ГЛАВА 5 (Учебник - Логические методы в искусственном интеллекте (2,3 и 5 глава)), страница 2

В случае равенства 0.5 их называют нечетко взаимно индифферентными.Выражения (5.1)—(5.5) в случаях, когда степень истинности высказываний принимает толькодва значения 0 или 1, определяют соответствующие логические операции над четкимивысказываниями.Пример5.2.Найтистепень, еслиистинности=0.7,=0.4,сложногонечеткоговысказывания=0.9. Используя (5.1) - (5.5), получим5.4. Нечеткие логические формулыПод нечеткой высказывательной переменной х, будем понимать нечеткое высказывание,степень истинности которого может принимать значения из интервала [0,1].Нечеткой логической формулойназывается:• любая нечеткая переменная или константа из [0,1];• выражение, полученное из нечетких логических формулиприменением к ним любого конечного числа логических операций.Для задания нечетких логических формул используются аналитические выражения, так какиспользование здесь таблиц степеней истинности невозможно из за их бесконечности.Рассмотренные в предыдущем разделе нечеткие сложные высказывания являются нечеткимилогическими формулами, если образующие их простые нечеткие высказывания рассматриватькак нечеткие высказывательные переменные.Для любых двух нечетких формули, которые определены нанаборах нечетких высказывательных переменных,выводится фундаментальноепонятие степени их равносильности, которое является обобщением понятия равносильностичетких формул.Степень равносильности нечетких формули определяется выражениемиобозначается(5.6)где знак- операция эквивалентности, определяемая по (5.5);- операция конъюнкции,определяемая по (5.2), которая берется для всех возможных наборов степеней истинностинечетких переменных.

Если степень равносильности нечетких формулина всех определенных наборах степеней истинности нечеткихвысказывательных переменных больше или равна 0.5, то такие формулы будем называтьнечетко близкими на этих наборах и обозначать. В случае, когдаменьше или равна 0.5, будем считать, что формулыявляются нечетко близкими на указанных наборах, и это обозначаетсяЕсли, то формулыявляются нечетко близкими. В этом случаеиихинеодновременно являются и неназываютиндифферентнымииобозначают.Важно подчеркнуть, что нечеткие формулы, имеющие на одних и тех же наборах одинаковыестепени истинности, не равносильны, а имеют некоторую степень равносильности, большуюили равную 0.5, но всегда меньшую или равную единице.

Поэтому для одних и тех же формулможно говорить о степени их неравносильности, которая определяется как.Пример 5.3. Определим степень равносильности формулиприусловии, что x% принимает значения степеней истинности из множества дискретных значений{0.8, 0.6, 0.7}, a y% - из множества {0.3, 0.4}. Подставим в (5.6) заданные формулы, тогдаВыбирая все возможные наборы степеней истинности переменных x% и y% , получимМожно утверждать, что формулыинечетко близки при заданных значенияхстепеней истинности переменных.Если для той же задачи положить, чтопринимает значения степеней истинности измножества {0.2, 0.4}, а y% - из множества {0.6, 0.7,0.8}, то будем иметьСледовательно, формулыив этом случае не являются нечетко близкими.Рассмотрим понятия нечетко истинных и нечетко ложных формул. Пустьформула.

Если при всех определенных значениях степеней истинности нечетких переменныхзначение степени истинности нечеткой логической формулыбольшеили равно 0.5, то такую формулу назовем нечетко истинной на этих наборах и обозначим ееЕсли на этих же наборах степень истинности формулытакую формулу будем считать нечетко ложной и обозначать.меньше или равна 0.5,.Пусть,- соответственно некоторые нечетко истинные и нечетко ложные формулына одних и тех же наборах переменных. Тогда справедливы соотношения:Если A%1 и A%2 - произвольные нечеткие логические формулы, то справедливы выражения:гдеопределены на одних и тех же наборах переменных.Примерами нечетко истинных и нечетко ложных формул являютсяИз определений операций, и(5.7)имеемпри любых значениях степени истинности .

Следовательно, из определений нечетко истинныхи нечетко ложных формул вытекает справедливость (5.7)Свойства (5.7) позволяют определить класс нечетко близких формул, не имеющих аналогов вчеткой логике.Если нечеткая формулапредставима в видеформула, гдепеременных, aии, а- некоторые нечеткие формулы от нечетких- нечеткие переменные из набора,то можноутверждать, что.Действительно, на основании (5.7) и (5.2) имеем, а учитывая (5.5) и (5.6), получаем.Аналогично,еслипредставимаввидеиформулы от переменныхможно утверждать, что, где,и,и- некоторые нечеткие- нечеткие переменные из этого же набора, то.Для установления нечеткой близости нечетких логических формул могут быть использованыследующие соотношения, которые справедливы для любых наборов значений степенейистинности нечетких переменных.Пусть,%y,и- нечеткие логические формулы, Тогда;(5.8)x∧ x ≈ x ;(5.9);,(5.10);(5.11)(5.12);(5.13);;(5.14);;;(5.15)(5.16)(5.17)(5.18)(5.19)(5.20)(5.21)(5.22)(5.23)Кроме того, имеют место следующие свойства.

