Агеев О.Н., Гласко А.В., Покровский И.Л. Матрицы и определители (2004), страница 4

Поскольку умножение матриц некоммугативно, важно, что ла А ~ мы домножаем обе части уравнения именно слева, ане справа(Х ~ ВА ~), Здесь, по-прежнему, Х вЂ” неизвестная матрица, а А и  — заданные, причем матрица А — квадратная, В отличие от предыдущего уравнения, для получения решения данного уравнения, обе его части следует домножить на матрицу А с справа.

В результате получим: Очевидно, что для использования этой формулы опять же должно выполняться условие бес А ф О. Пример 5.2. Решить матричное уравнение следовательно, уравнение разрешимо. Далее, -2 1 — 2 А = — — 1 — 3 1 1 1 5 1 — 3 б 1 -5 -15 5 1 3 — 1 Поэтому Х=А СВ '= А 1АХВВ 1 — А 1СВ" 1 или ЕХЕ= А зСВ ', т. е. Х=А гСВ г. Тогда 34 Бели полученную матрицу Х подставить в исходное уравнение, то можно убедиться в том, что она действительно является его реше- нием, 5.3. Уравнение вида АХВ = С Здесь А, В и С вЂ” заданные матрицы, причем матрицы А н В квадратные, а Х вЂ” неизвестная матрица.

Домиожая обе части уравнения слева на А г, н слрааи на В 1, имеем Ясно, что эта формула применима только в том случае, если обе матрицы А и В невырождеиы: бее А ф О, бе~ В ф О. По этой причине решение следует начинать с вычисления обоих определителей. Пример 5.3, Решить матричное уравнение Х 3 2 1 Решение. Обозначим А=,В= 3 2,С= йеФ А = 1, Йе$ В = 1. Оба определителя отличны от нуля, следовательно, уравнение разрешимо.

Далее, А = 13 В'= 10 — 2 х 1 0 -2 (о 1 о) В результате непосредственной подстановки легко убедиться, что эта матрица действительно является решением исходного уравне- ния. Уираэгеиеиия для самостоятельной рабогпы В задачах 1 — 3 решить матричные уравнения. 1, 5 2 Х 78 — 910 3 2 4 Х 10 2 7 3 Х 1 — 2 — 2 = -5 9 0 6. РАНГ МАТРИЦЫ 6.1. Определение ранга Пусть дана матрица А размера гп х и. Определение 6.1, Минором порядка й (й < гп и й < и) матрицы А называется определитель совокупности элементов этои А= 2 1 1 3 относятся определители и Ля— 1 2 -1 2 1 1 4 2 2 1 — Х 0 2 1 3 4 2 б иЬ4 = Ь1=1 2 — 2 1=0.

1 2 3 0 1 1 3 б 1 2 2 1 0 — 3 1 3 4 5 — 2 3 36 матрицы, находящихся на пересечении произвольных ее Й строк и В столбцов. Понятно, что матрица имеет, вообще говоря, множество миноров, Например, к минорам 2-го порядка матрицы составленные из элементов, находящихся на пересечении 2-й и 3-й строк и 2-го и 3-го столбцов, и на пересечении 2-й и 3-й строк и 3- го и 4-го столбцов соответственно, а к минорам 3-го порядка этой матрицы относятся определители составленные из элементов, находящихся на пересечении 1, 2, 3-й строк и 1, 2, 3-го столбцов, и на пересечении 1, 2, 3-й строк и 1, 3, 4-го столбцов соответственно.

Отметим, что минор с11 равен нулю (нулевой минор): Определение 6.2. Базисным минором матрицы А называется отличный от нуля минор этой матрицы максимального порядка. Определение 6З. Рангом матрицы А называется порядок ее базисного минора. Таким образом, ранг — это максимальный порядок ненулевого минора матрицы. Заметим, что матрица может иметь несколько базисных миноров, но ранг матрицы определен однозначно (все базисные миноры имеют один и тот же — максимальный — порядок). Пример 6.1.

Рассмотрим матрицу А= 1 3 0 Определитель этой матрицы, т. е. единственный ее минор 3-го порядка, равен нулю. С другой стороны, матрица имеет отличные от нуля миноры 2-го порядка, например: — Ь~= = ~0. 1 1 О 2 1 Следовательно, эти миноры есть отличные от нуля миноры максимально возможного порядка, т. е. базисные миноры, а ранг ма|рицы А равен двум: т(А) = 2. (В дальнейшем для обозначения ранга мы будем использовать букву г.) 6.2. Вычисление ранга матрицы методом окаймляющих миноров Понятно, что нахождение ранга матрицы по определению требует вычисления очень большого числа определителей. Снизить трудоемкость процесса вычисления ранга позволяет метод окаймляющих миноров.

