Агеев О.Н., Гласко А.В., Покровский И.Л. Матрицы и определители (2004)

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ии. Нг К БАУМАНА О.Н. Агеев, А.В. Гласко, И.Л. Покровский 1686636 Агеее О.Н. Матрицы и определители 2004 31-50 Мвгн оди чеакие указания к выполнению гнилавога расчетна ВОЗВРАТИТЕ КНИГУ НЕ ПОЗЖЕ обозначенного здесь срока Ю Ф и 1 МЪ ~ 03 % $о. «Ъ ит' фф и — <о ю $о Ч Москва Издательство МГТУ нм. Н,Э. Баумана 2004 УДК 512 83 ББК 22.143 А23 1.

ПОНЯТИЕ МАТРИЦЫ. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ КВАДРАТНОЙ МАТРИЦЫ 1.1. Понятие матрицы ГБВХ 5-7038-2542-3 Определение 1Л. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел вида аы агй ... аз„ а21 а 22 " а2н Бнбяисгр. 3 нвзв. а,„1 ам 2 ... а УДК 512.83 ББК 22.143 2 б 10 Олег Николаевич Агеев Андрей Влвдленович Гласкв Илья Леонидович Покровский Число строк га и число столбцов и матрицы называют ее порядками или размерами, при этом говорят, что матрица имеет размеры "гп на ин (или порядки гп и и) и пишут гп х гь. Определение 1.2. Если число строк и число столбцов матрицы совпадает, то матрицу называют квадратной.

Число т = п называется порядком квадратной матрицы. Например, матрицы МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Методические указания Редактор Н,Г.Ковалевская Корректор ДИ.Малютина Компьютерная верстка В.И. Товстанав А=, 8= 4 б 1 это квадратные матрицы 2-го и 3-го порядков соответственно. 1БВРГ 5-7038-2542-3 Рецензент Д.НБруитинсюзй Агеев О.Нн Главка А,нч Покровский ИЛ. А23 Матрицы н определители: Методические указания к выполнению типового расчета, — Мн Изд-во МГТУ им. Н.Э.

Баумана, 2004.— Гзй сн ил, Приведены сведения об алгебре матриц и сопутству~спзих понятиях: определителе квадратной матрицы, обратной матрице, матричных уравнениях. Даны упражнения лля самостоятельной работы и варианты заданий типового расчета. Для студентов первого курса всех факультетов, в также преподавателей. Подписано в печать 10 06 2004. Формат бе х84П 6. Бумага офсетная. Печ.

я, 4,25. Усл. печ. я, 3,95, Уч.-изл. я. 3,54. тираж 300 зкз. Изп. № 24. Заказ У55 Издательство МГТУ нм. Нлк Баумана. 105005, Москва, 2-я Бауманская, 5. (с> МГТУ им. Н.Э. Бвумвив, 2004 содержащая пз строк и зз столбцов. Например, 1 4 2 — 3 0 1 -г А= 4 4 1 1 6). порядка аы адг агд агг Решение. 1 2 3 4 5 б 7 8 9 1.3.

Свойства определителя аы адг агд агг аы ада адз А = аш агг агз азд азг азз 2 5 В ~ 1 2 3 4 5 б 7 8 9 3 б 9! называется число ам адг адз агд агг агз азд азг азз 1 3 5 4 7 8 3 2 1 3 2 1 4 7 8 1 3 5 3 1 2 4 8 7 1 5 3 Определение 1.3. Совокупность всех элементов квадратной матрицы, для каждого из которых номер строки совпадает с номером столбца, называется главной диагональю.

В матрице главная диагональ выделена полужирным шрифтом, Важнейшей характеристикой квадратной матрицы является ее определитель, 1.2. Определители матриц 2-го и 3-го порядков Определение 1.4. Определителем квадратной матрицы 2-го называется число аыагг — адгаш. Определитель еще называют детерминантам матрицы А и обозначают бес А, или Ь, или Определение 1.5. Определителем квадратной матрицы 3-го порядка = (аыаггазз + адгагзазд + адзагдазг)— — (адзаггазд+ аддагзазг+ адгадпазз). При вычислении детерминанта на основе определения удобно применять следующее геометрически надтидное правило Саррюса, указывающее местонахождение в матрице каждой тройки элементов, представленной в формуле, Произведения в первых скобках — это произведение элементов главной диагонали матрицы и произведения элементов, соответствующих вершинам треугольников, изображенных внутри первой матрицы на схеме.

Произведения во вторых скобках соответствуют векторной матрице на схеме. Пример 1.1, Найти определитель матрицы = (45 + 98 + 84) — (105+ 48 + 72) = О. )) Если каждую строку квадратной матрицы записать в виде столбца с тем же номером, то определитель матрицы не изменится. Например, 2) При перестановке любых двух строк (столбцов) матрицы местами определитель меняет знак на противоположный. В равенствах а1+ 61х а1 — 61х с1 аг + Ьгх аг — Ьг сг аз + Ьзх аз 63 с3 а1 61 с1 аг Ьг сг аз Ьз сз = -2х 0 -1 1 2 3 Π— 10 5 0 0 — 5 5 б 9 0 -10 5 0 0 -1 1 6 9 0 — 10 5 0 = 15 а1 + Ь|х а1 — 61х с1 аг + 6гх аг — Ьгх сг аз + Ьзх аз — Ьзх сз 2а1 а1 — Ь1х сг 2аг аг — Ьгх сг 2аз аз — Ьзх сз Π— 1 1 1 8 О -1 1 0 0 — 1 1 2 3 0 — 2 1 О = 150 2а1 — 61 х с1 2аг — Ьгх сг 2аз -Ьзх сз А;, = ( — 1)'+гЬЗ, а1 + 61 с1 Ыг аг + Ьг сг Иг аз + Ьз сз Аз а1 с1 Иг аг сг дг аз сз с(з Ь1 с1 й1 + Ьг сг аг Ьз сз аз ~4 Б 6) мы последовательно переставили местами 1-ю и 3-ю строки, 2-й и 3-й столбцы.

