Агеев О.Н., Гласко А.В., Покровский И.Л. Матрицы и определители (2004), страница 5

алгоритм, оптимизирующий процесс приведения матрицы к ступенчатому виду Такой алгоритм существует и состоит в следующем. На первом шаге мы добиваемся того, чтобы во 2-й, З-й, ...,т-й строках матрицы первый ненулевой элемент был расположен правее, чем в 1-й строке. Для этого мы ищем первый (слева) столбец, в котором есть хотя бы один ненулевой элемент, расположенный ниже первого элемента этого столбца. Если при этом 1-й элемент столбца равен нулю, то переставляем строки так, чтобы он стал отличным от нуля. Затем, если в данном столбце остались еще ненулевые элементы, лежащие ниже первого, обращаем их в ноль, вычитая из соответствующих строк 1-ю строку, домноженную на то нли иное число.

На втором шаге мы добиваемся того, чтобы в З-й, 4-й, ...,пт-й строках матрицы первый ненулевой элемент был расположен правее, чем во 2-й строке, Для этого мы ищем первый (слева) столбец, в котором есть хотя бы один ненулевой элемент, расположенный ниже второго элемента этого столбца. Ясли при этом 2-й элемент столбца равен нулю, то переставляем строки так„чтобы он стал отличным от нуля. Затем, если в данном столбце остались еще ненулевые элементы, лежащие ниже второго, обращаем их в нуль, вычитая от соответствующих строк 2-ю строку, домноженную на то или иное число. На (пз — 1)-м шаге мы добиваемся того, чтобы в т-й строке матрицы первый ненулевой элемент был расположен правее, чем в (т — 1)-й, Для этого мы ищем первый (слева) столбец, в котором есть хотя бы один ненулевой элемент, расположенный ниже (т— -1)-го элемента этого столбца.

Если при этом.(т — 1)-й элемент столбца равен нулю, то переставляем строки так, чтобы он стал отличным от нуля. Затем, если в данном столбце остались еще ненулевые элементы, лежащие ниже (пз — 1)-го, то обращаем нх в нуль, вычитая от соответствующих строк (пз — 1)-ю строку, домноженную на то нли иное число. Пример 6.4. Вычислить ранг матрицы 1 2 -1 1 3 2 2 5 3 3 5 — 4 Решение. 1 2 — 1 1 3 2 2 5 3 3 5 -4 1 2 -1 0 1 3 0 1 5 О -1 -1 П вЂ” 1 П1 — 21 1У вЂ” 31 П1 — П 1У+ П 1 2 -1 0 1 3 0 О 2 0 0 2 1 2 -1 0 1 3 0 0 2 О 0 0 ХЪ' — П1 Замечание 6.1.

Теорема 6.1 подразумевает лоследовательное выполнение элементарных преобразований. Поэтому если не следовать четкому алгоритму, а объединять несколько элементарных ши в ппу произвольным образом, то легко ошибиться и получить неправильное значение ранга, Продемонстрируем это на примере. Пример 6.5. Рассмотрим матрицу А= 0 3 2 Вычитая из 2-й строки З-ю, а из З-й — 2-ю, получим матрицу А'= 0 0 0 Ранг этой матрицы г(А') = 1.

Однако ранг исходной матрицы т(А) = 2. Действительно, с1ее А = О, но существует отличный от нуля минор 2-го порядка; Ь= =6~0. Таким образом, г(А') ~ т(А) ~г Изменение ранга вызвано тем, что мы одновременно заменили 2-ю строку на разность 2-й и З-й, а 3-ю — на разность 3-й и 2-й, неправильно использовав теорему 6.1, Действительна, если бы мы выполняли те же самые преобразования последовательно, то получили бы 2 3 4 2 3 4 А= 0 3 2 0 3 2 П вЂ” П1 0 3 2 0 О 0 43 032 Таким образом, г(А) = 2. 2 3 4 2 3 3 5 2 5 6 9 4 4 3 6 2 Решение. 7 7 2 -3 4 3 2 1 — 2 2 10 9 3 -5 6 4 5 1 -1 2 1 3/2 2 1 О -3/2 -1 -1 0 -3/2 -1 -1 0 — 3 — 2 -2 2 — П 3 П 1 — 3 4 — 2 2 — 5 6 — 1 2 -2 2 — 3 4 — 5 6 — 1 2 3 2 1 7 7 2 10 9 3 4 5 1 1 2 3 -2 2 2 7 7 -3 4 3 9 10 -5 6 1 5 4 -1 2 П-21 1П вЂ” 31 17' — 1 г(А) = 2. 1 2 3 — 2 2 О 3 1 1 0 0 3 1 1 0 0 3 1 1 0 1 2 3 — 2 2 О 3 1 1 0 1П вЂ” П 0 0 0 0 0 ТУ вЂ” П 0 0 0 0 0 45 иг(А) = 2.

Мы же, по существу, сначала вычли из 3-й строки 2-ю, а затем из 2-й строки получившейся матрицы 3-ю строку исходной, в результате просто подменив две разных строки одной. б.5. Различные частные случаи. Примеры вычисления ранга матриц В примере 6.4 элемент аы = 1. Если единичный элемент находится в другом месте матрицы (не аы), то для приведения матрицы к ступенчатому виду удобно сначала путем перестановки строк и столбцов местами переместить единичный элемент на позицию оы, Пример б.б, Найти ранг матрицы Решение, 7 7 2 3 2 1 10 9 3 4 5 1 Если единичный элемент в исходной матрице вообще отсутствует, то самый прямой.

