Отзыв оппонента 1 (Математическое моделирование задач механики деформируемого твердого тела и численные методы их решения)

ОТЗЫВ официального оппонента на диссертационную работу Леонова Сергея Сергеевича на тему «Математическое моделирование задач механики деформируемого твердого тела н числанные методы нх решения», представленную на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 05. Ш 8 — «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» В диссертационной работе Леонова С. С.

исследуются вопросы, связанные с численным решением жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений (СОДУ), правые части которых могут терять смысл н проводится построение моделей, описываемых жесткими СОДУ. Актуальность темы исследовании. Жесткие задачи Коши для СОДУ и матоды их решения начали активно исследоваться с 50-х годов прошлого века. При этом„на сегодняшний день не сушестВуат не толькО общих метОдов решения жестких задач, но н общепринятого определения жесткости. Потребность же в новых более эффективных методах решения жестких задач ощущается все больше, так как значительное число практических задач яаипотся жестки ми, например задачи химической кинетики, электродинамики н т. д.

Тем более это относит~я к системам уравнений, правые части которы~ могут принимать б~~~~~~ значения и даже ст~н~вить~я неограниченнымн„т. е. к плохо обусловленным задачам. К подобным задачам относятся уравнения с малым параметром при старшей производной„задачи с пограничным слоем, ряд задач эволюции популяций и т. д. На данный момент отсутствуют универсальные методы решения плохо Обусловленных задач. Явные методы в большинстве случаев не применимы к указанным задачам, а неявные, например формулы дифференцирования назад или методы Гнра„ Обладают достаточным запасом устойчивости, но имеют ряд трудностей в реализации, так как сводятся к решению систем нелинейных уравнении.

В диссертационной работе продолжены исследования, посвящанйые использованию наиболее общего на сегодняшний день подхода к решению плохо Обусловленных задач — матОда продолжения решения по параметру и наилучшей парамагризации. Этот метод позволяет преобразовать плохо обусловленную закачу путем замены исходного аргумента задачи на наилуппнй аргумент, отсчитываемый вдоль интегральной кривой задачи, так, что уравнения параметризованной нм задачи имеют ограниченные правые частн, а сама параметризованная задача — наилучшую обусловленность. Помимо разработкн и исследования методов решения плохо обусловленных задач Коши, в диссертационной работе рассмотрена также задача идентификации моделей, описываемых начальнымн задачами для СОДУ со скалярными параметрами.

Подобные задачи относятся к коэффицнентпым Обратным задачам и находят широкое применение прн моделировании процессов, наследуемых в механике, машиностроении, гидроаэродннамике и т. д. Обратные задачи являются некорректными и требуют для своего решения специализированных методов. Несмотря на то, что обратные задачи исследуются уже более века, все же существует потребность в новых, более ойцих методах их решения. В диссертации для решения задачи . Нн-.моделай, ':Л.ЦЛП, Ф й.. -,—,ф; возникающих при расчете деформирования металлических конструкций в условиях ползучести прн постоянных напряжениях, применяется подход, используюпзий искусственные нейронные сеги.

Нейросетевое моделирование с использованием искусственных нейронных сетей актпвно развивается начиная с 40-х годов прошлого века. Увеличение производительности современных ЭВМ позволило нейросетевому моделированию найти применение в таких задачах как распознавание образов, обработке больших массивов данных, решении задач математической физики со сложной геометрией и т. д. Методы нейросетевого моделирования позволяют регуллризнровать решаемую задачу идентификации и получить решение в виде разложения по нейросетевому базису.

Полученные в диссертации результаты позволяют судить о применимости нейросетевого подхода к решению подобных задач и находятся в русле современных направлений исследования в области и~~усс~~енн~х лайрони~~ с~~ей. Все вышесказанное определяет актуальность темы исследования, Научили новизна полученных результатов, В диссертации наилучшая параметризацня применяется к новому классу задач расчета деформации и длительной прочности металлических конструкций в условиях ползучести, описываемых плохо обусловленными залачамн Коши для СОДУ с двумя предельнымн особымн точками, Показанные преимушества наилучшей параметризацин позволяют судить об эффективности данного подхода при решении задач данного класса. Помимо наилучшей параметрнзации в диссертации рассмотрено продолжение решения по новому аргументу, который назван модифипнрованным наллучшим и получен путем преобразования наилучлзего аргумента.