Пусть С -константа, причем 0<С<1. Тогда(5.24)(5.25)Если число нечетких высказывательных переменных велико, то перебор всех возможныхсоотношений между степенями их истинности для установления нечеткой близости логическихформул становится затруднительным.

В этих случаях для доказательства нечеткой близостииспользуются выражения (5.7)^(5.25) или вытекающие из них.Пример 5.5. ДоказатьИспользуем (5.13)Применим еще раз (5.13)Используя (5.12), (5.9) и (5.10), получим соотношениеПрименим к полученному выражению (5.12)На основании (5.19) имеемДля завершения доказательства применим (5.17). Что и требовалось доказать.5.5. Нечеткие предикаты и кванторыРассмотрим такие нечеткие логические формулы, которые определены не на нечеткихвысказывательных переменных, а на каком-либо множестве X.

Свои значения формулапринимает из интервала [0,1]. Такие нечеткие формулы называются нечетки предикатами.Заметим, что функция,введенная при рассмотрении нечеткого множествав множестве X,является одноместным нечетким предикатом, определенным на множестве X.Пример 5.5. Пусть Х={ 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}. Тогда нечеткий предикат А(х) -"быть небольшимчислом"можетприниматьследующиезначения:и фактическимножестве X.задаетнечеткоеПусть нечеткий предикатмножествовопределен на множестве X={x1,x2,...xn.}.

Тогда для каждогоопределено значениеВеличинупредиката.(5.26)назовем степенью общности свойстваЕслидля элементов множества X., то на логическую формулуможет быть навешен квантор нечеткойобщности , который читается "для всех...", или "для любого...".Аналогичным образом, величину(5.27)назовем степенью существования свойстваЕсли, то на логическую формулудля элементов множества X.может быть навешен квантор существования, который читается "существует такой...", или "имеется такой...".Пусть- нечеткая логическая формула от одной переменной, принимающей значения измножества X.

Выражениеявляется нечетко истинной формулой и читается "длялюбогостепень истинностибольше или равна 0.5", а выражениеявляется нечетко истинной формулой и читается “существует такой, что степеньистинности высказываниябольше или равно 0.5».Найдем по формуле (5.13) величинуотрицания. Получим, применяя к правой части (5.26) операцию(5.28)На основании (5.28) имеемОтсюда следует, что(5.29)Аналогично можно показать, что(5.30)Порядок навешивания одноименных нечетких кванторов несуществен, в то время как менятьместами разноименные нечеткие кванторы в общем случае нельзя.5.6. Операции над нечеткими множествами.Более полное изложение операций над нечеткими множествами представлено в [26], [28].

Здесьмы ограничимся кратким изложением, подкрепленным примерами.Пустьи B% - нечеткие множества, причемПересечением множествследующим образоминазывается нечеткое множество, которое определяется, где(5.31)Объединением нечетких множестви определяемое какиназывается нечеткое множество, обозначаемое,где(5.32)Дополнением множестваназывается и через обозначается нечеткое множество¬A, где(5.33)Разностью множествиназывается множество, где(5.34)Пример 5.6. Пустьи- нечеткие множества в множестве. Найдемна основании данных вышеопределений:Можно предложить такую интерпретацию приведенного примера.

Пусть"отличников" студентов, акакого-тоуниверситета.- множество- множество "спортсменов" студентов на множестве студентовТогда"отличников" и "спортсменов",-нечеткоемножествостудентоводновременно- множество студентов "отличников" или "спортсменов",- множество студентов "не-отличников", а- множество студентов " не-спортсменов".- множество студентов одновременно "отличников" и "не - спортсменов", В\А множество студентов "спортсменов" и "не-отличников".При построении нечетких моделей важную роль играют понятия нечеткого включения инечеткого равенства множеств.Пустьвеличина- нечеткие множества в X.

Степенью включения множестваназывается, (5.35)где- значения функций принадлежности нечетких множествАналогично можно определить степень включениямножествосоответственно.расплывчатого множествав.Еслиобозначается, то полагают, что множество А нечетко включается в множество В и. В противном случае множество А нечетко не включается в В, иобозначается.Степенью равенства нечетких множеств А и В называется величина(5.36)Если, то полагают, что множестваинечетко равны, и обозначают.Если, то множества расплывчато не равны.Операции импликации → и эквивалентности ↔ определяются соответственно по (5.4) и (5.5);величиныипонимаются как нечеткие высказывательные переменные, аоперация конъюнкции, определяемая по (5.1), которая берется по всем.Понятие расплывчатого равенства является обобщением понятия равенства четких множеств Аи В, так как в этом случае при А =В имеем.Используя определение эквивалентности в (5.31) и учитывая коммутативность конъюнкции,получимОтсюда, на основании (5.30), следует(5.37)Пример 5.7.