Казанджан Э.П., Казанджан Г.П. Вычисление пределов (1995), страница 5

Заеоь Фвктнчеаки встает вопроо о сравнении поряакоа бесконечно малых и бесконечно больших величин; Важнейший вклад в решение этого вопроса и дает так наэываемое правило Бернулли. Для начала раааматрим так нввыввемув теорему Бернулли, Тула, Бали'оущеатиует предел 1(иь — ~ж, гда~(д~ Ф»ьм «'(и) ф'е) проиввольныв беппо(нн дкфбчрвнцнруемнв.э некоторой ок ' рвегноети (б, кроме, быть может, самоМ тачки п,причем~'(м)Ф Ф О, у((в) фа() '* О, т» предел 11тп — тоже аущеатвует и (аб —,м,.м ()(и) равен 11тв -у (Ю.

м.ьщ р(м) (Грубо говоря: правил отноаений чункцнй равен привалу от' ноиения их проиввалных: рбтн -1)тп .) «б»ву ' «'(и) и «ри) . «'( ) Наряау о рвоомотрвиной твореыоа (ааеаь сс Ф оо,,Г(а) фа) О), опрэведливы мцв три аналогичные для аледуащих олучаев1 а ть о, У(лв) фа) (б., У(аь) у((ь) О) (х а, У((х) оп(а) о 23 О Зщм» О"», о е -в мо мс ° эе ('1- ) вс«О 24' Особой ресницы мочку этими четырьмя случаями нет - вводя в рассыстреиие аргумент 1Йж-сх1 . или бункцик 1Ясю1 и 1/у~ос~ „ любой иэ четырех случаев легко свести к любому другому. Совокупность четырех теорем и наэыэается обычно правмлом Бернулли.

Как внкно, сокеркащался л них Формула дает конструктивнуп воэмокность нахоккенил прасолов отноэений бесконечно малых и бесконечно болыпих Вот несколько простейиих примеров, иллюстрирующих действие правила Бернулли: 1 а«сср,п — „,~л . 1пх . и' 1. 11«п 1 х 1, 2.1' 11 О О,г и О 1 ' м»'а» щ щ»»»»1 Мм-д соэгм 1 1-совам 3 11 1$ ц ""с 'О 1 сова и О ссвлп11-сээо~~~ 1"~~~1 +ссд4 Л. Бернулли не орасу приводит к, реэультату, а после двух-,трех- ~ более кратйого применения: 4, 11т "11«п — = 11«п О. ,м-Ври ж 1-сойм, В1п м 'Ф О Е"-Ж-1 щ О Ф"-1 х О й" ьс~ .

Фм~ Яй~м, 24м В. 11«п — 11«п — 11н~ — И«п — 11«п и — 0 . ж ОВЩМ Оенж Ов" щ Оещ м айЩ Но это еще далеко не все. Обера действия правила Бернулли гораэдо вире.- с его помощью новно нахоаить препелы величин 'типе 0.»с, —, 1~, '»» ю, О, вси онн свпвмгбя к рассмотрение случая О/О или ь/ >, Делается ето',-.в' принципа, очень просто: а.-- — ° О.

- ' »Ф 1 0 01'"ф щ ' 0 "—. 1 0 ° в ы» Примеры! 1 6 1'нь ж1ь."с м11»п — »11мь ° 1Ьв (-ж» О. ,и ° О ~п О А щ О-Х. м О Ф лсэ » -й -вж ле ь 0 м ьтщ ,1 . асей~ ээ. 0 совы+осам-щй1тьм воем 4й ,д еаэм м' йй В, 1хмь <айтьле) Е ж 21lй 11нь лс1мм щ 6 1Ф 4 з. Итть 10, 11нь (-)» и ве «О О " 11 м с Как юдно, я трех последних примерах иапольеуетсл тощкество п„флн Правило Вериулли имеет ванное теюретическое и практическое онемение. В частности, о его г»мощьв иоана л~.

