Казанджан Э.П., Казанджан Г.П. Вычисление пределов (1995)

~ЛИ 22.РЗ1 К!ф Рецензенты: Г.С.Зэйцэнэ, Е.Н.Кугуаеэ К!! Квзэнпчен З.Н., Квоонпчвн Г.П. Вычисление превелов." учеб, пособие. - М..' Нзд-эо МГТУ, 1996 - 40 с., Н учебною пособии полонен ряэлсл матеыотического знвлиза, иву всныя в поосом семестре к активно испольэуенып в процессе Лвяьиьязего обучения. Кротко отрпчены нукные теоретические вопросы, представлены мйогочйслонные примеры, основное вниывние уделено рвэвитию необхолчйих технических няпйкоэ, повышению мвтемвтическоя культуры студентов, даны примеры н для овмостоятельной оаботы.

Йрмв излокения пособия соответствует модульному принципу изложения учебного материала. Для студентов первого й второго курсов и преподавателей, ведущих соотэетствующнд курс. ББК 22.161 Редвнция заказной литервтурм Зымиль Псгосопич Квзвнпчзн Геворг !(огоссаич Квеанккзн Вычисление пределов Зэвепушщэя редзкцяек Н.Г.Ковелеэсиея Редактор Е.К,Коашлвпв Корректор Л И,МАлютинв © МГТУ им.Н.З,Баумане, 1096' Нодписзно в печать 30,11.94* Формат 60х84Л6.

Бумвгз тип. Р 2. Печ.л. 2,6. Уел,пвч.л. 2,ЗЗ.Уч.-иэд.л. 2>16.Тнрят 2000 якэ. Нзп. Р 161. Зэков Р : С г.р Иэлзтельстао М!'РУ, типография ИГРУ, 107006, Москва, 2-я Ввумзнскея, 6, ПРРЕИОДОНИЕ Понятие .пределе - адно из ввчнейенх во осей зтузовской мстеметикв, Да, собственно, просто сэмсе воинов; Зяесь нот преувеличения - даче производная и ьптэсгрзл всего лишь ого чзстнче случаи. (Кстати, зороквснне и развитие пнффвренцнэльного н интегрального исчисления прекрасно иллюстрирует величие и крясоту ивен предельного перехоза, дошквиую до наших дней ип глубокой .древности.) самыми тесными узами прелел свлввн еще с двумя фунданеитэльными понятияни - бесконечно малой воличнноя и непрерывностью.

Зтв тривдк совместно сбслукивввт вачнейкую ситуацию я повелении функции. Стало быть и графику функцки прпквл случнт лобрую слукбу, Словон, нэ уровне "высоких мэтернй" всв ясно: презел - зто основа основ. К,сокзлвнию, вычислению препелоэ не уделяется долкного времени (вто наша беда) и внимания (в зто уке нвшв нияз), Слокиэавяся технике вычисления пркаэлов игрост при изучении анзлизэ при. мерно такую ке роль, кок гоствновка рук лля музыканте. Не оовснв геммы, нечего браться за оонвты л концерты.

Слкбнй нвзык в вычислении пределов мучительно ощущается е дальнейшем - прн изучении графиков, ряпон, несобственных янтегрвлов...(грубо говоря, придется хромать всю кивнь). Нестоящее поообие посвящено технике вычисления првяелоэ. Главное внимание в нем узсляетоя инеино технической отороно, теория реосмвтривазтся "прчпельно" кратко и в сугубо прнклзпнон эсвекте. Конечно, понятие предолв чрезвычайно общо, н единого рецепта для его вычиоления нвт н нв мокет бить. Звесь рвссмэтриввются ляшь ствнкартные, типовые примеры и соответствушщие Призмы нх ранения.' Пособие состоят яэ трех честей. В первой привезены ,,все основные определения к теоремы (без доквэвтельсте), рвссмот' рвны Хврзюгерные примеры нвхокденнн презелсв, твк сказать, элементарныии средстввмк (беэ нспользовзнил производных), Во второй иэлвгеется правило Бернулли.