Он состоит в следующем. Пусть мы нашли отличный от нуля минор )с-го порядка Ьь матрицы А. Значит, ранг этой матрицы т > Й. Будем вычислять миноры (Й+ 1)-го порядка, окаймляющие минор Ль т. е, полученные присоединением к нему строки и столбца. Как только мы найдем ненулевой минор (й + 1)- го порядка, перейдем к вычислению окаймляющих его миноров.

Если же все рассмотренные миноры (й + 1)-го порядка окажутся нулевыми, то матрица А имеет ранг г = й. Пример 6.2. Вычислить ранг матрицы Решение. 1) Очевидно, что данная матрица имеет ненулевые миноры 2-го порядка. К ним относится, например, минор, находящийся на пересечении двух первых строк н двух первых столбцов этой матрицы: Дз= 1 3 =1ФО 1 2 Поэтому ранг матрицы т > 2, 2) Будем теперь последовательно вычислять миноры 3-го порядка, окаймляющие минор Дз, пока не обнаружим ненулевой минор (еслн он, конечно, существует). д(з) =О, (з) 3 =О, Итак, мы нашли минор 3-го порядка, отличный от нуля.

Следовательно, г > 3. 3) Минор Дз окаймляют всего два минора 4-го порядка: (Б) 1 2 3 1 3 5 =О, Дз 2 1 0 1 2 0 1 3 1 2 1 -3 1 2 1 Дз — — 1 3 2 2 1 1 1 2 3 1 3 5 3 4 5 1 2 0 1 3 1 3 4 — 2 б.З. Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований Хотя метод окаймляющих миноров позволяет найти ранг матрицы проще, чем непосредственно по определнию, все же он требует весьма громоздких вычислений. На практике гораздо удобней использовать для вычисления ранга метод элементарных преобразований, изложенный ниже (понятие элементарных преобразований матриц было введено в 4 3.5). Теорема б.1, Ранг матрицы не меняется при выполнении элементарных преобразований.

Таким образом, эквивалентные матрицы имеют одинаковый ранг. Определение 6,4, Понятие ступенчатой матрицы определим в два этапа. 1) Матрица, не имеющая нулевых строк, называется ступенчатой, если для любого й первый отличный от нуля элемент ()4+ 1)-й строки этой матрицы имеет больший номер столбца (расположен правее), чем первый отличный от нуля элемент й-й строки. 2) Матрица, полученная из ступенчатой путем присоединения к ней снизу одной или нескольких нулевых строк, также называется ступенчатой.

Например, матрицы .4= 0 2 5 1 ) В= 0 0 0 1 ступенчатые, а матрицы 1 2 1 0 д(з) 4 — 0~ Д14 Поскольку оба они равны нулю, ранг нашей матрицы т = 3. 38 1 2 1 3 1 3 2 5 2 1 1 0 3 4 3 5 1 3 2 1 2 1 1 -3 3 4 3 — 2 С= О 1 1 1, В= 0 0 О не ступенчатые, так как в матрице С первый отличный от нуля элемент 3-й строки сзз = — 1 имеет тот же номер столбца, что н цервый отличный от нуля элемент 2-й строки: сзз = 1, а в матрице В г(А) = г(А') = 2. А= О 1 -1 А= 2 3 1 — 2 Решение.

г(А') = 2, 41 нулевая строка расположена посередине, а не добавлена снизу, ввиду чего нарушается ступенчатость матрицы. Теорема 6.2, Ранг ступенчатой матрицы равен числу ненулевых строк этой матрицы. Например, ранг матрицы равен двум: г(А) = 2, Теоремы 6.1, 6,2 позволяют сформулировать метод вычисления ранга матрицы с помощью элементарных преобразований; путем элементарных преообразований приведем матрицу к ступенчатому виду; определим ранг ступенчатой матрицы, пересчитав число ее ненулевых строк (теорема 6.2); в силу теоремы 6,1 этот ранг равен рангу исходной матрицы, Пример 6.3. Определить ранг матрицы 4 5 О 1 4 5 О 1 А = 2 3 1 — 2 2П 4 6 2 — 4 1П вЂ” П 4 6 2 — 4 4 6 2 -4 4 5 О 1 4 5 О 1 ° 4 6 2 -4 П вЂ” 1 ° О 1 2 — 5 =А', О О О О О О О О Полученная матрица А' — ступенчатая. Очевидно, так как она имеет две ненулевых строки (теорема 6,2).

Однако в силу теоремы 6.1 6,4. Алгоритм приведения матрицы к ступенчатому виду. Пример вычисления ранга матрицы В примере 6.3 мы выполняли элементарные преобразования последовательно: на каждом шаге по одному преобразованию. Вообще говоря, при таком подходе выкладки могут оказаться очень громоздкими, а, кроме того, содержать ненужные действия, увеличиваощие число шагов для приведения матрицы к ступенчатому виду. По этой причине было бы удобно использовать алгоритм, в котором на каждом шаге выполняется сразу несколько элементарных преобразований и который позволяет привести матрицу к ступенчатому виду за минимально необходимое число шагов, т.е.