Интегралы 30 вариант (Интегралы (Кузнецов Л.А.))

Скачано с http://antigtu.ruU.ruЗадача Кузнецов Интегралы 1-30Условие задачиВычислить неопределенный интеграл:tiGTРешениеОбозначим:СкачанТ.е. получаем:осanВоспользуемся формулой интегрирования по частямБез потери общности считаемЗадача Кузнецов Интегралы 2-30:. Получаем:Условие задачиU.ruВычислить определенный интеграл:tiGTРешениеОбозначим:. Получаем:анОбозначим:осanВоспользуемся формулой интегрирования по частямСкачВоспользуемся формулой интегрирования по частям. Получаем:Задача Кузнецов Интегралы 3-30U.ruУсловие задачиВычислить неопределенный интеграл:tiGTРешениеЗадача Кузнецов Интегралы 4-30Условие задачиanВычислить определенный интеграл:СкачаносРешениеЗадача Кузнецов Интегралы 5-30Условие задачиВычислить неопределенный интеграл:tiGTПод интегралом неправильная дробь.

Выделим целую часть:U.ruРешениеПолучаем:СкачаносanРазложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенныхкоэффициентов:Прибавим ко второй строке первую умноженную на 3:U.rutiGTТогда получаем:Задача Кузнецов Интегралы 6-30 (возможно с ошибкой)Условие задачиanВычислить неопределенный интеграл:РешениеСкачаносРазложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенныхкоэффициентов:Прибавим к четвертому уравнению третье умноженное на 2:U.rutiGTПрибавим к четвертому уравнению второе умноженное на 4:СкачТогда:аносanПрибавим к четвертому уравнению первое умноженное на 8:Задача Кузнецов Интегралы 7-30Условие задачиU.ruНайти неопределенный интеграл:РешениеаносantiGTРазложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенныхкоэффициентов:СкачВычтем из второго уравнения четвертое:Вычтем из второго уравнения первое:tiGTU.ruанСкачТогда:осanВычтем из третьего уравнения четвертое:Задача Кузнецов Интегралы 8-30Условие задачиВычислить определенный интеграл:U.ruРешениеВоспользуемся универсальной подстановкой:, тоanТак какtiGTОткуда:СкачаносПодставим:Задача Кузнецов Интегралы 9-30Условие задачиВычислить определенный интеграл:U.ruРешениеВоспользуемся подстановкой:tiGTОткуда:осanПодставим:Задача Кузнецов Интегралы 10-30анУсловие задачиСкачВычислить определенный интеграл:РешениеU.rutiGTanосанЗадача Кузнецов Интегралы 11-30Условие задачиСкачВычислить определенный интеграл:РешениеЗамена:U.rutiGTПолучаем:Задача Кузнецов Интегралы 12-30Вычислить определенный интеграл:anУсловие задачиСкачПолучаем:анЗамена:осРешениеU.ruЗадача Кузнецов Интегралы 13-30Условие задачиРешение, откудаanПод интегралом дифференциальный биномtiGTНайти неопределенный интеграл:Так, как- целое, то используем замену:- знаменатель дроби.ос, гдеСкачПолучаем:анТ.е.

в нашем случае замена имеет вид:U.ruЗадача Кузнецов Интегралы 14-30Условие задачиtiGTВычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций:Очевидно, что прии::анА в точкахосanРешениеСкачВычисляем площадь:Используем интегрирование по частям:Получаем:U.rutiGTИспользуем интегрирование по частям:Задача Кузнецов Интегралы 15-30Условие задачиосМатериал из PlusPiПерейти к: навигация, поискanПолучаем:СкачРешениеанВычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями.U.ruНайдем точки пересечения:.

Тогда абсциссы точек пересечения будут:tiGTНас интересует интерваланосanВычисляем площадь:Задача Кузнецов Интегралы 16-30СкачУсловие задачиВычислить площади фигур, ограниченных линиями, заданными в полярных координатах.antiGTU.ruРешениеи тогда получаем:СкачаносГдеЗадача Кузнецов Интегралы 17-30Условие задачиВычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в прямоугольной системе координат.U.ruРешениеДлина дуги кривой, заданной уравнением, определяется формулойаносanТогда по вышеприведенной формуле получаем:tiGTНайдем производную данной функции:Задача Кузнецов Интегралы 18-30СкачУсловие задачиВычислить длины дуг кривых, заданных параметрическими уравнениями.Решение:осanТогда по приведенной выше формуле имеем:tiGTНайдем производные поU.ruДлина дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями, определяется формулойЗадача Кузнецов Интегралы 19-30Условие задачиСкачРешениеанВычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в полярных координатах.Задача Кузнецов Интегралы 20-30Условие задачиВычислить объемы тел, ограниченных поверхностями.U.ruРешениеВ сечении данной фигуры плоскостьюиравнаtiGTПлощадь эллипса с радиусаминаходится эллипс:осanПо определения радиуса эллипса:Задача Кузнецов Интегралы 21-30Условие задачиВычислить объемы тел, образованных вращением фигур, ограниченных графиками функций.

Ось.СкачанвращенияПоскольку осьantiGTU.ruРешениеявляется осью вращения, то объём находится по формуле:аносНайдем пределы интегрирования:СкачНайдем объём тела, как сумму объёмов двух тел вращенияиU.ruЗадача Кузнецов Интегралы 22-30tiGTУсловие задачиУказание: Уравнение состояния газам,РешениеПлощадь поршня:м., гдеосм,anЦилиндр наполнен газом под атмосферным давлением (103,3 кПа).

Считая газ идеальным,определить работу (в джоулях) при изотермическом сжатии газа поршнем, переместившимсявнутрь цилиндра на м (см. рис.).анОбъём газа в процессе сжатия:Давление газа в процессе сжатия:Сила давления на поршень:СкачПо определению элементарная работа– давление,– объем.осанСкачжU.rutiGTanкД.