Автореферат (Анализ безопасности функционирования систем летательных аппаратов при воздействии дестабилизирующих факторов), страница 2

Каждому j-му требованию ккачеству системы можно поставить в соответствие некоторую подобласть Ω jобласти устойчивости Ωу (Ωj ≤ Ωу) так, что для  X  j значение j-го критерияпри любом входном воздействии будет удовлетворять неравенству (3).9В общем случае качество системы управления объектом можно оценитьследующим выражением:  X ,T  lim  ... f X 1,..., X m ; t1,..., tm  D X 1,..., X m d X 1,..., X m 0(4)где  X , T - эффективность функционирования системы в течении времени Т;Ω-областьдопустимыхзначениийпараметров;0  t1, t2 ,..., tm  T ;  max  ti1, ti  ; f X1,..., X m ; t1,..., tm – плотность совместимого распределения mзначений случайного процесса X  t  .

Номинальное значение i-го параметра, какматематическое ожидание mxi процесса xi(t) в момент времени t = 0, иобозначим через xнi,xнi = mxi Функция D X(5)характеризует область Ω с точки зрения целевого назначениясистемы и определяет связь между эффективностью и значениями параметровсистемы:1, X D X 0, X  (6)Математическая модель процесса изменения параметров исследуемой  определяют конкретный видсистемы управления, область Ω и функция D Xкритерия оптимизации (4). Если справедливо (6) то  X ,T  P X ,T(7)где P X , T - вероятность безотказной работы системы в течении времени Т иявляется количественной оценкой надежности работы исследуемой системыуправления объектом. На основе данного критерия разработан поисковыйалгоритм решения задачи коррекции номиналов для случая, когда область Ωимеет произвольную конфигурацию.10В данной главе разработана объединенная математическая модельфункциональной связи контролируемых параметров системы ЛА.

Процессыизмененияпараметровэлементовможнопредставитьнестационарнымаддитивным случайным процессом видаX t   R t    t (8)где R  t  – некоторая функция времени,   t  - стационарный случайныйпроцесс. Аппроксимации составляющей R(t) процесса изменения параметрадостигается многочленами не выше второй степени, т.е.R  t   0  1t  2t(9)R  t   0  1tили(10)Требуется подобрать коэфициенты аппроксимирующей функции (9) так,чтобысуммаквадратовотклонений    xi  0  1ti   tni 122 i2былиминимальной.Далее разработаны и исследованы алгоритмы определения допусков напараметры безопасности системы управления ЛА.Пусть F есть обобщенный показатель живучести объекта, которыйфункционально связан с параметрами СУ x1, ..., xn:F= F(x1, x2, ..., xn)(11).Физически пределы изменения параметров x1, ..., xn ограничены и областьН их возможных значений задана неравенствамиAi0  xi  Bi0(12)где Ai0 , Bi0 - неизвестные числа.Требуется найти такие величины ximin ∈ H и ximах ∈ H чтобы для всех xiудовлетворяющих условиям:xi min  xi  xi max , i  1, nобласть Ω0 – называемая брусом:11(13)xi0min  xi  xi0max , i  1, n(14)где xi0min  H и xi0max  H и каждая его грань должна иметь хотябы одну точку,принадлежающую области Ω, с учетом ограничения: Ω ∈ Ω0; и область Ωв называемый брусом вложений в область Ω, при условии Ωв ≤ Ω; V- объемобласти Ω, V0 и Vв- объем Ω0 и Ωв; П0 и Пв- параметр Ω0 и Ωв.ПустьобластьΩпредставляетсобойэллипсоид,описываемыйуравнениемx  A  ( x)Т  C  0(15)где А- симметрическая матрица коэфициентов размерности n×n, С- константа.Пусть x0- точка эллипсоида, определяющая искомый брус.

