ГЛАВА 5 (Учебник - Логические методы в искусственном интеллекте (2,3 и 5 глава)), страница 3

Х= {х1,х2,х3,х4,х5},Таким образом,.Пустьесть нечеткие множества в X и Y соответственно.Степенью нечеткостимножествоммножествав Х есть отрицание степени равенства междуи его носителем А, т.е.На основании (5.33) имеемГдеЕсли, тоВ этом случае величинав выраженииможно заменитьравна единице. Поэтому. Поскольку для всехвеличина, то получаемНа основании определения операции эквивалентности окончательно имеем.{E% = < µНечеткое множество.E( x), x > | xО X}назовем нечетко индифферентным в Х, если5.7. Основные свойства операции над нечеткимимножествамиПусть-произвольные нечеткие множества в Х. Имеют место следующие свойства:Для доказательства нечетких равенств (5.38) - (5.53) множеств, полученных из множествв X с помощью логических операций, необходимо использовать выражения (5.31)—(5.37) и соотношения для расплывчато близких формул (5.8)-(5.25), показать, что степеньравенства.

Поскольку величинав соответствии с (5.2) равна наименьшемуиз значений степеней истинности эквивалентностипо всем, то необходимопоказать, что для любогоэта величина больше или равна 0.5, т.е. нечеткие высказыванияо принадлежности любогомножествамрасплывчато близки. Если значениястепеней истинности двух высказываний равны, то эти высказывания расплывчато близки.Поэтому для доказательства нечеткого равенства множеств следует показать, что для любогозначения функций принадлежности для каждого из этих множеств равны, т.е..Докажем, например, второе выражение (5.42). ПустьпринадлежностиэлементовизX-соответственно функциимножествами.Длядоказательства нечеткого равенства этих множеств нужно показать, что.Пусть х - произвольный элемент множества X. Тогда на основании (5.31) имеемРаскрываемна основании (5.32)Наконец, к полученному равенству применяем (5.12)Теперь, применив к полученной правой части последовательно (5.31) и затем (5.32), получим, ч.т.д.Выражения (5.38)-(5.53) справедливы для любых нечетких множествв X.

Отсюдаследует, что они справедливы и для любых четких множеств, являющихся подмножествами X.Однако возможны нечеткие равенства, не имеющие аналогов в теории четких множеств.Каждое непустое нечеткое множествов X можно представить в виде, (5.54)где- четкое множество, состоящее из тех, для которых значениефункций принадлежности равно или больше некоторого уровня а. Причем(5.55)- это множество а-уровня с носителем Аа.Таким образом,Пример 5.8. ПустьПосколькунайдем четкие множестваМожно проверить, что:.

Действительно,Декартовым (прямым) произведением нечетких множествмножество,называется расплывчатоев X xY, определяемое какДанное определение прямого произведения нечетких множеств вытекает их определения четкихмножеств и из выражения (5.54). Представим на основании (5.54) нечеткие множествав виде,,и, где. Тогда,. (5.58)Пример 5.9. ПустьНайти декартово произведение. Множество уровней есть.ТогдаТот же результат можно получить с помощью матрицы смежности.

Этот способ представленияпрямого произведения, на наш взгляд, более наглядный. Действительно, пусть даны те женечеткие множества. Матрица смежности в этом случае имеет размерность 2x3. Строкиматрицы обозначают элементы множества А, а столбцы - элементы множества В. Тогда напересечении i-строки и j-столбца помещается функция принадлежности, определенная всоответствии с (5.57):RA% ґ B% =x1x2y1 y2 y30.3 0.3 0.30.7 0.3 0.8ПустьКомпозицией (сверткой) нечетких множеств называется нечеткое множество:(5.59)Отсюда следует, что <x,z>принадлежат нечеткому множествус наибольшей изменьших степеней принадлежности компонируемых пар <x,y> О X ґ Y и <y,z>нечеткиммножествам, в качестве у может выступать несколько компонируемых элементов.Пример 5.10. Найти композицию (свертку) нечетких множеств5.8.

Нечеткие отношенияНечетким отношениемна произвольном непустом множестве X называется парамножеств, в которойявляется нечетким множеством в X. Вобластью задания, а- нечетким графиком отношения.Носителем нечеткого отношениямножество X называетсяназывается четкое отношение, у которогографик F является носителем графика .Существуют четыре эквивалентных способа задания нечетких: теоретико-множественный,матричный, графический и с помощью нечетких предикатов.Для задания отношения в теоретико-множественном виде необходимо перечислить множествоX = {xi},i О I = {1,..., n} и задать нечеткий график{}F% = < µ< xi, xj > ,< xi, xj > > |< xi, xj > О X ґ X .FВ матричном виде нечеткое отношение задается с помощью матрицы смежности Rφ`, строки истолбцы которой помечены элементами, а на пересечении хi, строки и xj столбцанаходится элемент, где- функция принадлежности элементов из ХxХнечеткому графику .Нечеткое отношение можно задать в виде графа с множеством вершин X, дугам < xi, xj >которого приписано соответствующее значениеПример.

