Сержантова М.М., Логинова Л.А., Познякова Л.В. Теория поля. Под ред. Сержантовой М.М. (1992)

ЭГЖ 22. 151, 5 С32 Гецензенты: А.М.Виноградов, Л.Л.Покровский СЭЭ Серкэнтова М.М„ Логинова Л.А., Лознякова Л,В, Теория поля: Учебное пособие /Пад ред. Серквнтовой М,М. - М„. Изд-во МГ)У, 1992, - 58 с., нл, ЛЫФ 5-7038-0760-3 пособие состоит ив двух глав. В первой главе изложены теоретические основы векторного айалиэа и теория поля оо всеми докезательстваыи э соотввтстзпи о новой программой курев высшей математики. Эторая глава посвяяэпа примерам испольвсвания математического аппарата теории поля в задачах механики, злектродинзмики и других задачах имкенерной йрактики, что позволяет расширить и укрепись связь этого раздела математики с инаенер« ньми дисциплинами, Лля студентов факультетов радиоэлектроники и лазерной техники, иырорчации и управления, машиностроительного.

Ил. 23. Библиогр. 7 наов. ВБК 22. 151.5 Гедакция заказной литературы Маргарита Михайловна Серкантовв Лилия Алвисандровна Логинова Людмила Бацлавовна Повнякова Теория поля Эаведуювюя редакцией Б,С.Иваикина 'редактор Ж.К.Кошелева Корректор Л.И.Малютина '-' ЛЖУ 5-7038,0760-'3 ф МГТУ нм.

Н,Э,Баумана, 1992, Подписано в печать 23,0к.91, Формат 60х84/16, Вумага тип. й 2, Печ.л,3,7п. Уел.печ.л.3,49. Уч-иэл.л,3,46, Тирам 100 вкэ. Иэя,й 192. Эакаэ М .".!.. . Цека 15 коп. Издательство МГТУ, типография МГТУ 107005, !(оскза,'Б-Э, 2-я Бауманокая, 5 ГЛАВА 1. ЭЛЫНТМ ТБЭРИИ ПОЛИ 1. Класси ика изических валичнн. Скаля е и век!о ные поля Квассийиквция йизических величин по их раэмернооти сушестэу» ет давно, так как оравнивать величины разной размерности (напри- мер, время, длину, маосу, окорость и т.д.) бессмысленно. Так не, квк невоэмокно орввнивать н приравнивать сквллр и вектор, В современной классийикации йиэическиа величины объединены по тому, как они иэненяются при поворото осей коорпинат: окаляриые - не иэменяютоя при поворота; векторные - ведут себя, как вектор, проведенный иэ начала координат в какую-либо точку пространства; при повороте системы координат относительно начала координат длина этого вектора не кзмвниется, а его проекции на оои ноненяются по известному прави- лу Х ' = ЛХ , где ) - матрица перехода,д, Х.

- матра(ы столбом, оостевленныв ка соответствующих координат вектора з новой и ота- рой системах координат", твнэорные - иэненяютоя более олокно, например, как произве- дение квух векторов„ спинорм - кроне векторных и тенэориых величин есть н другие, которые изменяются при поворотах заданным обрвзои; например, из опиноров ыокно образовать квадратичную комбинацию, которая квмв- няется, как вектор, или другую - океляриую, не изманяшвуюся при поворотах (таи„ волновак функция электрона изменяется при поворо- тах, как опинор, или, кратко, она является спинорной величиной, спинором).

ОПЛеййнзув. Часть пространства (или вое проотрвнство), в наядой тачке которого определена некоторая ()иэическая величию, нэзывавтоя полем втой величины. Пооисльку физичеокив величины бывают 'скалярными, векторными, тенэориыыи и гпинорными, то и поля, ооответотве>пш, бывают сиа- ллрнымн', векторвеи и т.д. В дальнейшем буден раосматривать только скаля(ивее и векторные полн и их свойства. Понятие поля не содервит а свбв нового"по сравнению с поня- тием функцик, просто термин вполз" общепринят и улобвн овоэй йизичеокой опредолвнноотью. Раосмотрии подробиее Оквляриые и веиторяые Полк. ЖЛерлеПие. Ноле, в кендой точка гт котороло олиоэначио 3 определена некоторая скалярная величина СС(>с() > называется ска- лярным полам втой величины.