Вершины этогобруса с помощью матрицы отражения запишутся как Мix0, i = 1, 2, ..., 2n.удовлетворяющие неравенствам  x x0  M i  A  M iTT0 C , i  1,2,...,2n(16)Задача вложения бруса максимального периметра или максимальногообъема в эллипсоид (15) представляет собой задачу: max   x (17)на множестве ограниченийx М i А М iT xT  C, i  1, 2, ..., 2n , x  0гдефункция x -функция,определяющая(18)периметрилиобъемвкладываемого бруса множество точек удовлетворяющих ограничениям (16).Алгоритм построения бруса Ω0.Пусть область Ω ограничена поверхностью F X  F0(19)где X - вектор, компонентами которого является параметры исследуемой системы; F0 - заданное значение критерия F X .Двигаясьпоповерхности(19),найдутсяточки,которыебудутпринадлежать гроням бруса Ω0 (точки касания).

Через найденные точки12проведены плоскости, параллельные координатным плоскостям. Пересечениеэтих плоскостей определит брус Ω0. Поиск точек касания по i-ой координатеосуществляется следующим образомРис.4. Геометрическая иллюстрация поиска точкикасания областей определения по i-ой координате.1. Из точки, полученной на предыдущем шаге и лежящей в области Ω(первоначально эта точка может быть любой из множества Ω, например, точкаX 0 (рис.4). Далее надо продолжить движение вдоль оси 0Хi, в сторону ееувеличения- уменьшения до пересечения границы области Ω (на рис.4 это точкаQ).

При этом остальные компоненты вектора X остаются неизменными.2. Значение компоненты xi на границе области Ω сравниваем с еезначением в исходной точке. Если новое значение xi возросло (уменьшилось),то переходим к следующему пункту 3. В противном случае к п.4.3.

Из найденной точки (точка Q на рис. 4) делаем шаг в область Ω, точкиQi1 на рис. 4 при фиксированной координате xi. Знак приращения по координатехj (j ≠ i) определяется следующим соотношением: SignEijSignX j  1  SignEijпри поискеxi maxпри поискеxi min(20)где0 при х  0F FSignX  ; Eij  :1прих0xj xi13(21)x j , j  iВеличинывыбираются исходя из требуемой точностипостроения бруса Ω0. С увеличением x j уменьшается точность, а скоростьпоиска увеличивается.

Поэтому при решении конкретной задачи сушествуютнекоторые оптимальные значения x j , которые при приемлемой точностиобеспечивают высокую скорость поиска xi max ( xi min ).4. Проверяется все ли величины xi max и xi min ( i  1, n ) найдены. Если«да», то переходим к п.6; если «нет», то к п.5.5. Индекс i увеличивается на единицу и управление передается к п.1.6. Конец поиска.Блок-схема алгоритма построения бруса Ω0 представлена на рис.5.ВходR:=11ДаN2 < 2N:0;N2:=0H1:=H[R]НетJ:=J2;H3:=H2[J2]I:=1НетJ:=R;H3:=1;T:=X[R]ДаI≤nH[I]:X0[I]X[J]:=X[J]+H3H[3]:=H3/3I:=I+1Нет12F1j≤Fj(x)≤F2j3ДаДаДаH2[J2]=0J2 ≤ nНетНетДаI:=1N2 < 2N2 < 2H2[J2]:=0НетH2[I]=0ДаI≤nJ2:=J2+12ДаN<2Да4I:=I+1НетНет3X[J]>TДаN2 < 2НетH2[R]:=0J2:=0Выход на печатьМах(X[R],X[1:n])X[J]<TR:=R+1ДаR≤n4НетНетH[3]<E[J]НетДаN2:=0ДаНетN2:=7Выход на печатьMin(X[R],X[1:n])X[J]:X[J]-H3N2:=0,N:=7H1:=-H[R]Вычисление частныхпроизводных и выбор поним знаков уприращений H2[J](I≠R)ОстановНет4ДаДаРис.6.

Продолжение рис. 5.Рис. 5. Блок- схема построения брусаΩоАлгоритм построения бруса Ωв.Из точки на границе области Ω проведем лучи, параллельныекоординатным осям. Пересечение этих прямых с областью Ω определяет n14вершин бруса первого приблишения Ωв1. Остальные 2n –(n+1) вершины могут ине принадлежать области Ω.

