Казанджан Э.П., Казанджан Г.П. Вычисление пределов (1995), страница 3

Впрочем, как мы убедимся нике, количественное сравнение деке сравнимых бесконечно мальм (в качественном сммслв) отмщ(ь нз всегда возмоано. 5 7. Эквивалентные бесконечно малые величины Эквивалентные бвоконечно малые величины облздвит ривом интересных свойств, крайне полезных для прилозений. 10. 1. Пзе бесконечно ыылыо, эквивалентные порознь третье, й иэвлон.ны и мввпу собой, т.ы.

если с(« )Р /э ЭР , то м/и ° 2. Для экоияалентности бесконечно ывлых нообхоиимо н достз- тобы их.разность была бесконечно молой более Высокого лдка, чей коваая ип нкх,' т.е. Осли пь ь/6, то с(-/Ью ( аоборот. 3. Преаол отнРмвенил бесконечно малых сохрзниетсл прй замене Ф Р их нз йхвнволонтн 1О, т.е. Воли с( ч О(, /о |'~/ь, 'РО ОС ОС 1(тРь — 1)пь —, ' УЬ РЬ 4. Сумма бесконечно молых различных паряскои эквивалентна слагаемому ннсзэго порязиа, т.э. если. О( » э(/з) , то с(ч;Рд ' ы , нричоы количасуво слагаеььщ, Орсяично, произвольно. ).аРРа~ер, (!РТ 1/и' 1/и Р 4/Я.

4/ ) 1/Т/й(1/Р)~2/Г- "/ь - 3/м4-2//" и т.ц. Зти теоремы, особенно иве послозние,,очень ватны аля практики. ) 8. Сравнение бесхонечно больиих ВоличИН Это сравнение мокно пропзсги соверщенно аналогично и ламе нв тех ке синих примерах, лиюь' заменив 1/Рь на Рь (и ясно почему: ведь.

бесконечно больиэя ость'1/бесконечно малая, и наоборот), Полезно продуРРоть и по иопмоаности "приспособить" дли бесконечно больяих и теоремы об зхзииалентиРРх бесконечно малых. Очевидно„ свойства 1 и 3 (з которых фигурируют отпевании величин) целиком сохРанягоя, Свойство 2 эннупйруется (нвв ищ,зипвли Д 4 О, разность бесконечно больщих моквт быть чем угодно и ни и Какую теорему, в принципе, не "улскится"), а овойство 4 сохранится с естественной "рохировкой"Р сумме бесконечно больмих различных порлдкои эквивалентна слвгаемоиу высшего порядка.

Мвприыер,' Рц'4,РР ;,и, , ч/и ' '3 3. -Зм +2РХД л. 2РРВ ' и т.л. Полезно еще 'продумать;(и семоотОятельно повевать), что гуммз бесконечно, 'бобьмой и ограниченной является не просто бесконечно больеой (см. $ 3)т но эквивалентной исходной, з Р ж'В~РРЮВ Ры ° р ° ръ мент,м,Р Ою,. Отличие от поолпаовательнссти состоит в характере ивманвния аргументац а 'ыь, пробегал только аое целочмсленчыз 11 значения, д - »о - все вмдественные знзчсния. Озрспелзние (н обозначение) 1(ттх ЛГлс) сохуоннстся, лниь букве тт заменяется ив Й , кроме того„ будем писать у(ж) выесто д (хотя отме» тим, ч о обознзчзть общий член послезозвтельности через Д'та) вместо принятом Х было бы токе вполне логично), Рассмотрим, в чем состоит рвзличие меипу двумя воэмовными способами стремления аргумента х бесконечности: П « (дискретный аргумент) и оо (непрерывныв аргумент).

Продуызем связь 1)тть Щ) н и»» Йтп К4ж) . Нвз зерний помощник - геометричвокзя иллпстра- »Ф ция. "появление в сяоль угодно узиуа полоску знзчений 4ункцяи только прн целочисленном аргументе или всей кривой полностью. Ясно слппующее: 1) если 1(т».,у(<с) существует и резон Я, то и 11»ъ т(п) И.» Ф» »-.~ токе существует и равеН Я (нз обцего слевует частное); 2) обрэтное утверквениэ неверно (нз частного не следует общее); чтобы наглядно а этои убедиться, достаточно рвссмотреть один негетнзный пример; 1(т» э)»ъи ~0 (последовательность, соотоахзя иа однкх нулей), но Ь» в!»й а не существует (ета обы»» чнея, счвтея в 4Г рзз по оаи абсцисс синусоиде, обращающаяся в 0 при целых значеннлх ергументв и а З 1 при 'полуцелых) .

$10. (!Редел функции при Введем определение: число А называется ррезелом функции ~Гм) прк !в рео (обозначение: 1)тп у(от) ), волн для лабаза Ф.» Ф» окаль угодно малого б 0 существует такое 8(й) О, чго из неравекствв '(ц-Фд~ мо' сзвпует ) у(тс) -А ) с й . Геометрическая нхлвстрацкя: рз устремления Я» К: знвчения СС могут быть и бааьве РС о * и меньие ~ и колебаться квким-либо образом около ц , взФ вно линь, что ~ не обрвщввтся в ж . Зтв авпретительнвя -говорке позволяет рэссывтриззть наиболее к мересные ллл практики сктувции, когда функция Яж) в 'точке !й не определена, в предел существует.