3) Если элементы одной строки (столбца) матрицы равны соответствующим элементам другой строки (столбца) той же матрицы, то определитель равен нулю, 4) При умножении всех элементов строки (столбца) матрицы на любое число определитель матрицы умножается на это число. Пример 1.2. 5) Если матрица имеет строку (столбец), состоящую (состоящий) из нулевых элементов, то определитель матрицы равен нулю. 6) Если соответствующие элементы двух строк (столбцов) матрицы пропорциональны, то определитель равен нулю. 7) Если каждый элемент 1-й строки (~-го столбца) матрицы представлен в виде суммы двух слагаемых, то определитель матрицы равен сумме определителей двух матриц, у которых все строки (столбцы), кроме 1-й ()-го), прежние, а в 1-й строке (1'-м столбце) в первой матрице стоят первые слагаемые, а во второй — вторые. Например, используя это свойство для первого столбца, получим тождество 8) Прибавление к элементам одной строки (столбца) матрицы элементов другой строки (столбца) той же матрицы, умноженных на одно и то же число, не изменяет определитель матрицы.

(При этом преобразовании может меняться только одна строка (столбец) матрицы.) Пример 1.3, Не вычисляя определители, доказать тождество Доказательство. Прибавим сначала 2-й столбец к 1-му столбцу, а затем 1-й столбец, умноженный на — 1~2, ко 2-му, Согласно свойству 8 имеем Чтобы закончить решение примера, осталось вынести общие множители 2 и — х из соответственно 1-го и 2-го столбцов последней матрицы. используя свойство 4. Для формулировки последующих свойств определителя используем понятие алгебраического дополнения элемента матрицы. Определение 1.б. Алгебраическим дополнением элемента а;3 квадратной матрицы А 2-го или 3-го порядка называют число где Ь,З вЂ” определитель матрицы, полученной иэ А удалением г'-й строки и )-го столбца, Здесь и далее удобно положить, что определитель матрицы 1-го порядка, т.

е, матрицы„состоящей иэ одного элемента, есть сам этот элемент. Например, для матрицы получим Агг = 1'122 = деФ А = ачАц + + а;„Ано йеь А = агуА13 + . + а„,А„, а11 а21 аз1 а41 а12 а13 а14 агг агз агя азг азз а34 а4г а4з а44 агг агз а24 азг азз аз4 а4г а4з а44 1 2 3 7 О 7 3 О 2 =( — 2), =14. 7 7 3 2 ам агэ агя аз1 азз аз4 а41 а43 а44 а21 агг а24 + а13 а31 а32 а34 а41 а42 а44 — агг аш агг агз аз1 азг азз а41 а42 а43 — а14 ацА11+ ° ° + агаА1„—— 0; а14А11 + + ачгА„). — — О, ЕСЛИ1~ 1, 1 3 4 б 7 9 ' 7 9 = -12; Агг = -Ь12 =— = б. 9) Для любой г-й строки и любого г-го столбца матрицы А порядка и = 2, 3 верны следующие равенства: т, е. сумма произведений элементов любой строки (столбца) матрицы на их алгебраические дополнения равна определителю этой матрицы, Бели для подсчета определителя было использовано свойство 9, то говорят, что определитель получен разложением по соответствующей г-й строке Ц-му столбцу), При вычислении определителя конкретной матрицы удобно выбирать для разложения ту строку (столбец), которая содержит наибольшее количество нулевых элементов, В следующем примере выбрано разложение по 2-му столбцу.

Пример 1.4, 10) Сумма элементов любой строки (столбца) матрицы А порядка и = 2, 3, предварительно умноженных на соответствую1цие алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) этой же матрицы, равна нулю, т. е. 1.4. Общее определение определителя Предположим, что мы уже ввели понятие определителя для всех матриц (и — 1)-го порядка Используем вышеупомянутое определение алгебраических дополнений Ачч для матрицы и-го порядка. Тогда эти величины определяются через определители матриц и-1-го порядка.

Определение 1,7. Определителем квадратной матрицы А и-го порядка (и > 3) называется следующее число: йеЬА = аыАы+ а12Агг+ + а1„А1„, т.е. сумма элементов первой строки матрицы, предварительно умноженных на их алгебраические дополнения. Таким образом, понятие определителя матрицы А дается через уже введенные на предыдущем шаге определители квадратных матриц (и — 1)-го порядка, Например, определитель матрицы 4-го порядка задается по следующей формуле: Аналогично, определитель матрицы 5-го порядка определяется через определители матриц 4-го порядка и т, д. Заметим, что для матриц 2-го или 3-го порядка определитель так же может быть вычислен по формуле из определения 1.б, тогда говорят, что определитель получен разложением по первой строке. Согласно сказанному, определение 1.6 может быть использовано в качестве основного и при и = 2,3.