Автореферат (Исследование устойчивости резонансных вращений спутника на эллиптической орбите), страница 2

Келдыша РАН.Работа поддержана грантом РНФ № 14-21-00068.Публикации.Основные положения диссертационного исследования опубликованы в9 научных работах, из них 4 статьи [1–4] в журналах, входящих в переченьВАК, и 5 публикаций [5–9] в различных сборниках и материалах конферен­ций.Личный вклад автора. Содержание диссертационной работы и основ­ные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад авто­ра в опубликованные работы и получены лично автором. Постановки задач,исследованных в рамках подготовки диссертационной работы, задавались на­учным руководителем.6Структура и объем работы.Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения,списка литературы из 70 наименований и двух приложений.

Работа содержит7 иллюстраций. Общий объем диссертации составляет 107 страниц.Содержание работыобоснована актуальность диссертационной работы, сфор­мулирована цель и задачи работы, приведен обзор исследований плоских ре­зонансных движений спутника и дано краткое изложение содержания работыпо главам.В первой главе приведен вывод уравнений движения спутника относи­тельно центра масс на эллиптической орбите, выписаны точные решения этихуравнений, описывающие резонансные вращения спутника, сформулированыпостановки задач об их устойчивости и с точностью до членов четвертой сте­пени выписаны разложения гамильтониана возмущенного движения в ряд вокрестности указанных точных решений.Спутник моделируется твердым телом, движущимся в центральном нью­тоновском гравитационном поле сил по кеплеровской эллиптической орбите.Для описания его движения относительно центра масс вводятся две системыкоординат: орбитальная система координат , оси которой направле­ны по радиус-вектору центра масс относительно притягивающего центра, потрансверсали и по нормали к орбите, и связанная система координат ,оси которой направлены вдоль главных центральных осей инерции спутника.Моменты инерции спутника относительно осей связанной системы координатобозначены через , и .

Ориентация связанной системы координат отно­сительно орбитальной задается углами Эйлера , , . Следуя [17], введе­ны обобщенные импульсы и уравнения движения записаны в гамильтоновойформе. Если моменты инерции и эксцентриситет орбиты удовлетворяютсоотношению3( − )/ = −2,(1)Во Введениито уравнения движения имеют частное решение [12]11(2) * = − , * = , * = 0,22где – истинная аномалия.Решение (2) описывает резонансное вращение спутника, при котором егоглавная центральная ось инерции направлена по нормали к плоскостиорбиты, а сам спутник совершает один оборот в абсолютном пространстве задва оборота центра масс по орбите (резонансное вращение типа 1:2).Если же моменты инерции и эксцентриситет орбиты удовлетворяют со­7отношению( − )/ = 2,(3)то уравнения движения имеют частное решение [10, 11]* =11, * = , * = 0.22(4)Решение (4) представляет собой резонансное вращение спутника, прикотором его главная центральная ось инерции направлена по нормали кплоскости орбиты, а сам спутник совершает в абсолютном пространстве триполных оборота относительно нормали к плоскости орбиты за два оборотаего центра масс по орбите (резонансное вращение типа 3:2).Поскольку в дальнейшем предполагается выполнение условия (1) иливыполнение условия (3), то в задаче об устойчивости резонансных вращенийимеется два независимых параметра.

В качестве таких параметров выбраныэксцентриситет орбиты и инерционный параметр = /. Параметр имеетограниченную область значений, определяемую неравенством0<≤6,3 + 2(5)для резонансного вращения (2) и неравенством0<≤21 + 2(6)для резонансного вращения (4). Причем в последнем случае эксцентриситеторбиты также ограничен интервалом значений 0 < ≤ 12 . Данные ограниче­ния являются простым следствием неравенства треугольника для моментовинерции.В диссертационной работе рассматривается задача об устойчивости ре­зонансных вращений (2) и (4) в следующих постановках:∙ задача об устойчивости резонансных вращений спутника с учетом толь­ко плоских возмущений, т.е.

таких возмущений, при которых его глав­ная центральная ось инерции сохраняет неизменным свое направле­ние по нормали к плоскости орбиты;∙ задача об устойчивости резонансных вращений спутника при наличиикак плоских, так и пространственных возмущений, при которых глав­ная центральная ось инерции может отклоняться от нормали к плос­кости орбиты;∙ задача об устойчивости резонансных вращений динамически симмет­ричного спутника по отношению к возмущениям, при которых проекция8кинетического момента спутника на ось его динамической симметрииравна нулю (как в невозмущенном движении).решается задача об устойчивости по Ляпунову резо­нансного вращения (2) с учетом только плоских возмущений.

