Казанджан Э.П., Казанджан Г.П. Вычисление пределов (1995), страница 6

Мораль простзц ари Всей свсвй ч$Ч(и ПРвпнио Бернулли пэ упраздняет всего оствльпсго, что оопчрлктся В напои а($С$$$$$$$$$ сп$,- собов нвховпвння прспслпк; к тому .ПВ ч$$О$$$6ыклат к Т$$к, что Различные ССОСОбы сосслс'ГВУЮ$' П$рутрк ($ч1$С$$НЛ ОПНОГО $$Р$$$$С($О ° Все ысвст пойти В Хав: эцвыйнтарнйэ $$рсспро$$$$$$$$$$$$к $$ ВВП$ новой переменной, чвстичнап $$$$пстпнсв$$ы арололькогп вньченип пргуыонтв и эаивнв бесконечно. малых нп $1Н$$ПС$$$$В$$Т$$$$В... Окпчэи, прн д О, если в.вь$рсксник кмсегсн $$$$О$$$С$$$Л$ 61«$ цс, тс его лучае заменить кв .с, л если .Оо«ч щ, го Вго иапо проста откинуть, твк как ссй О 1 - всп:$ти «$$$$$$В$$ь$$$$$$ хитрости" упрощают ли$$псренцирсва$$ие, В то н вообще устр$$$$кют ого,зл ненпдобностью, нэпримерц й юай т $ й(тц 11тп | ' $ д $ вгей~ж-уь/2 л $ "'гс(~щ-у$ф лц« -йй«'сц Особенно э$)$1С$$тивнв замене бесконечно малик нп Чквипалентнме, твк что во многих,проотых случв$С$ прщленоние правиле Вврнуллн иэлнане.

Вот, нспри$$эрц ~ц 1ы СОВА / 1цутц — — ~ 11туь -ц- О; . 6 вщ-1 м о Ос ~Пой~.. щ 21тп — ' 1эпц — О ас "й 1$лглй уйчч ' щФВ цуЫ' . В вмцепрнввпеннои Примврс1 В ц+- -1 ~ — . /1.,'цй Я ' 2 В папобнмк случаях в правиле Бернулли просто нвл Нукц$$, ОНО ИЛИ остеется "эв кадром", или вообще не используетсяц рвэ $$авсагпа нвйпя с его помацью (или любым $мУГИМ СПССОПО$$) окэивалэитныэ 21 беоконочно ммлые, можно н нтвно пользоэвтьоя ими поотолнио. Именно нужно, жизненно необходимо. К сочзленип« зто плохо осознвот не только ступенты, нр порой и преподвввтели. Вот кзк преллзгзэт ЛвйотзОеать евтоРы задачника пол редвкциэй А.В.Ефнмовз: зяп бх, асов'бх 1««» ', ' 11п« х.» О Хгстд йх х ° 0 й й 71 ФРР Позорно плохо~ Вм« 'Почему. Во-первмх,' нвпизеиый инкенеунмй элкок: получение Результзта,-лвке прзвильного, не овмым простым путем — признак некоотпточной квалкфиквцик.

Во-втор«ос, при'изучении внзлизз в первом семестре главное, чему нужно нзучнтьоя;- ето з«оп«яие величины: ее типа, в если онв бесконечно мелея или' бесконечно боль«щя, то и порллкз (еоли он есть): зто необходииый функэмент лля лвльнойаего - изучения функций, грвфиков, рядов, несобственных интегрэлов. В свете слелзнного ззмочвния продумайте пркыеры (-7, привезенные в нвчвло,рлзкелв - тзк ли мы должны их рейзть теперь7 Отметим еще, ч« о, хотя твблищ зкаиволентных бесконечно малых нужно знзть нзизусть, никакой лаполннтельной нагрузки нв измять,яри этом практически нет - вель помнить обновныв тейлоровокие рзэлочлник кля функций з, ь(«ж х;»совы, 1п(1»х),(1+х) все равно нукно, з твблицв оквивзлентных беоконечно мвлых, собственно, кроме нзчвльных куеков этих разложений почти ничего и не оолерккт.