ко уста чэлиэать порядки..беоионечно малых Непрнмер, величина а - в1пм при рс. О, ооглеомо.известной теореые о раэности эквивалентных бас"онечно малых (см. 1 71, является бесконечно малой выие первого порщккэ, Но какого нменно7 Обовначии этот неиэвестный порявок черен. 4 и найдем его: вс-в1п и (-сова въ«ь м 1 1тл, . » 11тп -»«-1- » 11«п»» ' щ» О,щ' ~» О йм м.е.а В~2 ц и-2 сов ж ~ 11»п. О Мй-1)(й-й)щл ь й(й-1»(ь, й) Мн применили правило Бернулли трн раза подрав„ пора оотановитьои» тэк кэк в чнолнтояв сев Ф ~ 1»лО (оовотэенно» Ротвновиж *о тьоя лучив б»ло ещв раньче, если воопольвоватьоа тем, что Ипм.« ° ж илн (-сейм,й/й ). Значит, и э знаменателе гуано пота ребовзть; жй"в 1, т.е. »В - Ь О, 1 3.

Тогда й(4-1) ( л 2) = 6 и, стало бить, ж -в)п и' ° ж /В . Прн наличии ле бопнтотва столь ке легко найти, чему нквкоялентнв бвоконечно мелея Ж- В1т».д-м'/6 н т.д. Вхе вчн пример. Надаем нивка.»лонтнуп для бесконечно малой 1-оавв»ж (т: О) прн щ й ° Пусть 1-еоаь»м,п»й. Тоглэ 1-свв м -ахова й (-ььнж нь, 1 м» »ч »ч 1 »» —,.» — ' — — > — »ь ж~в овь я О ФФв 1 мм ьма"й таи ЧтО Р, - 2 О, т.в, ПРИ и» а 1-ООВ' ЭВ яь~в/В. С понощьв правила Вврнуллн уотвнавлнвнетоя олелуищий Факт: всякая нного раз ли4Ференцируемвя Вункчия у'(м) макет бмгь прап отвалена в виде сумин многочлвнв произвольного гь-го порявкв по отепенгч (м -д ') и бвсконечно малой более вмеокого порялчв относительно (ж - й' )": /'"Ь.) У(м) /(~,)+/"(лодж-дв) т...+ — 7- (м-ж) + У мкогочлен Р„(ж) где У„° п((ж-ж,)"), т.е 11пь в -О, м»м (»» л )н убедитьол в атон очень проото: нукио гх рве приминать.

прв вило Бернулли к рвзнооти Дд) - Я„'(а), отнвеенной и (д'-й)»: О 11пх '" » /(»в).-Р (м) и ( и оээ)»» /(м)-УЙ.)-У(',)(ж-эг,)-...- -В)-"- (м-д,)п 1)пх Ф»;»» (»в,в )и Ф)-йФ;..-~=ф чФ"' р"( )-уМ;.. / "~л) /ю~, — — ~1» »л' п(ж»г»)я мч»»(» п(п-1)(д-д)~ и к п~ (разумевтоя» нв каквом ваге, пр хве чем применить правило В,:»,- нуллн, нуяно предварительно убелитьон, что числитель и знаменатель обрвщветоя в О при й' жв ), Нолучилаоь золотая йорнуле нгтенвтичеокого анализа - Формуле Тейлора с остаточннн членом в форме Певнв. Кстати, уотэнавливал вквивалентнооть беоконечно мелик й1тьщ ° д . Ф- $1п»и »д/6,. „ мы йнктнчеоки опрваелявм ч..ени тейлоровского многочлена при »ч в О; в(пж ав -ж /б+ э знало~ичко:в-1~а .

