ГЛАВА 5 (Учебник - Логические методы в искусственном интеллекте (2,3 и 5 глава))

ГЛАВА 5. ЭЛЕМЕНТЫ НЕЧЕТКОЙ ЛОГИКИ5.1. ВведениеВ предыдущих разделах были рассмотрены объекты предметных областей (множеств),относительно которых можно однозначно сказать, являются ли объекты элементамирассматриваемого "мира" или нет. Эти множества имеют "четкие" границы, отделяющиеобъекты, принадлежащие множеству, от других объектов. Такие множества назовем четкими двузначными ("да" и " нет" или "истина" или "ложь") относительно принадлежности объектаданному множеству. Отношения между объектами четких множеств описываются четкой, т.е.двузначной логикой.Однако в мире очень многое не делится только на черное и белое. Например, пусть человекклассифицирует предметы по цвету (розовый, алый, красный, бордовый), относя их в одинкласс одноцветных, с его точки зрения, предметов.

Ясно, что некоторые предметы могут бытьотнесены к множеству данного цвета очень приблизительно, и, как правило, степеньпринадлежности предметов данному множеству определяется субъективно. Разумеется, чтограницы такого множества как бы размыты, или расплывчаты. Поэтому и сами множестваобъектов, обладающие нечеткими свойствами, называются нечеткими или расплывчатыми.Очевидно, что и высказывания о принадлежности или непринадлежности объектарасплывчатому множеству является приблизительно верным или приблизительно ложным. Вэтом случае имеется возможность использовать так называемую нечеткую логику, значенияистинности которой могут быть любыми в пределах от полной истины (1) до полной лжи (0).Основоположник теории нечетких множеств и систем Л.А.

Заде [14] впервые ввел понятие"нечеткое множество", использовал термин "функция принадлежности'' и показал, чтообычные количественные или точные методы анализа, хорошо разработанные длямеханических систем, не пригодны для исследования систем, степень сложности которыхсравнима с гуманистическими, так как чем сложнее система, тем менее мы способны датьточные суждения о ее поведении. Основополагающим принципом нечеткой математикиявляется так называемый принцип несовместимости: "высокая точность несовместима сбольшой сложностью системы".Жертвуя точностью перед сложностью, вводят так называемые лингвистические переменные,т.е.

переменные, значениями которых являются не числа, а слова или предложения наестественном языке.Подход с позиции теории нечетких множеств опирается на предпосылку о том, что элементамимышления человека являются не числа, а словесные описания, т.е. элементы нечетких множествили классов, для которых переход от "принадлежности" классу или "непринадлежности" нескачкообразен, а непрерывен.

В дополнение к количественным характеристикам объектовиспользование словесных описаний позволяет анализировать достаточно сложные системы,недоступные формальному математическому анализу.5.2. Основные понятияБудем обозначать фигурными скобками {} множества, а квадратные [ ] и круглые () используемдля обозначения замкнутого и открытого интервала действительных чисел.Пусть Х- произвольное непустое множество.

Множествоназывается нечетким множеством в множестве X, если каждый элемент множества есть пара,на первом месте которой стоит значение функции,называемой функциейпринадлежности элементов из X множеству , а на втором - элемент, для которогоопределена эта функция. Другими словами, при задании множествакаждомуприписывается число, определяющее степень принадлежности этого элементамножеству . Примем, что в множество не включаются элементы, для которых.Здесь и в дальнейшем, если это не вызывает недоразумений, знак ~ над нечетким множеством взаписи функции принадлежности будем опускать.Носителем нечеткого множестваназывается подмножество А множества X, для которогозначения функции принадлежностибольше нуля. Очевидно, что само множество X можноформально рассматривать как нечеткое в себе, если каждомуприписать.Нечеткое множествов X называется пустым , если для всех, величина.

Ясно, что носитель пустого расплывчатого множества также пустое множество..Множестваиявляются нечеткими в множестве X. Носителем множестваслужит множество, а носителем множества является. Отметим, что множествоВ фактически не расплывчато в X, так как значения функции принадлежности для всехэлементов его носителя равны единице. Исходя из этого, любое нечеткое подмножествомножества X может быть рассмотрено как нечеткое множество частного вида.Пусть Х={“Волга”, “Запорожец”, “Москвич”, “Жигули”) - множество автомобилей. Тогданечеткое множество - "хорошая машина" может быть определено, с некоторой точки зрения,как Л.