)(вконец, в третьей части ляется примерм лля самостоятельной рябовы. 1. ВВЮДНЫЕ ТЕОРЕПЯЕСКИЕ ЗАМЕчяНгЯ; ПРОСТЕйй(Е ПРИМЕРК т 1 Препел числовой послвпоэзтельности Познзкомкться а понятием пределе удобней всего на примерах . числовых последовятельностей; здесь предельный процесс, покялук, 3 наиболее нагляаен в силу, так сказать, ствиаартности поведения аргумента: уь монотонно возрастает до бесконечности, принимая талька целмв анвчения - 1„2,3... (впрочем, начальное значение нс обязательно разно 1, з принципе, годится и любое другое целаа число). Вспомним апраделвниеч число /) назмвзвтся пределом числовой последовательности ~ ас 1(обаэначениеч 11»п .х Д ), ° мчшза - ° --'" е -о шИ..ук- ° чиоло Л'(й), что длк зов номеров И 'Л(: ~ ж„-А) шй.

Геометрический сммсл (номера»( аланов последовательности отклалмза- ем по оси абсцисс, аначения ап- по оси ординат) таков: борем около горизонтальной прямой нв висоте Я СКОЛЬ УГОДНО УЭКУЮ ПОЛОСКУ (ЛУЧЮВ симметричную), рено или поздно, на- чиная с некоторого номера' Л' + 1, все члены послааозатальностк ж, окаэмэаются внутри этой полоскм (по- А+й 'А А-а падают и нансегда чам Ьстаюгая). Рассмотрим простейвий прймерч ж„ = Х/)ч .

Очевидно, 1!гп 1/»ч 0 . В саном деле, зааааиись любам 6 , легка укадл него /ч/ 1/ а (с округлением, если потребуется, до =. 0,1 10' блкчайавга целога числа вверх); например, при й =. , Я( при б : 0,01 Л(. 100 и т,д. Совершенно аналогично мокно убедиться, что тот ка нулевой предел имеют и три другиа послааоватальносч и: Ж -1/и;(-1)"/д; 1/И~Попааание значений Оаи в эаванную й-полоску для парэмх двух из нкх обеспечивается тем ве номером А/(а), что и у ж 1/ц, а для последней ~7(Я)гю1/Ч/б(пРИ В 0.1 /Ч! .

4; пРи б 0,01 1)(' 10 и т.д.) Сопоставив эти четнре простейших примера и для наглядности изобразив их на одном черчече (самостоятельно), мокно еще болев отчетливо осознать геометрический синел прааелв - не талька что не наина, когда (при каком уг ) происходит попадание всех значений щ„, в д'-полоску (у щ 1 /м"" раньие, у 1/ц поэме, а, 1/у очевиано, еще павке); не вавка позааение чласкэкам, у 1/ч/д , очев нов последовате ь л ности внутри б-полоски - наина прибличатьая 1 . э ( ) к продальному значению сверху ( 1/)т.ч 1/цл), каина снизу (-1/ц .маяка колебляоь вокруг прваельнаго значения ( (- Х)п /уу ), каина даше постигать прелельного значения (наприиер,уй 11+(-1)1/2»- — это полусумма послалозательностсй 1/»ч и (-1)ч/»ч: О, 1/2, О, 1/4, О, 1/6..), словом, после поппаанкя з б-полоску внутри нее рлэроиано зов, любое "хулиганство"; вали будет вредя и наст- роение, проаумайте поэекение чяеноэ поалелавательноатей - (з(ц'и)/»() (д1тч чч~)/дц (й1п лиц) (ачц%п/2) /л .

Геометричес- ки ООВзиана,, чча,при,зааанном я, алин и тот ха камер Л((В) "Об- слуки»" вместе а;1/у). и все эти последовательности. Значит, прааал,у них, токе,О, хотя поахад к прааальному знзчонию довольно "акэочичеи",, Весьма полезна перенести ету геометрическую очевипность из аналитический язнй.

наблюлая зз"поэеаением члакол простейших и' "'икаотицеоинх" послеаовательносюзй, мокко а()ориулнровать''слечую- щее утаорчаение: вали 11пч ц () , з ) у '~ щ ~ ц ) для п ааох:доотаточно больших номероп у) ( ( ~ ) и (у ) - произволь- ные послеаоаатехьностк, тй.и 1)ич у Ъ .