Счелзеы еще несколько теоретических ззмечвний по поводу применения правиле Взрнулли - не претгнлупщих нз дрвктичеокуп отлочу, но довольно полезных для прзвильной психологической ориентаЦии. Свлвь оУщеотвовзниЯ пРеделов 11««« «(и) н 1(«п « (и) уу(м) о'(х) не явллетоя взаимной. В теореме Бернулли и зафиксирован ве односторонний хяроктер:'кз сущезтэовзция. пределе Ртноиения производных следует цылеотвоввние прппелв 'отноиения оамвх функций. Колк бы теореме Рзботвле н в обратную сторону, зто быуо.'бы '~и4ппь не б еополезно,',.на - увы, обрвтное утверквение не Зопцва опрввпйливо.

Пфкмер! для Функций ' У(х) а -,е)т» х; йЫ. х вямх 11»»т»«11«п "- 11'»' сз(х) з«»»» ФФз1««Ф м«» в прввел отноиеннк вх зронзволных КМ 1."сов х з х 11пч — ' 11тп - 11«в фп— х ° »» у'(х) осы»» 1+сов х х.»» не оущеотзувт.

Попутно денный пример крлоноречиво поквьмвзю (твко»», оо крв е йн й меРе, первое впечатление), ока«ь оуч»отзоннп усвонч» «норме«ф (х) )»ь() но тз ке онтуэцня может»бр»ОО»зуьоя н я»з "! ины» проиэвопной знзмензтоля. Примеры: 1) у«(х) Х й1м х В(х)- ~Ш 11т, (1,, ) 1«11 —, 11 (1«соз" $!" " '("' И1 () ~~ х 'х~ »» р(*) х~~ - не сущеетвузт. 2) у(а) -."-'Вяп -„.

11„11 о у(, а ", =09~) (произведение беоионечно мвлой нз огрзнячвннуе); 4 я А У(х) й эя 1 с б 11«п -т= 11«п х 0 у'(х) х» 0 У(ов) «Рома 11тя — »11«п эы- - не существует; й~) з бй() зс а - не оущеотэует. Отдэлемнэл коовеннзя причине подобной ои«узции в том, что проиоволнвя функции зэчаотую бывзет "«зпризнее" о.мой ф)печки. Мнтереоно отметить, что и противоположное теореме Взрнуллк утверждение не имеет меета. Если предел отноиенчк произ»олных нв о)и)еотвует« то превел отноиеннк самих функций молве н оущоотзоэеть, как пзивэыввет поолезний пример, но покет и нв существовать. Прщ«вр: лещ) х ...фх) х + з1т«х И кфф . 4.

( Ь' оу„е:ву а.тй й'(я) х-о 33 Откатны з заключение, что применение правила Вернулли хоти и достаточно проото'лля большинства отудентол, тем не менее некоторые заблуккения характернм и повторяютоя из года э год: 1) забывают опекать непосрекотэвнную псдотанозку првкель ного значения и дибберенцируют, не убедизвиоь'пралввритзльно, что имеет лоло о аырзаением О/О мли ч /ьо; 2) знбФеронцирупт лробь, а не отдельно чнолитель и знаменатель' 3), нз ззботятоя о ыкомрорте" зычиолений, 3, ВРАИтИКА Рассмотриы теперь рлэ примеров из наиболее популярнык нааих задзчникоз под ракакцией В.ПДемидоаича, А.В,Цимоза и В.П Дз . Дзмикозичэ, Р.йзйручкоэичз. ))Репке всего - примеры негативного характера, когда применение правила Вернуллк отироазнно нвз прилично (а ив просто нецелеоообразно) и свклетельотэует об отсутотзии зйдения типа и пЪрязка величин; почти зое зти примеры Решаются устно.