Хреотомвткьный пример такого раве - первый замечательный предел: 11»т в(» м лв 0 В некоторых случаях прихолитсп рассматривать односторонние правили! когда а ~ , стэввяоь эсе время строга бельме бс о' - ето. твк назывзеьь1й препвл спрвэз, или прввосторг"ннй праве.' (обоэнвченне 1(т» у(тэ) ) )ко., лв л.' строго т внькв х - вто и» ос »о ,о тзк нэзыяаеинй препдл слева, или лезосторонний предел 'тбоэнпчвннв 11»х ям) ). Полезно самостоятельно продумвть (хотя бм Ф ° эе..-п гегчетрнческЫ взаимосвязь пределе и односторонних преяэлоз: очевидно, если 1(та у(те) Я, то и обе пределе 11тп Р(~) и ~» щв ,к» стого 11п1 Йх), существует и равны А, И нвоборот - .,'.

л» я»-с .;- Попутна мы отелкнввемся с ег "неданы понятием мвтеметичеокого анализе - непрерызиостьп. Зтс понятие явно геометрического происхохвения! гра4юк кРивой строят непрерывно, без отрыве иарвкдавв от бумаги. Нов зависит от того, чему равно значение у(зсо) ." прн т!'..з) = Д. - непрерывность, прн т';(оо ) и А непрерывности нет» происхолит так"называемый разрыв. Рзссыстр.и хрестоиатнйный пример - график функции ! при у=э(тт: щ», 0 при при '% ° *'»+ б Смысл опрезелвния преэелз: попцванне аргумента Фс в Ь-ак рестность точим й' обеспечивает поведение всех соотэетотвувщих значений функцнн )гба) в й-окрестность значения т4 ° Неоьмв существенно, что ето происковмт совершенно независимо от хврвкте- 12 Зввсь,очевидно, прн х 0 4ункция гчеет левый и.правый пределы но они и не совпеввпт, и ни один нз них не равен значении функцяи при гз = О.

Еще один, веоьмз похокий.пример: (г 0 при ж =. О, У»бтбт: 'с" » ~ Зпесь:при сг 0 левый и правый пределы сущеотвупт и'равны, но не совпавват со знеченйем бйнкции в прпкельной точке, Как известно, осе элементарные функции (отепеннвя, показа- 13 льнзя, логэрнймичеокоя, тригонометрические и обрзтные тригононетрнчэские) непрерывны з области опрэпеленич. Значит,найти прз дэл 1)тп )(зс) для любого Ж яз облаотн опрэкеления «««'Фа о принципе, очень проото: подставить пр зельное значение эргуме1ь. те Ж и получить У(щ ") . Рэзумветоя , этот трнвивльн ) ход о ("поболея« полотзновкз эргументэ) рзботэвт нз эоегээ: значение а м..ет быть знэ области определения или после подстановки В Функция окзчэтсл, например, ревностью бесконечно больших ялй отношением бе '.онечно мелях.

Общего методе лля нэхояпения пределе з таких нготэнзартнмл ситуациях не сущеотэует, однеко некоторые ча гнив слу чаен воз речэштоя доотзточно чэото, н знать соответотэующие тактические приемы необходимо. Йх-то мы и рвоомотрнм. $ П. Отношение м ч очленоэ п и а оо щ жч+щ щп-1+ +д до+а Пуоть У(а) Ф и нне многочленов одной н той ие »з-И степени. Очээизно, при л «зоба многочленз - беоконечно большие )т го порлзкв, прн чем (л»т" ... й щ", 8ачч„, В жч, тэк что аж" а, 1)чъ г(Ф) «1$тп -Л— щ ° ео — в. в,' т.е.

отношение многочлвнов одинзковых отепеней отремитоя нз бмконечноотк к отношению коэф)ициентоэ их стерших отепвнвй. Отношение ле многочлэноз резных отепеней стремится нэ бесконечности либо и О (когдв отеяень чиолителя меньше степени внэменэтеля), либо к сэ (когдэ больше); (1 щ»ч+...

тхх ~щтщ,ч «х„ 1)тп - 1(,„° -О, в .+„,+в в. -- в . (тсп) (т чм) з Этот простой результат чрезяычзйно вечен н постоянно попользуется нв прзктнке. Нот несколько примеров: вм' (ат4) (пб 11пь й- О «11»ть -, 1(чч ««е зз «о«де+4 „.о ««««йщзтб ««ж.фа«йа ьъ 1 «»Р «»~« +о . О «»"« +«1 11пч «« Отметим, что эллен не только результат озм о» себе, но и опоооб его получения (он, презла, прошел, твк окээзть, ээ кэпрон), иоторыч махно применять не только для многочленоз, Например: (1'(-уь) тзк кзк 1)тп(ИВ) О, 1;- (:.'»ь"' =,О, илн Зщ ь,. ° Ъ л. Йэ ' м««~»", В м«Ф °, Им ! «, й аз М Рзоомотрим теперь, что пронсхчпнт, вали у нзе нерлпу с це- лыми отепенями имеются и дробныв. Очезмсно, энпод о прээелэ от- ношения сохранится, хотя понятие коофрициентэ прн отзрвей степе- ни неоколько трзнобармнруетол, так кэк олэгэеммх етарвэй степени здэоь кочет быть не одно, а длз, трн...

Так, при ро - оз; 1) „-,, -.;,*л«,', °,'..;- (степень кзчзого алагаэмого 1); 4. М 2) ~««,~гор,.( тфэх~',,э~в „5».„ч (степень кзщкого олегаэмого 4); х +> п,5 от» ь п»ч-«»г щщ > В,ч+ эВ щ ч.В м. и« Ощ«п) Оч«и) йтэк) О«аз«т... а,я+а ( О прн гпчп« ще(В, при тп и, щ оо фея+ «. В щ+ В» „прн (отепень кэчкого олэгяемого 1/2) (кто оомнвэээгоя, немет нэйтк соо".,етотзуэщнй прекел нввнм отэндвртнын приенон - "тленном чнолителг н знэмвнателя нв отарэую отепень » (т „1+1/»т /,2 ' 16 Н.