Диссертация (Контроль и управление безопасным движением пассажирских воздушных судов при пересечении их маршрутов и речных судов при их сближении), страница 11

1m1  k 3 ( x3  d )  b12 2 12  b22 14 4  02. 1  a12  b12 2 2  b22 4 24  03. 1  k 3  b12 2  b22 2  012144. 0,5 2  12  a1 2  0,5b12 2  0,5b22 2  02245. 1m2  k 3 ( y3  d )  b12 2 23  b22 34 4  06. 3  a2 4  b12 2 24  b22 4 4  07. 1  k 3  b12 232  b22 2  034(3.34)8. 0,5 2  34  a2 4  0,5b12 2  0,5b22 42  0249.  1  a1 12  b12 12 2  b22 14 24  010.

 3  a2 34  b12 23 24  b22 4 34  011. b12 12 23  b22 14 34  012. (a1  a2 ) 24  b12 2 24  b22 4 24 14 23  013. 13  (a2  b22 4 ) 14  b12 12 24  08614. 13  (a1  b12 2 ) 23  b22 34 24  0Ясно, что найти строгое аналитическое решение для i ,  i , ik вквадратурах невозможно, поэтому нужно принять ряд допущений. Вкачестве первого приближения допустим, что динамические свойствасближающихся судов примерно одинаковы, т.е.

a1  a2 , b1  b2 . Тогдавнимательный анализ уравнений – 3,7,11,13,14 системы (3.34) показывает,что если принять  12   34 , то коэффициенты  14   23  0 . Поэтому изуравнений 3,7 системы (3.34) получим 12   34  1  k 3b1N(3.35)Это позволяет сразу найти из уравнений 1 и 5 коэффициенты  2 и4 :2   m  k ( y  d )1m1  k 3 ( x3  d ) 0 , 4  1 2 2 3 302b1 Nb1 N(3.36)Осталось найти  2 ,  4 и  24 , чтобы полностью определить параметрыалгоритмов оптимального управления (3.31). Для этого требуетсяпроанализировать уравнения 4, 8 и 12 системы (3.34). Ясно, что  2   4 , а длянахождения  2 и  24 нужно иметь ввиду уравнения 4 и 124. 0,5 2  12  a1 2  0,5b12 2  0,5b22 2  022412. (2a1  2b12 2 ) 24  0В первом случае, если  24  0 , из уравнения 11 получим2  a10b1287что противоречит физическому смыслу процесса управления.

Вчастности, при управлении одним судном знак  2 положителем. Во второмоставшемсяслучае,еслипредположить,что 24  0 ,для нахождения  2 надо решить квадратное уравнение 4. Как показаланализ различных корней этого уравнения, приa1 0 лучшим решениемb12является приближенный ответ  2Na1 22b1b12  4  (3.37)Полученных оценок (3.35-3.37) достаточно, чтобы сформироватьоптимальное управление (3.31) в квадратурах.1m1  k 3 ( x3  d )a1x](2N) x212b12 N 2b1u0опт  b1 N [(3.38)1m2  k 3 ( y3  d )a1y](2N) y212b12 N 2b1u1опт  b1 Nq[где N  1  k 3b1(3.39)Формулы (3.38-3.39) отличаются двумя особенностями. Во-первых,вдали от места сближения судов сигнал управления u0 должен содержатьразность (m1  x1 ) , а u1 - разность (m2  x1 ) , чтобы стремиться к заданнойлинии пути.

Значитk 311 1 , а этому соответствует малое значение2b N 1  k 3211 при 1  1 . Например, для 1  10 можно взять величину k 3  1 .Однако во-вторых, в месте сближения судов весовой коэффициент при88разностях ( x3  d  x1 ) и ( y3  d  y1 ) , гарантирующих безопасное уклонение,будет равенk 31 и окажется весьма мал. Это произошло потому, что 1  k 3 9дробная функция штрафа (3.32) была нестрого заменена на степеннойполином.