е -1-х-юо /д, 6 1ьоседд+ м м в Ф"' + ... и т д ° Отнотнм попутно эфйектианоеть иоп»льзование твйлоровоких раплоиений для уотановления порядков бэоконечно малмх и ноховдьния превелов (здесь правило Вернуллн "оотевтоя эа кадром", отаиовяоь ненуиннм); наиболее чаете употребляэинми раэловениями явлмотоя олввуищие пять: 1»»л 1 ~. ~ ч-во /й(+ мь/Ы+„.", б(пэг эв -ю/Ь1~®~/Ь'! -...;, й эе 1 - л/21 оэ+й.' -...; 1п(1+д) ~-ж~/л +оо(~Ь ч „, ~я(пь-1) л ят (пч-1)(в»- ) 9~ч»+~~ —, а ,"г 1 1 ° Ь причви паране трл рвзлокения "работает" при всех л, а два последних при ~а~ '1 .

Например, прн ов -ьо величина в1ть вть- Жв(1-ха/6)', очэвнлно„бвоконачно мяла, но порявои ее отнпаь нвочевияен, а о помощ; тейлоровского разложения уотанввлпваетоя мгновенно; од~' ).Р/~, + ьи/В, „" ) «/В,„,„хв/б, И (попробуйте получить тот ва результат о помощье "лобового иопо- йт лнэоэения п«м»илв Йернулм»)» Рег»ьчотрич» мнрь неоколько примороэ (гтоль»о. Ноучитэль ннх) ) эччиолэния пр»»волов.' е созх-э ~,-$4-4 " (~"Ят 6 „.) соах-е $ хо хе а 1«„~х-х 1н(«т-)) 1«п ~х-х ('-- —,.)1 1«т (рг'-.хт »»ч х; »» х рй' х.ф,б,э 1«(Ь' в-т*'хе- ')-1«' ЖИ -)-~«--) 3 «4" а а«ц х-х4«тх) 1«пь х.

б ь Йолэоно»жоонэть нвкОТО«»ме таити»|еоккв нпвном ("маленькие хитрооти"): 1) членов тейлоровокого раз..очення змпноываетоя как- ЯМЙ РЭЗ ОТОЛЬКО, ОКольКО НУКНО ПО Делу„НОЯробуйч!е нэпкозть ХОТЬ одним членом больно -,убеднтэоь в его бесполезности» твк как он поет нулеиоц проке»ц 2) поиинтэ - тейлорооокне раэлокэнип длл Й , в«п х „ соэ х , онрэаааливые для воех ц», пииутон "тлео", в лоб) правде ке, чем "зключлкьв равлцченкч для 1п(«+ж) Н ( «+ Х) , НзэбходИМО Предээуитэльно убэдитьок» ч»О К 1 при бэвляетоя величина, мень»лая 1 по модулю, воли зто не твк - купив Ооответотзу»клал тактичеокая попгх»ка» например: -'Р.-) ЛРИ»м» 0 т'«Х»» «» х .»- х~ь '«.

2 — ««« при х -м О '~4«+х )»Я'(1+ ) . /' (»1 рх + у(р-О.1 «.2 х Наряду с установлением порллкоа бесконечно мял»»х наличии очень закан лля практнни и "оиыметричм»Й" вопрос - окорооть розга 4ункций на беоконечности, Известно, что три элементарные »Йункцин - показательная, отененная, логарн4м — при Х -ьм я»»ллотОя бесконечно больпиии, Йстеотаеео»Й вопрос — какая 4ункцил быстрее растет, грубо говоря, "кто сильнеет", С помощью правила Вэр"» " э» В»»м»»»»" "ч раотет быотрее любой Отолени, кяк бы она ни биль велика, э логври4м раотет иаолвннее любой степени, кок бы онэ ни была мала, - еотеотзеннвя оимметрия» н «та 1 «~пь п б х 7:»гм '" 11)к»»1«»н «» 1«тп . м»() 1М зо х х» м» х~ х ч Мхи Т, хе ° пх" «)овтому очезмкио, например» что прн ло даь1п«ю.