Скалярное поле очитаетоя заданныи> если функция точки сс(ет) определяет значение раооыатривасс>ой окалярной величины в каадой точке полл; сс(>с>).= (((»р)В более общем олучав скалярная функ- ция а может быть функцией.не только хоордипат, но и времени, тогда ь>оэ>ьо говорить о так называемых яестациснарных, илн неуота- нозивнихоя, полях. Ограничимоя рассмотрением стационарных, или уотановиэаихся, т.е.

нв меняющихся во вреиени, полей. В зависимо- сти оь размерности пространства будем различать плоокие и проот- ранотээнние поля П кыв ска >эо> олей 1. Поле температур неравномерно нагретого тела. Я. Поле плотнооти маоо неоднородного тела. 3. Поле плотности электричес>саго эарлда> неравномерно рас- пределенного в тело.

4, Поле давлений в некотором объеме. Схалярное поле задается окаллрной функцией координат, функ- цию обычно представляют в виде графика, Геометрической иллюотра- цнэй скалярного поля олуяат так называемые поверхности уровня И(»ф г)-сааН , на которых функция постоянна. Если поле плооков, то вместо поверхноотвй уровня иы имеем линии уровня на плоокооти. В качестве примеров линий (поверхностей) уровня окалярньк полей мелко привести хороюо воем ивввстные линии (поверхности) уровня равных температур - иоотврмические, равных давлений - изобарнче- окив. Сгущение линий (поверхяоотей) уровне на риоунке означает быстрое иэиенение соответствующей скалярной функции, а на оамой линии (поверхности) уровня функция постоянна.

П р и м е р, Скалярное поле' ведено функцией сс'(»,ф с) есле В "" . Найти поверхности уровня. Р е и в н и е. Полагая ж е е г б, будем иметьс г 'л оеиейотво двуполостных гиперболоидов ° если С с О семейство одиополостньас гиперболоидов, если С г 0 1 круговой конус с эврииной в начале координат> если с = с) . о»а>аэл, > .

° а > ° >» „.>„.„, опредолен вектор а (гс) = ас» ф, л), называется вэкторщсм полем вектора а( М), > Ц»~ ~д чу 1. Поле линейных скоростей установив>сегооя потока иклкоотк, 2. Силовое поле, магнитное поле. 3, Поле тяготения. Воиторное пола считаетоя заданным, воли векторная функция точки а(ес)определяет значение рассматриваемого вектора в каикоп точке поля М >а (>ь() а (»; ф с). Векторноа поле а'(>>е)в проотранстэв махно запать и аиде трех скалярных фу)щций а», а), ая а(гО= (а ( с),Я), а,(»УВ), а (;У,Я)~ Для наглядного иэобракения векторного поля служат векторныэ линии.

Опйейе ~енив, Линия, неправлоние которой в каадой точке сов- падает о направлением вектора полн в этой тачке> называется вок- торной линней. асс» »»»>с>>вас 1. Векторные линии в поле линейных скоростей ота>эьонсрного (установивщегося) потока аидкооти - линии тока. . 2. Векторныэ линии в магнитном поле - силовые лвнии, выхо- дщцив иэ северного полюса и оканчивающиеся на пином полюсе магни- та. 3. Векторныв линии для полокительного точечного эарялв- лучи, эыходщяне ив заряда. Векторные линии векторного полл находят иэ оиотемы диЩерен- циальных уравнений о'» сЬ о(у — — — > а.

а), а выражающей уоловив коллинеарноотк векторного поля а + ,а а (, ' Ф" и бесконечно налога вектора касательной оИ' ~Йефссг ~~к вектор- ной лкнии, где м х(»)> г) (»у,л '(ракиус-вектор векторной линки. П р и м в р. Найти веЫрные линии поля 7 =(л-~)с'е(»- ~~"'+ Я-»)Л., Р е ю е н и е. Система уравнений воктсрных линий имеет внх а>» с(.с> а'г "»-г ~-» а с аес Нопользуя свойство пропорций — = -~- =. †,~ , получки >(» ()> >Ил = () , откуда »ет я Г,, - первый интеграл окоте>э> (одкопарэметрическое семейство поверхностей, на которых распола- г аются векторные линии).

