Дуров В.В., Мастихин А.В., Савин А.С. Пределы и непрерывность функций (2004)

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ии. Н,Э, БАУМАНА В,В. ДурОв, А.В. Мастихин, А.С. Савин ПРБДБЛЫ И НБПРБРЫВНОСТЬ ФУнкЦий Ю х л а Ю 1691208 дуров В.В. Пределы и непрерывность Функций зппа 12-60 ! ЮУ~ЮУ ВОЗВРАТИТЕ КНИГУ НЕ ПОЗЖЕ обозначенного здесь срока и а а х а х а х' с х л л ах а хна х а хо 6 х их а ° л ю с Методические указания к выполнению типового Расчета Москва Издательство МГТУ нм.

Н.Э, Баумана 200а УДК 517,1 ББК 22,151.5 Д84 Рецензенты А.В, Неклюдов, ЕМ Попова 1. пркдкл числовой послкдовАткльности 1БВН 5-7038-2473-7 УДК 517.1 ББК 22,151.5 1БВХ 5-7038-2473 7 © МГТУ нм. Н.Э. Баумана, 2004 Дуров В.Вч Мастихин А.В„Савин А.С, Д84 Пределы к непрерывность фуакций: Метод, указания к выполнению типового расчета. - Мл Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004.

- 62 сл ил. Даны определения и формулировки теорем о пределах числовых последовательностей и функций, Подробно разобраны примеры вычисления пределов различиых функций. Приведены примеры сравнения функций при заданном стремлении аргумеитаг выделения главных частей функций н непользования зквнвалслтных функций при вычислении пределов. Дана классификация точек разрыва функций. Приведены задачи типового расчета. Для студентов всех факультетов МГТУ им.

Н,Э, Баумана. Табл. 4. Библиогр. 3 назв. Определение 1, Если каждому натуральному числу и поставле- но в соответствие некоторое действительное число х„, то говорят, что задана (чнсловая) последовательность хг, хз,..., х„,..., ко- торую обозначают (х„). Отдельные числа ха, )с = 1, 2,... называ- ют членами или элементами последовательности (х„). Замечание. Как правило, последовательность задается форму- лой для вычисления значений ее членов по их номерам. и Пример 1, Формула х„= — задает числовую последовап+1 1 2 3 п тельность —, —, —,..., —, 2' 3'4' ' и+ 1' Определение 2. Число а называется пределолг последовапгеяь- носгпи (х„), если для любого е > О найдется число )ч' = Ж(е) та- кое, что при всех п > )У выполняется неравенство ~х„— а~ с е. При этом пишут 1пп х„= а, или 1пп х„= а,или хп — г а при п — ь со.

и-Ьоо В логических символах определению предела последовательно- сти можно придать внд ( 1пп х„= а) 4=-ь (Уе > О ЗЛг = лу(е): чп-+со : Чп > И =о (х„— а~ с е) Определение 3. Последовательность (х„), имеющая предел а, называется сходящейся (к числу а). Последовательность, не являю- щаяся сходящейся, называется расходящейся. Замечание. Доказательство того, что число а является пределом последовательности (х„), обычно начинают с формальной записи неравенства (х„— а~ с е, далее пугем различных упрощений нахо- дят достаточное условие его выполнения в виде и > Л(е)'Й > О, при и> =М(е), 1 (1 ) !4! Теорема 5.

Если г" (х) элементарная функция, а элементы последовательности н ее предел лежат в области определения функции 1(х), то 1пп г"(х„) =- 1'( 1пп х„). Пример 7. Найти предел последовательности Этои означает,что 1пп д" = О, »-»сс Теорема 2. Если последовательности (х„) и (У„1 сходятся и, начиная с некоторого номера ис, выполняется неравенство х„< у„, то 11т х„< 1пп у„, е +«о» ~о« Замечание. Из неравенства х„< у„не следует, что 11ш х„< < 1пп у, аследуетлишь нестрогое неравенство 11ш х„< 1пп у„. »-Ф «ю »-+»О»-»00 1 Пример 5. Пусть х„= О, у„= —. Очевидно, что х„< у„при всех и, но 1пп х„= 11ш у„= О.

»-ню»-ню Теорема 3 (о пределе «зажатой последовательности»). Если члены последовательностей (х„), (У,Д, (я„), начиная с некоторого номера иш удовлетворяют неравенствам х„< у„< я„и при этом 11ш х„= 1пп я„= а, то последовательность (у„) сходится к »-нв» +о« числу а, Пример б. Показать, что последовательность х„= ~/й+1.— Кп бесконечно малая, Р е ш е н и е.

Из соотношений 1 1 1 ,/и+ 1+, ги 2»lй 4п видно, что последовательность зажата бесконечно малыми последовательностями (О) и ( ~ 1, таким образом, 1пп х„= О. «/» ' »-+СО Определение 5. Последовательности (х„+ У,Д, (х„— у ), (х„у,Д, ( — ) называются соответственно суммой, разностью, проУи изведением и частным последовательностей (х„1 и (у„). В случае частного предполагается, что (у„) ф 0 при и = 1, 2,.... Теорема 4.

