Интегралы 22 вариант (Интегралы (Кузнецов Л.А.))

Скачано с http://antigtu.ruU.ruЗадача Кузнецов Интегралы 1-22Условие задачиВычислить неопределенный интеграл:tiGTРешениеanОбозначим:осВоспользуемся формулой интегрирования по частямЗадача Кузнецов Интегралы 2-22Условие задачиСкачРешениеанВычислить определенный интеграл:Обозначим:. Получаем:.

Получаем:U.ruВоспользуемся формулой интегрирования по частямtiGTОбозначим:осanВоспользуемся формулой интегрирования по частямЗадача Кузнецов Интегралы 3-22Условие задачиСкачРешениеанВычислить неопределенный интеграл:Задача Кузнецов Интегралы 4-22Условие задачиВычислить определенный интеграл:. Получаем:U.rutiGTРешениеУсловие задачиРешениеосВычислить неопределенный интеграл:anЗадача Кузнецов Интегралы 5-22СкачанПод интегралом неправильная дробь.

Выделим целую часть:Получаем:Разложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенныхкоэффициентов:U.rutiGTанТогда получаем:осanПрибавим ко второй строке первую:СкачЗадача Кузнецов Интегралы 6-22Условие задачиВычислить неопределенный интеграл:РешениеtiGTU.ruРазложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенныхкоэффициентов:anПрибавим к четвертому уравнению третье умноженное на 2:СкачаносПрибавим к четвертому уравнению второе умноженное на 4:Прибавим к четвертому уравнению первое:U.rutiGTТогда:Условие задачиРешениеосНайти неопределенный интеграл:anЗадача Кузнецов Интегралы 7-22СкачанРазложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенныхкоэффициентов:U.ruанСкачТогда:осantiGTВычтем из третьего уравнения первое:Задача Кузнецов Интегралы 8-22Условие задачиU.ruВычислить определенный интеграл:РешениеtiGTВоспользуемся универсальной подстановкой:anОткуда:осПодставим:СкачПолучаем:анЗамена:Задача Кузнецов Интегралы 9-22Условие задачиВычислить определенный интеграл:U.ruРешениеВоспользуемся подстановкой:antiGTОткуда:осПодставим:СкачанРазложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенныхкоэффициентов:U.rutiGTосanПолучаем:Задача Кузнецов Интегралы 10-22анУсловие задачиСкачВычислить определенный интеграл:РешениеU.rutiGTЗадача Кузнецов Интегралы 11-22РешениеСкачанЗамена:осВычислить определенный интеграл:anУсловие задачиПолучаем:U.ruЗадача Кузнецов Интегралы 12-22Условие задачиtiGTВычислить определенный интеграл:anРешениеосЗамена:анПолучаем:СкачЗадача Кузнецов Интегралы 13-22Условие задачиНайти неопределенный интеграл:U.ruРешениеТак, как, откудаtiGTПод интегралом дифференциальный бином- целое, то используем замену:, где- знаменатель дробиanТ.е.

в нашем случае замена имеет вид:.СкачаносПолучаем:Задача Кузнецов Интегралы 14-22Условие задачиВычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций:U.ruУсловие задачиanЗадача Кузнецов Интегралы 15-22tiGTРешениеРешениеосВычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями.СкачанПостроим указанную область:U.ruНайдем точки пересечения:отрезок длинойпериодичны (с периодом. Возьмем. Тогда:илина отрезкеаносanИз рисунка видно, что область симметрична относительно осипо формуле:Скач), то берем любойtiGTТак как функциии ее площадь можно посчитатьU.ruЗадача Кузнецов Интегралы 16-22tiGTУсловие задачиВычислить площади фигур, ограниченных линиями, заданными в полярных координатах.СкачаносanРешениеПостроим в полярной системе координат график заданной функцииЗадача Кузнецов Интегралы 17-22Условие задачиU.ruВычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в прямоугольной системе координат.РешениеНайдем производную данной функции:СкачаносanТогда по вышеприведенной формуле получаем:, определяется формулойtiGTДлина дуги кривой, заданной уравнениемЗадача Кузнецов Интегралы 18-22Условие задачиВычислить длины дуг кривых, заданных параметрическими уравнениями.Решениедля заданной кривой:осanТогда по приведенной выше формуле имеем:tiGTНайдем производные поU.ruДлина дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями, определяется формулойЗадача Кузнецов Интегралы 19-22Условие задачиСкачанВычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в полярных координатах.Задача Кузнецов Интегралы 20-22Условие задачиantiGTU.ruРешениеСкачанРешениеосВычислить объемы тел, ограниченных поверхностями.Задача Кузнецов Интегралы 21-22Условие задачивращенияU.ruВычислить объемы тел, образованных вращением фигур, ограниченных графиками функций.

Ось.Задача Кузнецов Интегралы 22-22СкачаносУсловие задачиantiGTРешениеЦилиндр наполнен газом под атмосферным давлением (103,3 кПа). Считая газ идеальным,определить работу (в джоулях) при изотермическом сжатии газа поршнем, переместившимсявнутрь цилиндра на м (см. рис.).Указание: Уравнение состояния газам,м,м.РешениеПусть поршень находится на расстоянии, где– давление,– объем.где:U.ruСила, с которой газ давит на стенки равна:площадь поршня,давление газа.Так как процесс изотермический, тоДавление газа в процессе сжатия:tiGTОбъём газа в процессе сжатия:СкачаносanПо определению элементарная работакДж.