Короленкo П.В. Оптика когерентного излучения, страница 6

Углы  1,  2,  3 -соответственно углы снормалью падающего, преломленного и отраженного лучей. Все три луча и нормаль кповерхности расположены в плоскости падения. Хотя эти законы получены для случая паденияплоской волны на плоскую границу раздела однородных сред, они выполняются и для неплоскойграницы между плавно неоднородными средами, если поле сохраняет лучевую структуру (1.3.9).1.3.4.

Лучевые трубкиПерейдем от лучевой структуры поля, т.е. системы волновых фронтов S=const и лучей  S, копределению амплитуд. В лучевых координатах  ,  ,  уравнения переноса (1.3.7), (1.3.8)сводятся к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, и можно выписать в общемвиде их решения.Решение уравнений переноса для двух первых членов ряда (1.3.4) имеет вид:(1.3.17)(1.3.18)Здесь(1.3.19)- якобиан перехода от декартовых координат к лучевым; параметр , вообще говоря, произволен.Якобиан (1.3.19) легко вычисляется, если известны уравнения семейства лучей.Например, цилиндрическая волна есть геометрооптическое поле, если исключить областьпорядка  вблизи начала координат.

Лучи совпадают с радиусами: под лучевымикоординатами  ,  ,  следует понимать  , z, r/n. D ( )=nr;иРазумеется, цилиндрическая волна может распространятся только ваксиально-симметричной среде (в частности, в среде с постоянным n). В сферическисимметричной среде распространяется сферическая волна,здеськоордината отсчитывается от центра волны, так что радиус кривизны волнового фронта R= .

Вобщем случае поверхности с двумя главными радиусами кривизныОпределим теперь понятие лучевой трубки. На начальном волновом фронте  =исходную поверхность s( ) бесконечно малого размера (рис. 1.3.2)..возьмемЛучи, выходящие с контура поверхности, образуют стенки лучевой трубки.Величинапропорциональна отношению площадей элементарной лучевой трубки:, (1.3.20)и может быть названа расходимостью лучей. Отсюда для нулевого, т.е. геометрооптического,приближения из (1.3.17), (1.3.20) получаем. (1.3.21)Таким образом, в геометрической оптике амплитуда на луче определяется только амплитудой натом же луче в любой точке, откуда этот луч пришел, геометрической расходимостью лучевойтрубки и изменением n вдоль луча. Формула (1.3.17), таким образом, означает, что в лучевойтрубке сохраняется поток энергии(1.3.22)Все лучевое поле можно себе представить состоящим изтонких трубок, причем в каждой трубкераспространяется та энергия, которая была в ее начале.Распространение энергии в трубке происходитнезависимо от соседних.

Геометрическая оптика, котораяограничивает ряд (1.3.4) первым членом, допускает, чтона протяжении произвольно длинной границы между лучевыми трубками с разнойинтенсивностью и, в частности, на границе между освещенной областью и теневой - не будетникакого обмена энергией.Предположение о том, что взаимодействие между лучевыми трубками пренебрежимо мало, можетоказаться неверным при продвижении вдоль трубки на достаточно большое расстояние.Действительно, уже для первого коэффициента лучевого разложения А1 (1.3.18) кроме слагаемого,учитывающего геометрическую расходимость лучей, есть еще интегральное слагаемое, котороесодержит производные амплитуды предыдущего приближения А0. Если бы А1 и А0 быливеличинами одного порядка, то влияние А1 на суммарное поле, как это следует из лучевогоразложения (1.3.4), было бы в k раз меньше, чем влияние А0.

Но эффект взаимодействия междулучевыми трубками из-за интегрального, накапливающегося характера А1 на достаточно длинномпути может существенно превзойти изменение А0, связанное с изменением сечения трубки илипоказателя преломления n вдоль луча.Итак, геометрическая оптика не дает правильного решения не только в случае, если член лучевогоразложения А1/k становится сравнимым с геометрооптическим членом А0.

Геометрическая оптикане может так же ничего сказать о поле в области тени, куда не проникают лучи. Наконецупомянем третий случай отказа геометрической оптики.Он относится к ситуации, когда выделенная на заданном волновом фронте лучевая трубка приподходе к некоторой точке схлопывается, т.е. площадь трубки s( ) становится равной нулю. Приэтом нулевой член лучевого разложения (1.3.21) становится бесконечно большим.

Это означает,что структура поля локально не близка к плоской волне и основные геометрооптическиепредставления теряют свой смысл.1.3.5. Точка стационарной фазы. Область влиянияПусть вдоль луча r0, r0 (см. рис. 1.3.3) распространяется световая волна, имеющаягеометрооптическую структуру (1.3.9).Основной вклад в поледает окрестность точки так называемой стационарной фазы r= .Фаза вблизи стационарной точки квадратично зависит от расстояния до этой точки:(1.3.27)Окрестность точки стационарной фазы представляетсобой ту область влияния, которая формирует поле вточке наблюдения. Область влияния, светящеесяпятнышко, которое можно наблюдать, если глазпоместить в точку r1, можно назвать первой зонойФренеля. Уточним это понятие.Предположим, что вблизи точки стационарной фазыпадающее поле имеет форму сферической волны срадиусом кривизны R. Найдем разность эйконалов вдольлуча из r в r1 и вдоль луча, испускаемого в ту жеточку r1 точечным источником, мысленно помещенным наволновую поверхность на краю зоны Френеля вточке.