е,-, 11~ .'""-О; 11, жче-х.о; 11 (пьп) 1-соэ:н Ф уу 1 1-с08х (ь ")охи" м. О,ю" ь(пх' ж.еп езе, 2 м о:,. и а "%~ Х 1)пь 'и 12 а О ' мх .;~ ж ., 'зз О и) )пь ы1!пь аун ~ ' 1)тп.агозунм'зВхы117п ы~' депо(к%х и о н 2 2 'хьа '' ''е в оь)им е й -Фи' б(оо 1)тп е 1)тп О 1(т )пла '. О- ° жал з„'-~ пз ., ж ° ' зоо Ф . '.$ г А .(А А')-1 1( 3) ~ -1' ~ вел льд зз "ьаь.

3 (~';,м ~3.-соа ж5 11 Л +- 11зть э 1хтп ь 4 а. „О, . й~, а-ьО оэ ,ь,уд тэ ' п(эй йзо+1 и ы — -ю: ь —.-0 зэ'еб э)нх ль, за'~ч) и',,~ Вьо ьоэ+1 рз лу2 1-чав ж Ц ''; 1(тп (Е -лз ) дчьб 2й ээ «О. ВФ 1ц 1ц х ' 1(тц ('1п м ')~Ф ) ь' ал а , ах аа задачников) применение правила ВернудлМ необязательно, но и не возбраняется. - кону как иравятоя (еачаотув правило Вврнулли привлекательно - кааетоя, что вго применение обычно носит чисто механичаокий характер и йе требует особой тактической сноровки).

Сравнит" оба опоооба (попутно оценив свои тактические аозмокности)„ выберите любой, но не назлзывайта вго окруаавщим 1-эо 1-по а йт Иа 2((. Ъ тт( Г зз'~а.а)п-тп1г.-зз " 'Рэ„-~ " *оба 2: '2... л * 11зп ч' лэ айк-Зк 11п) ыые'. '..".2 эь 1 Х эпЯ' -:.й ° 2 Маэлэ " 11щ— 'и'эО Ооз и"М )пь ФФ)п В' 14 ~~ $ ) .

( б ' ' ' 4' ' '(г. ) 1)пь~, 'ъ 1$ х'ьу,ло-В Ф~тж-6:.зтр'и 3~ мьй) „'Ъ.. е зм 2м 2 л вь Ф ь — —; 1$т ж " 1 11тп( ъ Фтплтзз)ПВН Х тп й 3 ) Н,>О ... Ь А ю ев .и 11 (*1)СЪЕМ( -Ю 11 И ~ з. 1( 1" Ф Х 1 34 ФФ$ ' )ль (Ф 1~ фп 1п(1+1)Ф1фАч11 л1 2 () а-л.( о „Ф-тэ 'т ' нэ (1-даров)(1+паап аоод з() —.В ,)1)п . ': м))пь — 'м —, 'хмО '. Ф~' и-ъО ~лед 1О Впой ж ('-в(т(зэ) Вж.ще м.

1Ьп ' ', 1Ьп— О АОФ ФВ(Ф4 ", О зО АО ь«! поз ЬЯ «с Ы ж-еь 22 соь22х 1!с!~ -- —. — — — ~ !""! 2(ььт) З(1-а'1 ь+ьь "2-21-21 '"' 1-1 2(1"«') Ь(~'1) ' '(1-1)Ь(1+1+1')(1ат) 1+2-24' 11тп — за — 11тп (1с 22) 36 с"'1 Ь.',,а 2 21а !!!к =- — = — 11тп 1И1 б(1-1з 1к+1ь) Ь 1. 1 Ььа-21+Ь1Ь Еь»В«!(1!1) -Ь1т! ЬЬЬ Ь 11 — 11»!в 1' О Ь1»2Х(1Ч) т 0 И1» 2«тФ 2 Ж 11тп г „11 .

