Диссертация (Численное моделирование детонации газокапельных смесей в каналах), страница 4

отслеживать только полные перепады параметрови их эволюцию во времени. При этом соответствующие перепады должныудовлетворять соотношениям, получаемым в предположении бесконечной малоститолщин указанных зон из условий равенства нулю перепадов потоков вещества,импульса и энергии, т.е. их непрерывности. В случае, когда характерное расстояниеизменения параметров частицувsD uss,sвелико по сравнению с толщиной ударной волныmax(ses u s ms 1, , ) ,es u s msув:(2.14)( s - характерное время существенного изменения параметров диспергированной фазы,D- скорость УВ) соотношения на разрыве имеют вид:[ ( D u)] 0 ;[P(2.15)( D u)2 ] 0 ;[(D u)(ep(2.16)( D u)2)] 0 ;2(2.17)[us ] 0, [es ] 0, [ms ] 0 .(2.18)Квадратные скобки означают разность между значениями, заключенных в них,комплексов, перед- и за- разрывом, т.е. они являются непрерывными на разрывах.Слойсмешения(контактныйразрыв)характеризуетсядополнительнымсоотношением:[D U ] 0 .(2.19)Из (2.15) - (2.18) следует, что на контактном разрыве:[U ] 0, [ P] 0 .(2.20)В случае ударной волны соотношения (2.15) - (2.18) дополняются условияминепрерывности концентраций компонентов:[ i]0, i 1,..., N .(2.21)Условия (2.21) справедливы, если для концентраций химических компонентоввыполняется критерий аналогичный (2.14).19На граничных траекториях частиц, отделяющих зону, занятую чистым газом отгазокапельной смеси, параметры, характеризующие газовую фазу непрерывны, а числочастиц в единице объема n s , терпит разрыв (равно нулю в точке со стороны чистого газа).Для замыкания системы уравнений используют термические и калорическиеуравнениясостояния,видкоторыхопределяетсяиспользуемоймодельютермодинамических свойств веществ:ee( P, T , ) ;(2.22)( P, T , ) ;(2.23)es ( P, T , ) ;(2.24)( P, T , ) .(2.25)esssПри рассмотрении течения за УВ введем автомодельную координату:x (расстояние от ударной волны до рассматриваемой точки x, t – время) (Dtрис.

2.1а), vD u s - скорость газа и частиц относительно УВ, аD u , vsиндексом “0” обозначить параметры перед УВ. Тогда из системы уравнений (2.1)- (2.10) можно получить следующую систему дифференциально - алгебраическихуравнений:v ns ms vsv p ns ms vs22(2.26)2p0 ns 0ms 0vs 0 ;2v0) ns 0 ms 0 vs 0 (es 020ns 0 v s 0 ;ns v sins ms vsdvsdmsdmsvsdusdus ;(2.27)vs)22p00 v0 (e0d vv0 0v2) ns ms vs (es2pv(ens 0 ms 0vs 0 ;v0 02vs 0);2(2.28)(2.29)isWSWi , i 1,...,N ;S/ ns ;(2.30)(2.31)(2.32)20dms hsdvsгде hs ,isHs,(2.33)- энтальпия, число молей i-ого вещества в килограмме массы частицы,соответственно; H s - выражение, описывающее скорость изменения энтальпии.Начальные условия длясистемы обыкновенных дифференциальныхуравнений (2.30-2.33) задаются непосредственно за- ударной волной.

Припереходе через ударную волну остаются неизменными масса, скорость итемпература частиц, а также состав газовой смеси.i(0)i1i0, ms (0)m1mi 0 , us (0)us1us 0 , H s (0)H s1H s0 .(2.34)При решении системы (2.26)-(2.33) предполагается, что двухфазная смесьперед ударной волной находится в состоянии скоростного и температурногоравновесия:uV 0ul 0u0 , Wi0, u s0, m s0, H s0.Также необходимо отметить, что в случае впрыска частиц (рис.