Ясно,что функция принадлежности для каждого расплывчатого множества, вообще говоря,определяется субъективно.Фундаментальными понятиями в теории нечетких множеств являются понятиялингвистической и нечеткой переменных. Нечеткой переменной называется тройка,где α - наименование нечеткой переменной; Х={х} - область ее определения (базовоемножество); ={},, - нечеткое множество в X, определяющее ограничения навозможные значения нечеткой переменной α.Лингвистической переменной называется тройка,где р наименование лингвистической переменной; Т - множество ее значений (или термов),определяющих наименования нечетких переменных, область определения каждой из которыхявляется множество X.

Множество T называется базовым терм-множеством лингвистическойпеременной β.Пример5.1.ПустьПример. Пусть оценивается стоимость выпускаемой продукции с помощью понятий "малая","средняя", "высокая". Максимальная стоимость продукции 5000 руб. Формализация такогоописания может быть проведена с помощью лингвистической переменной <Стоимость, T,[0;5000]>, где Т= {"малая", "средняя", "высокая"}. Значения лингвистической переменнойописываются нечетким переменными. Например, значение "малая" описывается нечеткойпеременной <малая,[0;5000], >, где нечеткое множество может быть таким:. Примерный вид непрерывныхфункций принадлежности нечетких множеств, описывающих нечеткие переменные "малая","средняя", "высокая" приведена на рис. 5.1.Таким образом, лингвистической называется переменная, заданная на некоторойколичественной шкале (базовой) и принимающая значения, являющиеся словами исловосочетаниями естественного языка. Значения лингвистической переменной описываютсянечеткими переменными.Лингвистические переменные и их значения служат для качественного, словесного описаниянекоторой количественной величины.

Поэтому важно, что любая лингвистическая переменная,как и все ее значения, связана с конкретной количественной шкалой. Эта шкала по аналогии сбазовым множеством иногда называют базовой шкалой.5.3. Нечеткие высказывания и операции над нимиНечетким высказыванием называется предложение, относительно которого можно судить о егоистинности или ложности в настоящий момент. Следовательно, степень истинности или степеньложности нечеткого высказывания принимает значения из интервала [0,1], причем 0 и 1являются предельными значениями степени истинности и совпадают с понятиями истины и лжидля четких высказываний.Нечеткое высказывание, имеющее значение степени истинности, равное 0.5, назовеминдифферентностью, так как оно истинно в той же мере, как ложно.Примеры нечетких высказываний: "2 - маленькое число", "Студент Иванов не опаздывает назанятия", "Москвич -хороший автомобиль".

Автомобиль "Москвич" принадлежитрасплывчатому множеству в Х, где X - множество автомобилей, а - множество хорошихавтомобилей.Истинность нечетких высказываний, как это уже отмечалось, является субъективнойхарактеристикой. Поэтому степень истинности первого из приведенных в примеревысказываний можно положить равной 0.7, второго - 0.3, третьего -0.1.Поскольку в нечеткой логике степень истинности каждого высказывания рассматриваетсябезотносительно к его смыслу, то нечеткое высказывание и его степень истинности будемобозначать одной и той же прописной буквой с тильдой.Простые высказывания, связанные логическими операциями образуют сложное высказывание.Степень истинности отрицания нечеткого высказывания определяется выражением(5.1)Отсюда ясно, что степень ложностисовпадает со степенью истинностиСтепень истинности конъюнкции высказываний:..(5.2)Степень истинности высказываниясовпадает со степенью истинности наименееистинного высказывания.

Степень истинности дизъюнкции высказываний:(5.3)Степень истинности высказываниясовпадает со степенью истинности более истинноговысказывания.Степень истинности импликации высказываний:(5.4)Из (5.4) следует, что степень истинности импликации не меньше степени истинности еепосылки или степени истинности ее следствия. Кроме того, степень истинности импликациитем выше, чем меньше степень истинности посылки или выше степень истинности следствия.Степень истинности эквивалентности высказываний:(5.5)Отсюда следует, что степень истинности эквивалентности нечетких высказываний совпадает состепенью истинности менее истинной из импликацийнечетких высказыванийииодинаковы, то степень истинности высказыванияинтервале [0.5,1] и имеет значение 0.5 прии значение 1 приПри разных значениях степеней истинности высказыванийвысказыванияили=1,. Если степени истинностиилежит вили.степень истинностиможет принимать значения от 0 до 1, причем значение 0 при=0,=1=0.Два высказывания называются нечетко близкими, если степень истинности высказываниябольше или равна 0.5.