— —,„1ад —" сстф соь х-еиьиб с ь(1+2) а 2 -1' ! 11пт ф-~Я!2 „Е й-ъ.к у 2, "2 11пт былъ - 1 ' „с.ей" с2у х ж.ю ф 2 ь1»'х раке ркссмотренив соломко к конку, 1!с клирики симси акинное - семостоительнск работа. Еслк ксе рссомотронное у нм сон н!и!- спеть и соккумулирокнть 'ас Все никиприисконнмо приме«и ам Р!!НО- еут особнк трукноствй (с некоторие ра!Ииотск устно): йть l 1ссоьаж 1!то хто 1»сок бк 1.-соо'х 11т» — и с бх ба~~ к ттх -'- 11тп — — — — -„ х'~1 ахтт!х -2 х,-1. тат» хт! 1аа аа Ю-1 11тт! — '. —. х-й У'х-1 .а -1+21 1,!: й 1 -Ь1-2Н221ь 12 Ььп 21 2-21 а - 1 т 1-2 ! Нки 11т!т ,-в,+ь, —,,': 1-о ьы.м -3 2 2соь21 1 р 11та! (тосОЬЬ1 1 д 4 И "(~".-ь)(Ух ' тЯ') " 2Я ' (т' !!ох тй5)(сттб)' ЗФ5 Жб к ,11тпа' .2 Д' 2 З 1У ь~~Г ' , 25 ': ау'аск 1п й-(1-ооеаХ)):,. -(1-соках),' — аа 11пт 11щ 1),та 2 1й(1-(1-соьбх)1 хч'ь (1 соек ) х щ.

Ил л !! . "-И. ° ~ а-~1 аи аа !тик !-! ! ! а !э!'м: в!' ,(х-1)(х',+хМ), -, !а х-а 1,7дц ~,, (х-'~у) —,' а ':,;, ",. та 12тп м Ьт м.мь 1тх ,й.~ ас Фи 1/ бай"+2Ь»* аы ХИ ае псу!Хан.Ь Ъуй +2 ътх+б ааа ди а Ф„Ухк,.б л«1нбх1~х а1 +от~~ 1кпа, м хмаи2ха,.бтЩ+ь н1 и 6~и!» лт к унс» . 4»2Х- ' 11»т, хвв ~ 2 «тьнх «4-ж к хьорт,х-а/~ х ,х.,'.а ела рх '.Ът'- 11 м ~ 11тп 4х+2 ~ х~ „тб х-ь тЯГ а~/ -КМх А~и !, ха-а+1 Ь ., а,. хс а „тс"' б' х.иа 2хкт .' "* 1 ж+ ьт/м ь ! -„'1тьх - т~.-ьм 1Ь» -- — — „:„--к - ' 11»а -" — —:-- — =. х.т ° ос+ (х к ! От о гх тЪ+1+ М~+Ь~б*ао 1 1"ССЬХ 11»а 11»! - —- ~юк- б 1-соь х 11тп— хто б к+бхь тЪ -1+ттх-1 а! хн1 ./ а а~~ж 1 жФ4 «с+ тЯ~" тт~«~ь-Мх Г 4Г+"х -О Итв Нот ° а ьтт„' 2 13 'Ь-Б2 ттт24х -тП~-х Лсттт т 11те— х-ъ2 осохь ~хсо х+ оттх+ Х 11тх (~/(х+а)(х~4>-х) 1(то Ф~охЛ~(--х)-. сс сев х Х тх-1 1ьттт х"'т ттх «2ттх"-О ж, 11ст " ' Ж'~я'-м а(с+ 1)-2(с"-Ь) Ь хоо ссъ ОсттХ-Осхть 13щ тт х-ха сс-о 11хт Сд х-Фоа хна хо х -! 11ттт х-т1 х"-1 (тч,с~о хт-сх-1 11тс - ( -о(р) В,1 ххОх х М ох- ото Ъс "~4 ьт ото-1-2 11та —— хеО Ь охи 11тс ( ) х ьа х+2 ., с1ох )ь (1+ ") х тс.