Бойко В.М. Гауссовы пучки и лазерные резонаторы (2004)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИРОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИНОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТФизический факультетКафедра общей физикиВ. М. БойкоГАУССОВЫ ПУЧКИ И ЛАЗЕРНЫЕРЕЗОНАТОРЫОписание лабораторной работы 4.4 по физической оптикеНовосибирск2004www.phys.nsu.ruГЛАВА 4ГАУССОВЫ ПУЧКИ И ЛАЗЕРНЫЕРЕЗОНАТОРЫЦЕЛЬ РАБОТЫ: знакомство с характеристиками лазерногоизлучения, измерение пространственных параметров лазерногопучка, изучение особенностей преобразования гауссовых пучков.ВВЕДЕНИЕwww.phys.nsu.ruКраткая теория гауссовых пучков, необходимая длявыполнения данной работы, рассмотрена в первой части в п.

2.Напомним, что основными характеристиками гауссова пучкаявляются следующие параметры:радиус пучка (или размер пятна)1/ 2⎡ ⎛ 2 z ⎞2 ⎤w ( z ) = w0 ⎢1 + ⎜ 2 ⎟ ⎥⎢⎣ ⎝ kw0 ⎠ ⎥⎦;(1)радиус кривизны волнового фронта⎡ ⎛ kw2 ⎞ 2 ⎤R ( z ) = z ⎢1 + ⎜ 0 ⎟ ⎥ ;⎢⎣ ⎝ 2 z ⎠ ⎥⎦(2)расположение перетяжки там, где радиус пучка минимален; размерпятна в перетяжке, который для резонатора с радиусами кривизнызеркал R1 и R2 расстояния между ними L дается выражениемwww.phys.nsu.ruwww.phys.nsu.ru1/ 4⎡⎛ λ ⎞ 2 L ( R1 − L )( R2 − L )( R1 + R2 − L ) ⎤w0 = ⎢⎜ ⎟⎥2( R1 + R2 − 2 L )⎣⎢⎝ π ⎠⎦⎥;(3, а)а для конфокального резонатора (L = R1 = R2)Lλ=2πw0 =L;k(3, б)релеевская длина (или конфокальный параметр пучка)zR =kw02,2(4)определяющая расстояние от перетяжки, на котором размер пятнаувеличивается в 2 раз; угол расходимости в дальней зоне(z >> kw02/2)www.phys.nsu.ruθ=λw= 0.πw0 z R(5)Следует отметить, что релеевская длина zR близка кхарактерной длине, на которой начинает играть роль дифракция, аугол расходимости θ соответствует (с точностью до π)дифракционной расходимости на щели шириной w0.

Эти совпаденияне случайны, поскольку характерные особенностигауссовыхпучков связаны именно с дифракцией. Отличие в поведениигауссовых пучков связано с тем, что дифракция здесь меняет толькопоперечный масштаб пучка, оставляя неизменным гауссовскоераспределение поля по сечению пучка на любых расстояниях отперетяжки (см. методические указания «Дифракция света», 1991,НГУ, стр.

28–29). Поэтому, в частности, преобразование гауссовыхпучков оптическими системами отличается от преобразованияхорошо известных гомоцентрических пучков, в которых явлениемдифракциипренебрегается.(Гомоцентрическимназываетсяобычный пучок от точечного источника света со сферическойволновойповерхностьюиравномернымраспределениеминтенсивности по сечению пучка). В этом смысле гауссов пучокwww.phys.nsu.ru2www.phys.nsu.ruявляется новым объектом для технической оптики и требует вобщем случае модернизации методов расчета оптических систем,предназначенных для трансформации лазерного излучения.Свойства гауссовых пучков необходимо учитывать присогласовании лазерного пучка с внешней резонансной системой.Согласование заключается в таком его преобразовании, чтобыпространственное распределение поля пучка совпало с полемрезонансной моды согласуемой системы, и сводится к треммоментам: совмещению осей, совмещению плоскостей перетяжек ивыравниванию размеров пятен в перетяжках или конфокальныхпараметров.

Первый из указанных моментов осуществляется простовзаимной юстировкой пучка и пассивной резонансной системы.Чтобы выполнить два других момента согласования, необходиморешить задачу: какую выбрать линзу и как ее установить, чтобыполучить перетяжку определенного размера на заданномрасстоянии.www.phys.nsu.ru§1 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГАУССОВЫХ ПУЧКОВТОНКОЙ ЛИНЗОЙРассмотрим, что происходит с гауссовым пучком послепрохождения идеальной тонкой линзы с фокусным расстоянием f,установленным на расстоянии l1 от перетяжки w01 (рис.

1). Тонкаялинза преобразует гауссов пучок с размером пятна в перетяжке w01 впучок с размером пятна w02, причем коэффициент преобразования αдается выражениемα=w021=22w01⎡⎣1 − ( l1 f ) ⎤⎦ + ( zR1 f ){}12,(6)а местоположение перетяжки l2 определяется соотношением( l2f ) = 1+⎡⎣ ( l1 f ) − 1⎤⎦,22⎡⎣( l1 f ) − 1⎤⎦ + ( z R1 f )(7)www.phys.nsu.ru3www.phys.nsu.rukw01. (Вывод формул приведен в приложении).2В этих формулах отношения l1 / f и l2 / f положительны, еслигде z R1 =линза собирающая, и отрицательны, если линза рассеивающая.Когда в результате расчета оказывается, что l2 – отрицательно, пучокпосле линзы продолжает расходиться.Если в (6) и (7) принять zR << l1 − f , то получим хорошоизвестные из геометрической оптики формулы для тонкой линзыАктивныйрезонаторLR1ПассивныйрезонаторL’СогласующаялинзаZR1R2ZR2R’1R’2www.phys.nsu.rul1a)fl2l1fl2б)Рис.