Это простенькое по П-мч, В сути утзарааапис макет бм»ь' полезно и само по саба, на глазное- ощутить' принцип сгамне~ия на примерах прастойких чкслозмх после- аопзтельностай, чтабм затаи аирояс,,применять аго.и а дальнейкем- в рнлах, инч э»радах, особенна несобственных, и т.д, ,, 1 2. Вааканачно малая величина В'ходе Развития матииатичаского айализа постепенна змаелклись несколько -нэияалоа зачнмх типов изманебия переменных величин. Глааньм иа них смело мозно считать так иаэмваемую бесконечно малую величину. Вспомним ае апреавлапие: '-переменная величина наамкзатал леаканачно малой в .аьчачоч прдцсаае, если, каково бм ни била постояипао число б " 0 .. наступит э атом процесса такой иомент, посла которого.уча рсегда змполнявтся нзравенство: ) и ) ш В .

Вак, пиано, црааал' бесконечно малой величинм . ровен О '(а )' ц - С ) и 6 ),, Весконечно калай заличицв являстая частник,случаем ограниченной к)еличибм; опрсааленив: переменная;пзлнчччна и назмэиетсяь-' огрлничо(йиой э паннам процессу, если существует такое постоянное число,ф м 0 , что,нэчинад.а некоторого,моменча працесса уке .ваагна вйполнлется иерзвенств92 ~ (у ) ь ))1 .

Сопоставим.геомстричаояий "СММСЛ бясконачно малой и ограниченной ввличинч для первой требуется папаэанир а сколь угодно узкую,,полоску; пля второй- хати бм 'з' нокоторур полосу . Полезно на докааыввя продумать геометрнческй двв проатек- шнх свойства бэсконечпс малых велнчин (теоремы): 1..Сумма к разность бесконечно малых твккв бесконечно малы. 2. Произведение бесконечно наход на ограниченную (а ук тем болев нв бесконечно малую) - бесконечно малая.

Это относятся и к"основнын теоремам о преаелах: предел' суммы, разности, пронэввканкя, частного равен соответственно сум- ме, разности, прокэзввению, частноыу пределоэ этих авлкчин (по- лагаетпа, что все этн пределы существует, а в послванен случае предел знаменателя отлнчен от 0). Очеэнано,,два саверненно рваных понятия предел н беско- нечно, малая - поронпенн сюнск ситуацией, обусловленной харвкте роы анненская переменной валнчкныл:Связь этнх поняткй к смысл' ск- туацнк отранены в двух взаимно обратных теоремах: 1. Если 1)кР и Я , то и -Я'. сС - бесконечно малая величина '(т.в. разность переменной велнчнны к ее предела беско- нечно мала). 2. Если' и А «сО , то' 1)цРи А (волн переменная зе- лнчкна яэляетоя Суммод константы Рц к 'бесконечно малой, то зта константв Я предел денной перемейной величины ц ).

Геометричасккк смысл снтуацнн'(н' теорем) ясен н связан линь с располоаеннвм 6-пслоскнР длн бесконечно налей величин(Р ока "нанизана" нв ооь,абсцнсс, а прн нерР(вном 0 пределе варткка- льно смещвне на велнчнму прекела, Я (вверх, есни прааел полокн- телен, к вккз, еолй отрк(р)талек), 5 Э. Схсднмоеть н ограниченность Сущестаованне прапвла чнсловой последовательности - собы- тие, 'столь вакное а'ее бксграбнн,' что получило специальное наэва- ннв охцанмссть', сама'последовательность называется прн этом сходящаяся. Как вкяно кз теорем $ 2, сходкмооть н бесконечнома- лость понятия практически эквнзалентныв (с точностью до конс- тантм. А -Р Зкачаккд предела);.:Спевкам (собственно, 'в 'сущности повторны) тс ае, чтз 'н 'в т 2' -' сопоотакнм два свойства: сходк-' мостьРН ОГРанкчвннсСРУь' (частдое 'н общйе), Эту овяаь отракаат те- орама".