Чтобы избежать этого недостатка, можно воспользоватьсяудачным приемом, использованным в [3.29] при “возвращении” видадробной функции самому управления с переменным коэффициентом приразностях ( x3  d  x1 ) и ( y3  d  y1 ) , возрастающим по мере уменьшениярасстояния R между судамиR  ( x1  x3 )2  ( y1  y3 )2Тогдаu0опт  b1 N [u1опт  b1 N [алгоритм1b12 N 2121b N2m1 m2 оптимальногоуправлениявыглядиттакk 3 ( x3  d )a x1 ]  (  2  2 N  1 ) x22nRb1b12 N 2 (1   2 n )dk 3 ( y3  d )a y1 ]  (  2  2 N  1 ) y22Rb1b12 N 2 (1   2 n )dгде  и n - параметры, подчеркивающие разницу в штрафе в зависимости ототносительной дальностиRdразница увеличивается, между судами, при этом для   1 и u  1 эта- коэффициент, повышающий значимостьдополнительного штрафа в месте сближения судов.В частности, если взять  равным величине b12 N 2 (1   )k 389то в месте сближения при R  d у сигнала управления u0 появится слагаемое( x3  d  x1 ) , а у u1 - слагаемое ( y3  d  y1 ) .

Поэтому окончательно сигналыуправления имеют вид [12]u0опт  b1 N [121b N2m1 (1   )( x3  d )R 1   2 d 2n x1 ]  (  2  2 N a1) x2b1(3.40)u1опт  b1 N [121b N2m2 (1   )( y3  d )R 1   2 d 2n y1 ]  (  2  2 N a1) y2b1Следует подчеркнуть, что пока что формулы (3.40) для оптимальногоуправления боковым движением двух судов соответствуют случаюпересечения маршрутов под углом 90°.3.3 Синтез оптимального линейного регулятора управлениядвижением основного судна при встрече с несколькими судамипри пересечении их маршрутов под произвольным угломРассмотрим теперь общий случай сближения нескольких судов, длякоторого согласно общей постановке задачи уравнение Беллмана (3.29), втом числе его правую часть F ( x , y , u0 , ui ) , можно представить, обозначивдля упрощения в уравнениях (1.31)V sin(270  ψi )  p,cos(270  ψi )  q; mi  mi (0)  qt(3.41)в следующем виде f0 ( x , y , u0 , ui )  (β1  γ1x1  12 x2  13 y1  14 y2 ) x2  min (β3  γ3 y1  34 y2  13 x1  23 x2 )( y2  P)  (β 2  γ 2 x2  12 x1  23 y1  24 y2 )(bu0  a1x2 )  (3.42)t u0 ,ui (β 4  γ 4 y2  34 y1  14 x1  24 x2 )(bqui  ay2 )Тогда, повторив использованную в предыдущем параграфе методикуаналитического конструирования оптимальных регуляторов, с учетом90квадратичной зависимости f 0 в формуле (1.32) от управлений u0 и ui ,получим при τ0  1 такое же по виду оптимальное управление, что u в(3.31)u0опт  b(β 2  γ 2 x2  12 x1  23 y1  24 y2 )uiопт  bq(β 4  γ 4 y2  34 y1  14 x1  24 x2 )Также для определения оптимального управления необходимо найтивходящие в него 9 коэффициентов.

Это позволяет для установившегосясостояния при 0 получить следующие 14 алгебраических нелинейныхtуравнений относительно искомых коэффициентов βi ,γi ,ψik . Поэтому, неменяя порядка описанных выше действий, можно получить:1. τ1m0  kτ3 ( x3  d )  b2β212  q 2b214β4  13 p  02.