х; «Я" +1пх-т"х; ж .41ц'х х; л Й 4 л х+1п(ж+«) и; х 2«пх ... ", ж ъу«цх ' ... н т,д, Эти дэв 4ВКТВ РОЛВзно Опознать именно нээоэгла, для работки профеооионального ээГЛЯОВ нв Функцию, граФик, ряа, неооботвенный интеграл, Тогда, в частнооти, и пракелы типа х.м 4 4«тц ж1пй не будут вызывать размчалений. Вое лоно "с перпог с е ного зэгляэв"; 0 первого поряккэ умнокаетоя на очень олабуп беоконечность и, конечно; "задавит" ее, т а. праавл равен О.

йы уп$$пи$$ись н;нромпой тсчрстичеокой ь$ч$чии$$стк и првктнчвс$$ой $$4$$ллкт$$ьн$$$1Т$$ пр$$нию$ Бсрнул $и..'Аолст ложе сложиться впеч$$тл$$$$ие, что оно у. $$ВВ$$О льпо, всемогуще. и зто но ток, По ряпу прич$$Н - хмгн бы потому, чуо провал $$О своей природе слищкои об$цоо $ натке, чтены иы$ть кчкоп бы лс нл было единый аллоритм вы$$ИС$$О$$$$$$ ($$сн нны$$слил" оуц(сагэоп гнчг лекарство от любой болезни). $$КПН$Н С($ПСУ ° $ИЧ $$ИЛО ) $$$$$$УЛЛН 'НЭ В$Е$ ЦВ НОЗЫОЯНО Пз но Всг$$$$$ нуыыо прпы щпть„и, ко$$С $$$$$:$В, а$о нужно уметь применл$тн уп$Н$$В Оно ыож$$т $$$$$$$$'$$ нв п!$ть'$1ли припасти к нщй$ВВнльно му р$Л$$1$$ьт$$$у, клч хсля н к $$,$$$$$иль$$$$$2 Р$зу$$ьт$$ту$ нс неспгиывльны$$ пу$$П$.

Оты$тиы нн$отарыо $$риклалны$$ паласы, которые полезно асолиа$ь. йсйв „:... П$$$$р$$$$$1, ыргцнч$1($п =; ( — ) нойтк очень легко, если сО$$($э гиль '$рсбь ( — -- х э, тох чта $ц$ОПВЛ, Очэаипнс, С «Г -Ц.ч рвпен 1), но нооо; ы$ .но по прас$члу Впр$$у$$$$Н$1(тп ,. „.„ч вв 2 епх йс)$ х 1)тп — — - = 1$«п — ' - ": П$$$$$$лнлйс$ ". Или пэрпсисп к х-у ь рв$$$$$$отро$$$$$$ыу иьаа примечу Хцтп х)пх(6.~').Влщь его можно релать и так: Ж ц 11П$ ж1П щ ы)ППЧ вЂ” 11«П х-1)пл х)$ьх. Я .$.0 щ-$-О ц х«й ( . А ж О тих цпцх х ОТРП$$$$О, нс прывпа лит Ьлп$, иы долпли воо нсрпо. По чего добл- лио$*У пичего - полученчюл инбл$рм$$цик холчч и веРня, ио аоверщенно бесполезна.

Ел(в хар$п$тэрный пркыор (ч 1цтп «л(щ«1 тх) 11тп ЧЯф+-'-1) — — г $с '$ ФЧ г ' я «$ь« щ ' ур' 26 1, ':„11„, ~И „д ,$4-'0 ' й ': симо мбжнО 6$$$$о, кснв$$но„бескОНОчнО малую РвснОсть "$$П+ц 1 (илк вще роньщо )$'2+1/~: —.1 ) ввменитй ня эквивалентную но ето не ч» ' °:$ °: в ($$ $$ -$6$' и ' '$ -жт.т ' ЗО Ясно, что уыноцить и $$сдвлкть вырацениэ о акчцйлах на сопрнчснноэ гораздо проща (мм это, кстпт$$, у$ке пвллли - см. 5 13п), чем прнопосабливпть его пац прапил$$ Вцрнулли.