2.1б)vu,vs(2.35)x,u s , индексом “0” обозначены параметры в сечении впрыска, которые(идентичны (2.34)) являются начальными условиями, для (2.26-2.33),при этомусловия (2.35) могут не выполняться.Для замыкания системы (2.26-2.34) используются модели термодинамики,химической кинетики, сопротивления и тепломассообмена, которые будутописаны ниже[3, 41, 215, 218, 219].21(a)(б)Рис.2.1. (а) Стационарная ударная волна; (б) Случай впрыска частицСистема уравнений (2.26)-(2.34) содержит стационарную точку, которойсоответствует равенство нулю правых частей (2.30-2.34). В рассматриваемомслучае возможны чисто “газофазная” Wi (V , T , 1 ,...,N)0 , i 1,2,, N и ms0,N)0 , i 1,2,, N ; ms0 , msи двухфазная Wi (V , T , 1 ,...,0 , us0, Hs0,стационарные точки.Из системы (2.26-2.34) может быть получено дифференциальное уравнение дляскорости:a2 (hTpTns vs hsns vs ms vЗдесь a 21)(M 2 1)dvNvhi 1vs22v22hhTpTp1a2hTpT1(v vs ) dushhTpTp, MhT1pTaihTppTidivhT(v vs ) dmspT,ns vs ms dhs, a – скорость звука, нижние индексы “T”, “ ”, “ i ”– означают частное дифференцирование по соответствующему параметру.

Из22термодинамики следует, чтоhTpT1 0 . Записанное дифференциальное уравнениедля относительной скорости содержит особенность в случае, когда в процессерешения M 2 1 0 , а правая часть уравнения не равна нулю, в этом случае системарешения(2.26-2.34)неимеет.ТочкаЧепмена-Жуге,соответствуетодновременному выполнению равенства M 2 1 0 и достижения состоянияравновесия (стационарной точки системы).Рассмотрим случай, когда в начальный момент времени скорости газа икапель и газа совпадают ( v0 vs 0 ), и в процессе эволюции системы каплиполностью испаряются.

Тогда параметры в стационарной точке могут бытьнайдены из решения системы нелинейных уравнений:v0 0vns 0 ms 0 v s 0 ;v2p0 0v(hv2p02(2.36)ns 0 ms 0 v s 0 ;2v2)20 v0 ( h0Wi ( , T , 1 ,...,N)v0) n s 0 m s 0 v s 0 (es 021,2, , N .0, iОбозначим через:2vs 0);200ns 0 ms 0(2.37), h0h0 00ns 0 ms 0es 0, тогда система приметns 0 ms 0вид:0vv2hv0 ;0pv22v02(2.38)p0 ;2h0Wi ( , T , 1 ,...,v0;2N)0 , i 1,2,, N .Эквивалентными преобразованиями система (2.38) приводится к виду:pp0v02(V V0 )V020;(2.39)231(p2e e0ii(V , T ,p0 )(V V0 ) 0 ;01,...,00 , i 1,2,, N .)Ne(2.40)(2.41)Для смеси совершенных газов:N0i ei (T ),eRTVpi 1N0kAki0ins0 ms0isi 1Ni,(2.42)i 1, k 1,2,, N e .0Выражение (2.39) задает на плоскости р-V, так называемую, прямуюМихельсона, обозначающую линейную связь между давлением и удельнымобъемом, (2.40) - (2.42) - равновесную детонационнуюи дефлаграционнуюадиабату.

Решение (2.39) - (2.42) задает множество достижимых (стационарных)точек системы (2.26) - (2.34), при сделанных выше предположениях, взависимости от начальной скорости v 0 .2.2 Модель термодинамики и химической кинетикиВ рассматриваемом случае, газовая смесь представляет из себя смесьсовершенных газов, термодинамические свойства которой описываются заданиемпотенциала Гиббса [98], вида :NG( p, T , )Nii 1[ RT ln( p i / P0j) Gi0 (T )] ,(2.43)j 1где R 8.3144 Дж /( мольK ) - универсальная газовая постоянная, P0 101325 Па стандартное давление, Gi0 (T ) - известные функции, стандартные молярныепотенциалы Гиббса отдельных компонентов [98].24Потенциал Гиббса жидкости, считается зависящим от температуры идавления:1GS ( p, T )1( p P0 )S (T )GS0 (TS )SЗдесьS,остальныеS.(2.44)- молекулярный вес, плотность жидкости, соответственно.