β1  a β2  b2β2 γ 2  q 2b2β424  13 p  03. τ1mi  kτ3 ( y3  d )  b22  q 2b22  012144. 0,5τ2  12  a γ 2  0,5b2 γ 2  0,5q 2b22  02245. τ1mi  kτ3 ( y3  d )  b2β223  q 2b234β4  γ3 p  06. β3  a β4  b2β224  q 2b2β4 γ 4  34 p  07. τ1  kτ3  b2232  q 2b22  034(3.43)8. 0,5τ2  34  a γ 4  0,5b22  0,5q 2b2 γ 24  0249. γ1  a 12  b212 γ2  q 2b21424  010. γ3  a 34  b22324  q 2b2 γ434  011.

b21223  q 2b21434  012. 2a24  b2 γ 224  q 2b2 γ 424  14  23  013. 13  (a  b2 γ4q 2 )14  b21224  09114. 13  (a  b2 γ2 )23  q 2b23424  0Заметим, что в отличие от соотношений (3.34) в систему (3.43) входятновые коэффициенты p и q .Очевидно, что найти строгое аналитическое решение системы (3.43)также невозможно, поэтому нужно принять ряд допущений, принявкоторые можно получить14  23  0(3.44)12  34 τ1  kτ3NbУравнения 1 и 5 позволяют получить предварительные формулы длякоэффициентов β 2 и β 4β2   τ1m0  kτ3 ( y3i  d )  13 p  ,βb2 N4  τ1mi  kτ3 ( x3  d )  γ3 p q 2b2 N(3.45)Если положить 24  0 и решить квадратное уравнение 4 относительнокоэффициента  2 , то лучшим решением является приближенный ответγ2  γ4  τ  2N Na 22bba(3.46)Остается доопределить коэффициенты 13 и γ 3 .

Согласно уравнению10 величина γ 3 приближенно равнаγ3  N (a  b 2 γ 2 )(3.47)а в соответствии с уравнениями 13 и 14 при 24  14  23  0 коэффициент13  0 . Получив аналогичные оценки нужных коэффициентов, можно92убедиться, что в качестве промежуточного результата оптимальноеуправление u0опт и uiопт соответствует полученным выше формулам (3.40).Эффект переключения с одних асимптот на другие по мерепоступательного движения можно усилить, если ввести также переменныекоэффициенты для асимптот m1 и m2 . Тогда координация взаимодействияв месте сближения достигнет максимума, а оптимальное управление (3.40)примет следующий окончательный вид, если вернуть обозначениям (3.41)их первоначальное написание при произвольной разнице в курсовых углахψ2n  R2n   n    12in  1 m1  sign( y1i  y3i ).(1   )( y3i  d .signy3i ) dR1i    x1 u0опт  b.N  .1  n2n  R1i  Ri 2,3,..,i 11i d 2n  i  2,3,..,ia  τ 2  2 N   x2b(3.48)  R2n 1i1msign(yy).(1)(xd)  2n  i1i3i3duiопт  bN .cos(270  ψi ) y1i 2n R1i  1    2 n  da  τ 2  2 N   y2 ibmi  mi (0)  Vt cos(270  ψi )где N τ1  kτ3; R2  ( x1  y3i )2  ( x3  y1i )2 - расстояние между судами ,bψ - заданная разница в углах поперечного курса, x1, x2 , x3 , y1i , y2i , y3i текущие координаты движения судов.

При этом координаты x3 и y3i93соответствуют кратчайшим расстояниям до заданной линии пути отподвижного “препятствия” – сближающегося с поперечным курсомвстречного судна [14].Комментируя формулы (3.48), можно заметить, что вдали от местасближения при R  d при специальных выбранных параметрах   1 и2n2боковое2движениевстречногоиосновногосуднабудетстабилизировано относительно своих заданных линий пути m2 и m1 . НоприR2 1 целью управления станет безопасное уклонение судов сd2помощью асимптот x3  d и y3i  d .

Кроме того, в сигнале uiопт управлениявстречным судном присутствуют поправки как в передаточном числерегулятора, так и для асимптот mi и yi . Эти поправки исчезают приψi  90 или270.943.4 Выводы по главе 3На основании проведенных исследований можно сделать следующиевыводы:1.