Ранее эта зада­ча исследовалась в [19, 20]. В диссертационной работе исследование устойчи­вости проводилось для неисследованных ранее значений эксцентриситета.В данной постановке задачи об устойчивости возмущенное движениеописывается периодической по гамильтоновой системой дифференциаль­ных уравнений второго порядка, содержащей только один независимый пара­метр (эксцентриситет орбиты ).Выводы об устойчивости в первом приближении были получены на ос­новании анализа корней характеристического уравненияВо второй главе2 − 2 + 1 = 0(7)линеаризованной системы, где = [11 (2)+22 (2)]/2. Функции 11 (), 22 ()являются элементами матрицы фундаментальных решений X(), удовлетво­ряющей начальным условиям X(0) = E2 , где E2 – единичная матрица вто­рого порядка. Коэффициент вычислялся путем численного интегрирова­ния линеаризованной системы.

Расчеты показали, что при приближении к единице происходит чередование областей устойчивости и неустойчивости.Численное интегрирование линеаризованной системы для значений эксцен­триситета близких к единице требует очень большой точности и становитсязатруднительным. Поэтому расчеты производились для значений эксцентри­ситета 0 < < 0.999933. Оказалось, что в интервалахU1U2U3U4= [0.32173093; 0.90010166] ,= [0.9179098746; 0.9905450175] ,= [0.9921141694; 0.99916659849] ,= [0.99930356235; 0.999918785804]резонансное вращение (2) неустойчиво, а в интервалахS1S2S3S4S5= [0; 0.32173093] ,= [0.90010166; 0.9179098746] ,= [0.9905450175; 0.9921141694] ,= [0.99916659849; 0.99930356235] ,= [0.999918785804; 0.999932116844]резонансное вращение (2) устойчиво в линейном приближении.

Интервалы1 , 2 , 1 , 2 впервые были обнаружены в работе [20], а их границы былиуточнены в работе [19].9Для строгого решения вопроса об устойчивости резонансного вращенияв областях ( = 1, . . . , 5) было выполнено дополнительное исследованиеустойчивости с учетом нелинейных членов в правых частях уравнений воз­мущенного движения. Данное исследование проводилось на основе метода,разработанного А.П.Маркеевым [15, 18].

Основная идея указанного методасостоит в построении симплектического отображения, генерируемого перио­дической гамильтоновой системой с одной степенью свободы, и дальнейшемисследовании устойчивости неподвижной точки этого отображения. Задачаоб устойчивости неподвижной точки эквивалентна задаче об устойчивостиположения равновесия исходной гамильтоновой системы.Нелинейный анализ устойчивости показал, что в областях S ( = 1, .

. . , 5)за исключением некоторых резонансных точек, а также особых точек * =0.23340371 и ** = 0.907502979 вращение (2) устойчиво по Ляпунову. В осо­бых точках необходимо учитывать члены до шестой степени включительно вразложении гамильтониана возмущенного движения.Приведем результаты исследования в резонансных точках.

Резонансыпервого и второго порядков имеют место на границах областей S ( = 1, . . . , 5).Выводы об устойчивости в этих точках даны в таблицах 1 и 2 соответственно.Таблица 1:Результаты анализа устойчивости в слу­чаях резонансов первого порядка.ЗначениеОбласть эксцентриси­тетаS20.9179098745S30.990545017S40.9993035623S50.9999187858Таблица 2:Выводы обустойчиво­стинеустойчивостьнеустойчивостьнеустойчивостьнеустойчивостьРезультаты анализа устойчивости в слу­чаях резонансов второго порядка.ОбластьS1S2S3S4S5Выводы обустойчиво­сти0.321731устойчивость0.90010157устойчивость0.992114169устойчивость0.9991665985 неустойчивость0.99993211684 устойчивостьЗначение экс­центриситетаВыводы об устойчивости для значений эксцентриситета, отвечающих ре­зонансам третьего и четвертого порядков, представлены в таблицах 3 и 4.10Таблица 3:Результаты анализа устойчивости в слу­чаях резонансов третьего порядка.Выводы обОбластьустойчиво­стиS10.2777452неустойчивостьS20.9049395неустойчивостьS30.991748982неустойчивостьS40.9992031462 неустойчивостьS50.999929008032 неустойчивостьЗначение экс­центриситетаТаблица 4:Результаты анализа устойчивости в слу­чаях резонансов четвертого порядка.Выводы обустойчиво­сти0.2261418неустойчивость0.9094951неустойчивость0.991367255устойчивость0.9992380312устойчивость0.99992576233 устойчивостьЗначение экс­ОбластьцентриситетаS1S2S3S4S5Для решения вопроса об устойчивости в особых точках = * и =** , был получен явный вид симплектического отображения, отвечающего га­мильтониану возмущенного движения, до членов пятой степени включитель­но, а затем была выполнена нормализация этого отображения.

На основаниианализа коэффициентов нормализованного отображения были сделаны выво­ды об устойчивости по Ляпунову в указанных особых точках.Результаты второй главы опубликованы в статье [4].В третьей главе продолжено исследование устойчивости по Ляпуновурезонансного вращения (2). Здесь анализ устойчивости проводился в рамкахлинейного приближения с учетом как плоских, так и пространственных воз­мущений.В линейной задаче об устойчивости плоские и пространственные воз­мущения независимы, т.е.