vi∂x j(2.53)Значения параметров модели турбулентности равны:σ k = 1 ; σ ε = 1.3 ; C µ = 0 .09 ; C1 = 1.44 ; C2 = 1.92(2.54)Граничное условие для скорости жидкости в турбулентном течении настенкезадаетсясиспользованиемчисленнойаппроксимациилогарифмического закона для тангенциальной компоненты скорости настенке U, которая определяется из следующих соотношений+U y ,=U*  u +y + < y*+y + ≥ y*+(2.55)τwρ ,U* =(2.56)где U * -- динамическая скорость, τ w -- напряжение вязкого трения настенке, кинематические параметры на границе вязкого подслоя определяютсяформулами:u+ =1(ln Ey +κρU * hy+ =µ)(2.57)+где κ = 0.41 , E = 9 и y* ≈ 11 .Расчетвыполняетсядляотносительныхвеличиндавления,отсчитываемых от заданного опорного значения. В качестве граничногоусловия на входе в расчетную область устанавливается нулевое статическоедавление, то есть давление, равное опорному значению. На выходе насосаобъемный расход задается значением нормальной компоненты скорости ввыходном сечении расчетной области.Численный метод реализован напрямоугольной сетке с локальной адаптацией и подсеточным разрешением44сложной геометрии.