Зададим нечеткое отношениефункции принадлежности, у которого X={x1,x2,x3,x4,x5,x6},.анечеткийМатрица смежности нечеткого отношенияПустьимеет вид:- произвольное нечеткое отношение. Если паравыражение,топредставляет собой нечеткое логическое высказывание, значение истинности. Отсюда следует, что для задания нечеткого отношения φ` на Xкоторого равнонеобходимо задать нечеткую формулу, от двух переменных или нечеткий предикат,который определен на множестве X, а значения принимает из интервала [0,1].Пустьотношенийи- некоторые отношения на X. Определим степень равенства:(5.60)Если, то отношениянечетко равны, т.е.отношения нечетко не равны. ПриСтепенью. Если жеотношениянечеткости отношения, товзаимно индифферентны.называется величина,где φ - носитель расплывчатого отношения.

На основании (5.60) имеем(5.61)Есливысказывания, то пара <xi,xj>равна единице. Поскольку <xi,xj>записать в виде:, т.е.. Отсюда степень истинностии величина, то выражение (5.61) можно(5.62)Пустьи- произвольные нечеткие отношения на X. Отношениевключается в отношение у, если. Это обозначаетсяОбъединением отношенийэтом для любыхнечетко.называется нечеткое отношение, если. Присправедливо(5.63)Пересечениемотношенийназываетсянечеткоеотношение.При этом имеет место(5.64)Дополнением отношенияназывается отношение, у которого для любыхсправедливо(5.65)Инверсией отношениясправедливоназывается нечеткое отношение, для которого(5.66)Композицией (сверткой) отношенийнечеткий графикназывается отношениеи для любых xi, хj, хk, у котороговыполняется соотношение:(5.67)B выражении (5.67), называемого сверткой max- min, операция U означает взятие максимумадля всех xk, a I - взятие минимума.Для произвольных отношений,исправедливы свойства:Композицию отношений можно найти из "произведения" полученных матриц:5.9.

Нечеткие выводыВ случае нечеткой логики правила вывода заключений такие же, как и в четкой логике. Однако,если в четкой логике вывод основан на точном знании факта, то в нечеткой логике, выводбазируется на множестве возможных фактов, появление которых определяется функциейпринадлежности. Например, рассмотрим известное правило modus ponens для четких систем:P→Q и Р, то Q, т.е. вывод Q из факта Р по правилу P→Q. To же правило применимо и длянечетких рассуждений, но в этом случае мы должны записать:знания нечеткие, то множестваинеобязательно совпадают. Еслидругу, то можно их сопоставить и получить выводЗнаниеи, тои.

Еслиблизки друг.отражает нечеткое причинное отношение посылки и заключения. Назовем этоотношение нечетким R: R=. R можно рассматривать как нечеткое множество прямогопроизведения ХхY полного пространства посылок X и полного пространства заключений Y.Таким образом, процесс получения результата выводазнания правила можно представить в виде композиции:с использованием наблюденияи.Вывод G` определяется из свертки max-min нечеткого множества F' и отношения R наосновании (5.59), (5.67), а также (5.54) и (5.55):В полученной матрице (вектор-строке) каждый i-й элемент представляет значение функциипринадлежности множества. Таким образом, мы получили множество={<0|1>,<0.1|2>,<0.6|3>,<0.6|4>}.Иными словами, ответ - "в некоторой степени больше".Пример 5.13 .Рассмотрим нечеткий вывод в задаче принятия решения о неисправностиавтомобиля при упрощенной диагностике.

Такой подход может быть использован в другихдиагностических системах. Очевидно, что сложность решения будет зависеть от полнотыописания системы.Пусть полное пространство посылок X состоит из т факторов, а полное пространствозаключений - из n симптомов:X={x1,x2,…xm},Y={y1,y2,...,yn}.При m=2, n=3 можно интерпретировать посылки и симптомы (заключения) следующимобразом:x1 -неисправность аккумулятора,x2- неисправность в карбюраторе,у1 - затрудненный запуск,у2- ухудшение цвета выхлопных газов,у3- недостаток мощности.Между каждой предпосылкой и каждым заключением имеется причинное отношение, котороеобозначим импликацией xi→yj. Все такие отношения образуют матрицу нечетких отношений R.Конкретные предпосылки и заключения можно рассматривать как нечеткие множествана пространстве X и Y. Тогда отношение этих множеств имеет вид:(i)Будем считать, что знания эксперта определены матрицей R и она известна.

Кроме того,известны по наблюдениям конкретные в данный момент тестирования значения множестваЗадача состоит в определении значений элементов множества посылокопределить причину. Пусть матрица R отношений имеет вид:R=0.9 0.1 0.20.6 0.5 0.5Пусть конкретное состояние автомобиля определяется множеством., т.е. по следствиям.Необходимо определить элементы множествапринимает вид:. Тогда выражение (i)или в транспонированном виде:Раскрыв это векторно-матричное выражение, получим:Второй член правой части (ii) не влияет на левую часть, поэтому:Из (iii) имеем:Таким образом,т.е.