но отнюдь не самый легкий путь состоит в там, чтобы, разделив первую строку на аы, сделать ее первый элемент равным единице, Пример б.7. Определить ранг матрицы 2 3 4 2 1/2 1 3/2 2 1 3 3 5 2 3 3 5 2 П вЂ” 31 5 6 9 4 5 б 9 4 П1 — 51 4 3 6 2 4 3 6 2 1[l — 41 1 3/2 2 1 1 3/2 2 1 О 1 2/3 2/3 О 1 2/3 2/3 0 — 3/2 — 1 — 1 П1+ ЗП/2 0 0 0 0 0 — 3 — 2 — 2 1Ч+ЗП 0 0 0 0 Из приведенного примера понятно, почему мы назвали такай путь не самым легким: приходится оперировать дробями.

Гораздо проще поступить иначе. Покажем это на том же примере. Пример 6.8. Определить ранг матрицы 1 Лз Л 1 а 1 — л'1 — л о =А'. 0 0 О Лз — 1 2 3 4 2 3 3 5 2 5 б 9 4 4 3 6 2 а. Очевидно, что матрица А' является ступенчатой при Л Ф 1, Л ~ -1.

При этом г(А) = 3. б. Прн Л = 1 Решение. А'= О 0 0 О 2П вЂ” 31 2П1 — 51 1У вЂ” 21 1П вЂ” П 1Ъ" — П нг(А) = 1. в. Прн Л = — 1 А'= 0 0 2 0 и1(А) = 2 т(А) = 2, Унразтснения для самостоятельной работы В задачах 1 — 3 найти ранг матрицы. В заключение этого раздела проведем вычисление ранга матрицы, зависящей от параметра при различных значениях этого параметра. Пример 6.9.

Определить ранг матрицы А= 1 1 1 1 в зависимости от значения параметра Л. 3 — 1 3 2 5 3. 5 — 3 2 3 4 1 -3 — 5 0 -7 7 -5 1 4 1 Лз 1 Л 1 1 Лз Л 1 Решение. 1 1 1 1 1 1 1 1 П вЂ” 1 1 1 1 Лз 1 1 1 Лз 1П вЂ” 1 < 1 Лз Л 1 а 1 — л 1 — л о О 1 — Лз 1 — Л Лз — 1 П1 — П В задачах 4 — 5 вычислить ранг матрицы в зависимости от значения параметра Л. 1 Л вЂ” 1 2 7 — Л вЂ” 12 б 4, 2 -1 Л 5 . 5. 10 -19- Л 10 1 10 -6 1 12 -24 13 — Л 46 47 2 3 4 2 3 3 5 2 5 б 9 4 4 3 6 2 2 3 4 2 Π— 3 -2 -2 О -3 -2 -2 О -3 -2 -2 2 3 4 2 0 — 3 -2 — 2 О О 0 О 0 О 0 0 1 3 5 — 1 2 — 1 -3 4 5 1 -1 7 7 7 9 1 1 1 3 5 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 3 1 2 7.

ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ Задача 1. Даны матрицы А, В, С и число й. Вычислить матрицу Е = С(А + ЙВ)(А + ЙВ)', Матрицы В и С общие для всех вариантов: 1 0 3 -1 число й и матрица А даны в таблице, Задача 2, Найти значение матричного многочлена, Задача 3. Найти матрицу, обратную данной, Задача 4, Решить матричное уравнение. СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ 1, Ильин В.А., Позняк Э/В Линейная алгебра.

Мл Наука, 1974. 2. Калатликое А.Н„Хряк/енко А.П. Аналитическая геометрия. Мл МГТУ им. Н,Э. Баумана, 2002. 3, Сборник задач по линейной алгебре l Леванков В.И., Мирославлев Б.Н., Соболев С.К., Чуев ВЛОА Под ред. С.К.Соболева.

Мл Изд-во МГТУ им. Н,Э. Баумана, 1991. 1. Понятие матрицы. Определитель квадратной матрицы...... 1.1. Понятие матрицы 1.2. Определители матриц 2-го и 3-го порядков...,...,., „„... 13. Свойства определителя . 1.4, Общее определение определителя...,...,..........,,...,, . Упражнения для самостоятельной работы....,............. 2, Виды матриц . 3, Операции над матрицами и преобразования матриц.....,... 3.1. Линейные операции над матрицами.........,..............

3,2. Умножение матриц 3.3. Вычисление матричного многочлена.....,,,.......,.....,, 3.4, Транспонироваиие матрицы 3,5, Элементарные преобразования матриц..........,.......... Упражнения длл самостоятельной работы................., 4. Обратиаи матрица..........,........,...,...,.....,.....,... 4.1. Определение н существование обратной матрицы..........

4.2. Способы вычисления обратной матрицы....,......,......, Упражнения для самостоятельной работы.................. 5. Матричные уравнения 5,1. Уравнение вида АХ = В 5.2. Уравнение вида ХА = В, 5.3. Уравнение вида АХ — С Упразкнения для самостоятельной работы....,............, 6. Ранг матрицы 6.1. Определение ранга .

6.2. Вычисление ранга матрицы методом окаймляющих миноров 6.3. Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных пре- образований . 3 з 4 5 9 10 12 14 15 16 19 г1 22 гз 25 25 26 зо З1 31 зз 34 35 35 35 37 39 6.4. Алгоритм приведения матрицы к ступенчатому виду.

Пример вычисления ранга матрицы . 41 6.5. Различные частные случаи. Примеры вычисления ранга матриц, 44 Упражнения для самостоятельной работы......,..... 7. Варианты индивидуальных заданий.........,......... 8. Ответы к упражнениям дли самостоятельной работы, . Список рекомендуемой литературы 47 48 64 бб .