По определению, будем считать aF размером первой зоны Френеля, если этаразность эйконалов, умноженная на k, равна по модулю  :(1.3.29)Особенно просто определить область влияния в однородной среде. В параксиальном приближении(1.3.30)оставляя в (1.3.29) только квадратичные по aF члены, получим явную формулу для радиуса первойзоны Френеля(1.3.31)где z- расстояние вдоль луча от точки стационарной фазы до точки наблюдения. Радиус кривизныволнового фронта считаем положительным (R>0) для расходящейся волны, отрицательным (R<0)для сходящейся.Область влияния изменяется при изменении расстояния от выбранной точки наблюдения r1 (рис.1.3.4).Если z 0, то светящееся пятнышко стягивается в точку, т.е.

практически передача световойэнергии идет по законам геометрической оптики, которые не учитывают никаких нелокальныхвоздействий. Величина aF при данном R>0 максимальна при отнесении z на бесконечность и равнапри этом(1.3.32)Если R= , т.е. фронт в районе точки стационарной фазы плоский, то размер области влияния(1.3.33)Если R<0, волна сходящаяся, то(1.3.34)Очевидно, что на расстоянии z=|R| размерсветящегося пятна растет и заполняет всюповерхность. Таким образом, на поле в фокусевлияет вся светящаяся поверхность.Приразмер пятна стремится к тому жепределу (1.3.32):, как и длярасходящейся волны. Заметим, что лишь для плоскойволны такого предела не существует- пятно растетнеограниченно с увеличением z (1.3.33).В более общем случае неоднородной среды и двухрадиусов кривизны волнового фронта в выбраннойна луче точке r также существует область вокруглуча, влияющая на формирование поля в точке r1 . Форма этой области, которая находитсядвумерным методом стационарной фазы, может быть довольно сложной.1.3.6.

Условие применимости геометрической оптикиНеравенство (1.3.2), при выполнении которого волну можно считать почти плоской, а среду почтиоднородной, является необходимым, но недостаточным условием применимости геометрическойоптики. Достаточные же условия применимости должны тем или иным способом учитыватьнакапливающиеся погрешности, обусловленные тем, что поле нулевого приближения (1.3.3) неявляется точным решением волнового уравнения. Корректный учет такого рода погрешностей вобщем виде представляет собой весьма трудную задачу, еще ждущую своего решения. Однакообобщая результаты многих работ, выполненных в указанном направлении, можносформулировать некий эвристический критерий выполнимости геометрической оптики.

Этоткритерий требует, чтобы вблизи луча на расстоянии, много большем линейного размера первойзоны Френеля, не было резких изменений ни свойств среды, ни свойств поля. Если обозначитьпоперечный масштаб изменения этих свойств (точнее, наименьший из масштабов) через l , тоусловие применимости геометрической оптики запишется в виде неравенства(1.3.35)Это условие намного более жесткое, чем условие (1.3.2) превышения масштабов среды и поля наддлиной волны.

Так, если волна почти плоская, то, а этот размер вбольшедлины волны, и пристановится как угодно большим. Растет до бесконечности областьвлияния и при приближении к фокусу:. Поэтому в реальной ситуации, когда нельзяобеспечить неизменные свойства среды на бесконечной поверхности, излучение плоского поляпри достаточно больших z теряет лучевую структуру. В окрестности фокуса (а не только вфокальной плоскости) поле также принципиально не может быть геометрооптическим.Область влияния для сходящихся или расходящихся лучей приприближается к конечномупределу (1.3.32), поэтому, в отличие от плоской волны, они могут быть описаны в представленияхгеометрическойоптики, еслитольковыполненоусловие(1.3.35).Прификсированнойточкенаблюдения,расположеннойна луче, можнопровестиогибающуюпервых зонФренеля,выделив так называемый френелевский объем.

Если, например, точка наблюдения расположена нарасстоянии L от выделенной поверхности волнового фронта с радиусом кривизны R, то радиусвытянутой поверхности, ограничивающей френелевский объем,(1.3.36)где z отсчитывается от точки наблюдения вдоль луча (рис. 1.3.5). Эта формула получена из (1.3.31)очевидной заменой в ней R, т. е. радиуса кривизны на расстоянии z от точки наблюдения,на.1.3.7.

КаустикиПри анализе лучевой картины светового поля принятовыделять важный структурный элемент, называемыйкаустикой. Каустика - это поверхность (или линия),огибающая систему лучей (рис. 1.3.6). Для плоскойволны каустики нет. Каустика цилиндрической волнывырождается в фокальную линию (ось системыкоординат). Каустика сферической волны вырождаетсяв точку – фокус. Каустика может сформироваться как внеоднородной среде, так и в однородной.