Если 1пп х„ = а, 1пп у„ = Ь, то 1пп (х„ ~ у„) =- и-»о» >»о Я ФОО х„, а =а~ь; 11т(х„у„)=аЬ; 1пп( — )=-,Ь|0. У„Ь' 1 1 1 х„=- + + + ~/из+ 1 ~/из+ 2 Чих+ и Р е ш е н и е. Поскольку в сумме, определяющей и„, каждое и последующее слагаемое меньше предыдущего, < х» < ' »~и5+д < . Таким образом, последовательность (х„) зажата поЯ+1' следоватсльностями у„ = н л„ = , пределы ко~ай + и ч'и~ + 1 торых равны единице. Действительно, в силу теорем 4 и 5 и, 1 Вш у„= 1пп = 1пп =1; »-»»о»-»оо „Я2 .1. и»-»со ~ г и, 1 1'пп г„= 1пп = 11ш = 1. »-»со»-»со Я2 ~. 1»-ию / у +йт По теореме 3 11гп х„= 1.

2» Пример 8. Доказагь, что 1пп — = О. »-н и1 2» Р е ш е н и е. Пусть х„= —, тогда и! 2 2 2 2 2 е-Я 9 2 » 0<х„= — — —...— <2 (-) =-Я -+О при и — > оо, в силу примера 4 н теоремы 4. Таким образом, последовательность зажата бесконечно малыми последовательностями, тогда по теореме 3 1пп х„= О. »-+со ач Пример 9.Доказать, что Ча Е К 1пп — = О. »-+с» и! Решение: ~ а" )а~ )а( ~а) 1а~ (а) (а)ь ~ (а) 'и1' 1 2 й Ь + 1 и й! (,Ь + 1~ Р е ш е н и е. Воспользовавшись формулой бинома Ньютона, в которой удержано только третье слагаемое, получим при и — ~ оо, если значение и выбрано (и зафиксировано) из условия — < 1.

Последовательность Ц вЂ” !) является бесконечно (а! а" !О+1 и! малой, так как зажата бесконечно малыми последовательностями. а" Тогда является бесконечно малой и последовательность ( †). и! и! Пример 1О,Доказать, что 1пп — ' = О. О-+ОО И Р е ш е н и е, Из оценки и! 1 2 3 и 1 0« — = — — — ...— -, и" и и и и и' верной для любого и Е г(, следует, что последовательность и!1 — зажата бесконечно малыми последовательностями, т, е, ио~ и! 1пп — = О. О-+ОО И" Пример11.Доказать,что Ит О/а= 1 Ча > О.

Р е ш е н и е. При а = 1 зто очевидно, пусть а > 1, тогда и (уа > 1. С помощью неравенства Бернулли (1) получаем а = ~1+ (~/а — 1)1 > 1+ и(фа — 1) > и(фа — 1) > О, а а откуда следует, что 0 < фа — 1 < — или 1 < ~/а < 1 + —. Таким образом, последовательность ( О а) зажата последовательностями а (1) и (1+ -), имеющими общий предел, равный единице. Тогда и 1пп О'а = 1. О-ООО 1 Пусть 0 < а < 1, тогда — > 1 и, подсказанному, а 1 1 )пп ~/а= !пп — = —, =1. о-~со о->оо 0'а (1п1 о-~оо йо Пример 12.

Доказать, что (пп !уй = 1. о-~оо и(и — 1) ( тз 2 где и > 2, Откуда следует, что (фй — 1) < — или 1 < ф~ < и — 1 < 1 +~! —. Таким образом, последовательность (фй) зажата и — 1 Г2 последовательностями (1) и (1+~ — 1, имеющими общий пре- 1~ и — 1! дел, равный единице. Тогда, !пп Ой = 1. и Пример 13. Доказать, что Ча > 1 !пп — = О. о-+ оа" Р е ш е н и е.

Поскольку а — 1 > О, можно применить прием из примера 12. В результате для и > 2 получим а" = [1 + и(и — 1) з и + (а — 1))" > (а — 1)з, откуда следует, что О « — 2 а" 2 <..., — — + 0 при и — + со, что означает 1пп — = О. О~ >ао Пример 14. Доказать, что Ча > 1 !пп — ' = О, (око и И-+ ОО И Р е ш е н и е. Зафиксируем произвольное число я > О. Неравенство эквивалентно неравенству и с (а')".

Поскольку а' > 1, в силу и примера 13, !пп — = О. Отсюда следует, что существует чио ~оо (ае)о сло й! такое, что неравенство — < 1, нли эквивалентное ему (ао)о и < (а')", будут выполняться при всех п > М. Для тех же п очевид1об„и, 1ойа и но, что выполняется неравенство — ' < в, тогда 1ип —" = О. п ~-+0ч и Замечание, Из примеров 13 и 14 следует, что при любом а > 1 последовательность (и) возрастает медленнее, чем последовательность (а"), и быстрее, чем последовательность (1о8, и). 3, ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СХОДИМОСТИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ.

ЧИСЛО ЭЙЛЕРА е Определение 6. Последовательность (х„) называется ограниченной, если существует число Стахов, что !х„! < С, п = 1,2,.... Теорема б. Сходящаяся последовательность ограничена. Замечание. Обратное, вообще говоря, неверно. Например, последовательность ((-1)") ограничена, но не сходится, Теорема 7. Для сходимости последовательности (х„) необходимо, чтобы (2) !пп (х„+т — х„,) = О.

дится. 11" Рассмотрим последовательность (х„), где х„= 1 + -у! п,l Применив формулу бинома Ньютона, получим 1 „1 и(и — 1) 1 х„= (1+-) =1+и ° — + — +.. 10 Пример 15. Рассмотрим последовательность (х„): — 1,1, — 1,... ( — 1)",.... Так как !х„+г — х„! = 2, то очевидно, что условие (2) не выполняется и последовательность расходится. Определение 7.