Поэтому надо найти те из вершин бруса Ωв1,которые лежат вне области Ω, и сместить их внутрь допустимой области(уменьшая соответствующие линейные размеры бруса Ωв1). Перебираяпоследовательно из 2n – (n+1) вершин и делая необходимую корректировкулинецных размеров Ωв1, получим искомый брус Ωв. Порядок перебора примемследующий. Сначала проверяем вершины, лежащие в двухмерных гранях,параллельных координатным плоскостям и включающих в себя исходнуювершину бруса Ωв1.

Если проверяемая вершина лежит вне области Ω, то еесоединяют диагональю с исходной вершиной и находят точку пересечениядиагонали с областью Ω и соответственно деформируют брус Ωв1.Блок-схема алгоритма построения бруса Ωв показана на рис.7.Вход3K:=1J≤ГA1[K]:=K,A2[n+1-K]:=K,A3[K]:=0ДаK≤nJ1:=A[I], Y3[J1]:=Y1[J1]-Y2[J2]НетK1:=K1+1I≤ГДаНетILI:=I+1K2 =02ДаA[I]:=A1[I]+K1НетF1j F(x0)F2jjL:=JДаT:=T-H1Г:=P, I:=1ДаH1:=H1/32T:=T+H1I:=1I≤nДаA3[I-1]:=K1J:=J-1T1:=T1+1K2:=K2+1ДаA3[K2]:=A3[K2]+1K1:=A3[K2]ДаI≥2НетI:=K2H1<E04НетНетДаN1 =1НетI:=I+1НетP<nI:=I-1Y1[J1]:=X0[J1]A[J]<A2[T1]J =1T:=T-H1I:=I+1J1:=A[I], X0[J1]:=J2[J1]+T+Y3[J1]N1:=N1+11ДаI:=1НетДаДаJ1:=A[I]ДаНет (Y1[J1]-X[J1])>>(X0[J1]-X[J1])T:=1, N1:=0, H1:=H0J:=P,T1:=1K2:=0I:=DI≤ГI:=I+1K:=K+1K1:=K2:=0, L:=T1:=1, P:=J:=2I:=1ДаX0[I]:=X[I], J2[I]:=X[I]P:=P+1, J:=P,K1:=K2:=0,T1:=L:=1I:=11Нет4НетНетI≤nДаA3[I]:=03ВыходI:=I+1Рис.7. Блок- схемаРис.8.

Продолжение 1.I:=I+1Рис.9. Продолжение 2.программы построениябруса ΩвВ данной главе также разработан и исследован алгоритм выбора номиналапараметров безопасности системы управления. Требуется найти минимум15 функционала   , где  - вектор оптимизируемых параметров. На первом этапе i+1-го шага поиска минимума функционала   jиз m1 пробных точекY i 1   i 2   i   i 2 hZ   , j  1, m1j(22)где h- длина пробного шага, Z- случайная величина, распределеннаяравномерно на отрезке [0,1], выберется та точка, удовлетворяющая условию   Y i 1  inf  Yi  1jj1,m1 (23)и полученоk k  i1   G  Y i1 k  1, m2где   r  i   i 2(24)- радиус сферы с центром в точке Y i 1 , r - константа,k   12  22  ...

 n2 - норма вектора  (здесь    i   i2 ), G - вектор,компонентами которого являются независимые нормально распределенныеслучайные величины с нулевым математическим ожиданием и единичнойk дисперсией. Из всех  i 1 запоминаем такой вектор  i 1 , для которого  k   i 1  inf   i 1k1,m2 (25)Таким образом i1   i2   i   i2 hZ *   G**где Z * и G удовлетворяют условиям (22) и (24) соответственно.На рис.10. приведена геометрическая иллюстрация поиска на первомэтапе, где первые три точки взяты произвольно.Дляпроверкиработоспособностипредлагаемогоалгоритмабылаполучена серия экспериментальных расчетов на компьютере по отысканиюглобального минимума функционала.16 1 ,2 ,..., n    i2  cos(18i ) n(26)i 1с зоной поиска 1  i  1 при n = 2, 3 и 5.