Всетермодинамическиепараметрымогутбытьрассчитанысиспользованием выражения для потенциала Гиббса и его частных производных.Например, связь между удельным объемом, давлением, температурой иконцентрациями (уравнение состояния Менделеева-Клайперона), можно записать:NRTGpv 1/ii 1pT.(2.45)Энтропия S:GTSNSi0 (T )j )) , где0R ln( p i / P0i ( Si (T )i 1P( j)Gi0 (T )T.(2.46)PЭнтальпия h:Nh0i H (T ) , где H i0iG TSGi0TPRT.(2.48)) Gi0 (T ) .(2.49)Gi0 Ti 1.(2.47)Внутренняя энергия e:eG TSNpiEi0 (T ) ,где Ei0H i0i 1Химический потенциалGRT ln( piiP ,T ,j, j iii:/ P0j( j)25Кинетический механизм газофазных реакций полагается многостадийным исостоящим из обратимых реакций [215].N (r )i (r )NMiii 1M i , r 1,..., N r ,(2.50)i 1здесь r - номера стадий,молекулили ( r )iатомов- стехиометрические коэффициенты, M i - символыхимическихкомпонентов.Стехиометрическиекоэффициенты являются неотрицательными числами: целыми в случае реальныххимических реакций, вещественными - в случае брутто реакций.Выражения для W i отвечающие механизму (2.50), имеют следующий вид[215]:Wi( (r ) (r )ii)(W ( r ) W ( r ) ) ,(2.51)(r )W (r )K ( r ) (T ) exp ( r )iln(i) .(2.52)(i )С целью согласования кинетики типа (2.50) - (2.52) с термодинамикой,описываемой потенциалом Гиббса вида (2.43), использовалась следующая связьмеждуконстантамискоростейкаждойпарывзаимообратныхреакций,образующих обратимые стадии (2.50) [215]:K ( r ) (T )K ( r ) (T )exp( (r )(i )i ( r ) Gi0 (T )RTlni )RTP0.(2.53)Для аппроксимации температурной зависимости констант скоростейпрямых реакций используется обобщенная формула Аррениуса (2.54) [222].K (T )A exp(ERTn ln T ) .Процесс испарения может быть описан “реакцией фазового перехода”:(2.54)26M SLM SV, соответственно WSВ “равновесном” случаеim s ns /S.находятся из условий химического равновесия,которые могут быть записаны в параметрической форме (2.55) и уравненийсохранения элементного состава (2.56):Nei( ,T , )Aik z K , i 1,2,...N ,(2.55)K 1NAiki0k, k 1,2,...

N e ,(2.56)i 1здесь N e - число элементов, N – количество рассматриваемых компонентов,0k-мольно-массовые концентрации элементов - известные величины, определяемыепо начальному составу, z K - неизвестные параметры. Соотношения (2.55) - (2.56)задают концентрации, как неявно-заданные функции плотности, температуры иэлементного состава:ii( ,T ,0).(2.57)2.3 Модель сопротивления и тепломассообмена испаряющейся частицы икоэффициентов молекулярного переносаМодели сопротивления и тепломассообмена испаряющейся частицыописывают зависимости uS , mS , H S от текущих значений параметров частиц иобтекающегоихгаза.Используютсяполуэмпирическиекритериальныезависимости, обобщенные [4] на случаи квазистационарных, континуальныхрежимов тепломассообмена и сопротивления одиночных, испаряющихся частиц,обтекаемых многокомпонентным газом [215].Уравнение движения частицы под действием увлекающих ее вязких силгаза имеет вид:274 3r3s34uSduSdtSdSCD r 2(u uS ) 2 (u uS ),2 u uS(2.58)C D u u S (u u S ) ,(2.59)здесь r - радиус частицы, d S - диаметр частицы, ,S-соответственно плотностьгаза и вещества частицы, C D -коэффициент лобового сопротивления.