1. Преобразование гауссова (а) и гомоцентрического (б)пучков тонкой линзойwww.phys.nsu.ru4www.phys.nsu.ru⎛Z ⎞1 + ⎜ R1 ⎟⎝ f ⎠⎛ Z R1 ⎞⎜2f ⎟⎝⎠a=2Z R1 ω 01=Z R 2 ω022l1012fРис. 2.Завимость коэффициента преобразования от отношения l1/l( l2f ) = 1+1.⎡⎣( l1 f ) − 1⎤⎦www.phys.nsu.ru⎡l ⎤1.a = ⎢ 2⎥=⎣ l1 ⎦ ⎡⎣1 − ( l1 / f ) ⎤⎦Рассмотрим возможность преобразования гауссова пучка сразмером пятна в перетяжке w01 в пучок с размером пятна вперетяжке w02 с помощью тонкой линзы с фокусным расстоянием f.Для этого обратимся к формулам (6), (7) и проанализируемзависимость коэффициента преобразования a = w01 / w02 отвеличины l1 / f . Эта зависимость приведена на рис. 2. Длянекоторого конечного значения параметра z R1 / fпреобразования с ростом l1 / fзначения ⎡1 + ( z R1 f⎣)2коэффициентсначала падает от начального⎤ .

При l1 / f = 1 коэффициент достигает⎦минимума, равного ( z R1 / f)2, а затем монотонно растет, стремясь кбесконечности при l1 / f → ∞ . При варьировании величины l1 / f от1 до ∞ возможно достижение любого конфокального параметрапреобразованногопучка,удовлетворяющегонеравенствуwww.phys.nsu.ru5www.phys.nsu.ru()zR 2 ≤ f 2 / z R1 . Следовательно, для получения нужного значенияzR 2 при заданном zR1 фокусное расстояние линзы не должно бытьменьше некоторого минимума, а именно:f ≥ f min = zR1 z R 2 = kw01w02 .(8)Из (6) находится расстояние l1 от перетяжки w01 досогласующей линзы с произвольным fl1 = f + fz R1 ⎛ z R1 ⎞−z R 2 ⎜⎝ f ⎟⎠2(9)Аналогично определяется расстояние l2 от линзы до перетяжки w022l2 = f + fzR 2 ⎛ zR 2 ⎞−.z R1 ⎜⎝ f ⎟⎠(10)www.phys.nsu.ruЧасто возникает необходимость подобрать фокусное расстояниелинзы f и определить ее местоположение l1 при заданных параметрахисходного пучка w01, размера перетяжки w02, которую необходимополучить, и расстояния между линзой и перетяжкой l2.

Из (6), (7)получимf =l2 z R1 − z R1 z R 2 ( z R2 2 − z R1 z R 2 + l22 )z R1 − z R 2l1 = f +z R1 ( f 2 − z R1 z R 2 )zR 2,.С помощью одной линзы можно обеспечить заданные параметры,если выполнено следующее условие:l22 ≥ z R2 2 [ z R1 / z R 2 − 1] .www.phys.nsu.ru6www.phys.nsu.ruЭто означает, что с помощью одной линзы не всегда удаетсяполучить перетяжку гауссова пучка заданного размера. Для этихцелей часто используется двухлинзовая оптическая система.§2 РЕЗОНАТОРЫ ПРОИЗВОЛЬНОЙКОНФИГУРАЦИИ.

УСТОЙЧИВЫЕ РЕЗОНАТОРЫПри рассмотрении более общего случая сферическогорезонатора с зеркалами различной кривизны удобно воспользоватьсяобобщенными параметрами резонатора g1 и g2 (параметрыконфигурации), которые связаны с длиной резонатора и радиусамикривизны следующим образом:g2 = 1 - L/R2 .(11)g1 = 1 - L/R1;В этом случае выражения для размеров пятен на двух зеркалахw1 и w2 оказываются довольно простыми:www.phys.nsu.ruw1 =λL g 21,4π g1 (1 − g1 g 2 )λL g11w2 =.4π g 2 (1 − g1 g 2 )(12)Резонатор является устойчивым, если размеры пятен назеркалах существенно меньше диаметра зеркал. Напомним, чтоусловие устойчивости резонатора определяется следующимнеравенством0 ≤ g1 g 2 ≤ 1 .(13)На рис. 3 гиперболы g1g2 = 1 и оси координат, отвечающиеуравнению g1g2 = 0, очерчивают область устойчивости.

Длянаглядности эта область заштрихована. Допустимые значения лежатв заштрихованной области и на границе. Вне заштрихованнойобласти резонаторы являются неустойчивыми, т. е. обладающимибольшими дифракционными потерями. Для расчетов потерь здесьуже нельзя использовать скалярную теорию дифракции.Необходимо решать уравнения Максвелла с заданными граничнымиwww.phys.nsu.ru7www.phys.nsu.ruусловиями. Некоторые качественные характеристики могут бытьполучены методами геометрической оптики (см.

первую часть).УПРАЖНЕНИЕ 1. Определение параметров гауссова пучкаc помощью фотодиода и вольтметра определить распределениеинтенсивности излучения лазера в двух плоскостях, отстоящих другот друга на расстоянии l. Положение плоскостей выбрать исходя изусловия w(z) >> a, где а – размер входной диафрагмыфотоприемника. На основе полученного поперечного распределенияопределить радиусы пучков в соответствующих плоскостях.Используя формулы (2), (3), (4), (5), найти параметры w0, zR, R(z) и θгауссова пучка, а также радиус пучка на выходном зеркале иположение перетяжки внутри резонатора лазера.