Обусловленность задач преобразованных модифицированным наилучшим аргументом ниже наилучшей, но она имеет более простой вид, что дает возможность проводить вычисления быстрее. В диссертации предложен н обоснован подход к оценке обусловленности задлч преобразованных модифицированным нанлуппим аргументом, основанный на сопоставлении с наилучшей обусловленностью.

Доказано, что среди всех модифицированных аргументов продолжения специального види только наипуппий аргумент доставляет исхолной задаче Коши наилучшую обусловленность. В задачах идентификации моделей ползучестн используется нейросетевой подход, разрабатываемый в работах Д. А. Тархова и А, Н. Васлльева, заюпочающнйся в разложении искомых функций по нейростевому базису, в качестве которого используются однослойные персептроны различного типа. Поиск решения и параметров модели осуществляются одновременно путем мннимизаци~ функционала ошибки равного сумме взвешенных невязок. С использованием экспериментальных данных палучены модели для ряда задач полз учестн и вычислены относительные погрешности результатов моделирования по отношению к эксперименту. Для снижения времени обучения нейронной сети предложена комбинация алгоритмов нейросетевого моделирования н параметрнзации, Этот подход дал возможность сократить время обучения в разы прн сохранении точности моделирования.

Методы нейросетевого моделирования показали свою эффективность также при решении некорректной задачи определения установившегося напряженного состояния во вращающемся лиске, сводящейся к граничной задаче с частична заданными граничными условиями. Метод нейронных сетей позволяет регулярнзировать данную задачу н получить ее решение. При этом традиционные методы решения граничных задач требуют наличия дополнительной информации о протекании процесса деформирования, Практическая значимость результатов диссертации. Все исследуемые и разработанные в диссертации методы могут быль использованы для решения практических задач, Создан комплекс программ, реализующий метод наилучшей параметризации решения плохо обусловленных задач Коши. Достоверность полученных результатов обуславливается использованием апробированных н экспериментально подтвержденных определякицвх соотношений ползучести и корректных численных методов решения, соотвегствуюппгх особенностям рассматриваемых в лиссертации задач.

Все полученные результаты сопоставипотся с экспериментом, расчетными даннымн„полученными в работах других исследователей, и имеющимися аналитическими решениями рассматриваемых задач. Также достоверность полученных раз уль татов подтверждается вычислением относительной погрешности полученных приближенных решений и сравнением между собой результатов ращения, полученных различными методами. Обоснованность полученных результатов. Все теоретические результаты, полученные в диссертации, снабжены подробными доказательствами.

Выводы„положения и рекомендации, которые даются в тексте работы, подтверждены результатами решения достаточного числа тестовых задач. Это говорит о том, что результаты диссертационной работы в досгаточной степени обоснованы. 1. Прн использовании метода нейронных сетей не поленец выбор функционала ошибки в квадратичном анде, а также выбор базисных функций для конкрапюй задачи.

2. Идентификация моделей пол зучести проводится лишь для постоянных напряжений и темперкгур. Стоило бы также рассмотреть идентификацию моделей для переменных напряжений и температур, так как именно такие процессы чаще всего встречаются в реальности, тем более, что в диссертации описана возможность реализацни подобных задач. 3. В диссертации недостаточно ясно сформулирован алгоритм выбора фар~~ модифицированного наилучшего аргумента применительно к конкретной задаче. 4. В диссертации присутствует ряд неизбежных грамматических и пунктуационных ошибок.

Сделанные замечания не уменьшают общего хорошего впечатления от работы, нося скорее рекомендательный характер для дальнейших исследований. Заключение. Диссертационная работа Леонова Сергея Сергеевича соответствует требованиям п. 9 айоложеппя о порядке присуждения ученых етепепейв и является законченным научным исследованием на актуальную тему„содержащим новые теоретические результаты и имеющим практическое значение.