Затем, умножая числитель и внаменатель первой дробя на ~ , второй на ф , третьей на х н скла- дывая ревультаты, получим хд..т(~ф~+ угу О, отсюхв получим еще один первый кнтеграл 2 .ж' ~у лР и Окончательно уравнения векторных линий в пространстве можно эа- писать в виде уравнений линий пересечения сфер плоокостями: .х~р" у'э= с~, Х'ау ' у С"у При решении двйной сиотемы дифференциальных уравнений был применен метод интегрируемых комбинаций. В некоторых случаях бывает удобнее получить уравнение век- торной линии в параметрической форче.

Для этого расоиатриввшт систему дифференциальных уравнений вида а~Х с~~ф ы а гж;у, г7. у~у,г) "а„,б;у,у)" 4'» Ф~;ы,б,б) гле Южф и, б) - пройэвольно выбранная функция. Решив двинув систему, можно получить уравнение векторной линии в параметрическом виде; .х',щ ~Ю, ,у -рю,' г- лМ.. Выбор той или иной функции дущ~ я Л) будет влиять только нв способ парамстриэации векторных лйнйй, П р и м е р. Найти векторные линии поля а ~с ~,ту~ б.т, Найти среди них векториус линии, проходяэплэ череэ точкКМР, О д). Р е ж е н и е. Система дифференциальоюх уравнений ввктор- нмх линий имеет вид с~х ф Ы6 ЫЕ а а. ( у ж ' 6 ф -хщ'с, — + У =т сЫ Ж» "~ус3 .ж.ЫЕ . -р- -~ г ~(б) с7с,.~'П ~,б з.п с -Ф~Ю -с~лсчб е с~ спас, РЮ Юле сг Найдем вькторнув линие, прохопящущ черве эаданнуа точку И(7, бФ: .х' сею с "' хМ с > Ы~ — параметрическое уравнение винтовой линии.

В приложениях, особенно в гидро- и аэродинамике, чвото встречается понятие векторной трубки, или трубки тока. ~Пщ)йвлэййв. Векторной поверхноотьв (рис. 1) нвэывается поверхность, состоящая иэ векторных линий, проведенных чврев кажкущ точку некоторой линии ь , навываемой нэпраэлещей, Если 1. эвыкнутвн кривая, то векторная поверхность'наэываетоя векторной трубкой (рис,й).

Ркс. 2 В, Пото велта е че э поверхность. ээойецв Гв оса - Ост сг ского теория поля научает криволинейные и поверхност~в~е интегралы от векторных функций и их овсйотва, овяэь криволинейных и поверх- 7 Рис' 1 ц постных кнтегрзлов с кратными интвгрвлвии, свойстве оквлярных и секторных полей. Одной иэ центральных теорем теории поля являет» ся теореме Гаусса - Остроградского,уствназливающен связь поверх- ностного интвгрвла по ввикцутой поверхности о тройным интегралом со объему, овключенному знугри этой поверхносги. Но прежде чем приотупить к формулировке и доквзвтельотзу этой важной теоремы, делим определение потока вектора поля (или, квк вц~е говорят, по- тока векторного полн) и его физическую интерпретацию, Рассмотрим область Юа А' , з которой ведено векторное поле вектором а Р()'Г)Е ° АУ~~, РОМ)Х, об(УМ Р , пусть з облвстг бр) объемом Ч взцвнв некоторая ориентированная поверх- ность 6 .

Рассмотрим поверхностный интеграл от скалярного произ- ведения векторе поля а на единичный вектор нормали к поверхно- сти 6 рщ,„м ь и ....ц-р. а~~о ~ р ю е» поверхность 6 назызввтся поверхностный интеграл, зэятыб по эв- двннсй стороне поверхности, от скалярного произведения векторе поля аФР) нв единичный вектор нормали яо к поверхности 6' который обознцчается танц у) Яа а <~6= Л1Рсага '<7сау~бгРссг,()сх6 ('6) <'б) Слелует звметять, что поток векторе поля есть окелярная величине, с координвтм едкничного векторз нормали определяю.ая через вго напрзвляццюце кооинусы я (соло(, саго, сог) ~ Попробуем установить физический смысл потоке вектора. для етого решим задачу о вмчкслении потока жидкости через овмкнутую поэерхнооть 6 ) внутри втой поверхности задано поле линейных скоростей текущей жидкости айаг"О (рис.Э), Кля простоты будем предполагать, что поле скоростей стационсрное и плотнооть жидкости постоянная к может бмть принята эс едиьви(у.